【原创】江苏省2013—2014届高三数学小练习及答案(13)

高三数学小练（13）
1．已知集合{}
},12,3,1{,,32
--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 ．
2．函数()2cos f x x =的最小正周期是 ．
3．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ． 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则7S 的值为 ．
5．已知向量()1,3a =r ，()2,1b =-r ，()3,2c =r
.若向量c r 与向量a kb +r r 共线，
则实数k = ．
6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ① 若//αβ，则l m ⊥； ② 若αβ⊥，则//l m ； ③ 若//l m ，则αβ⊥； ④ 若l m ⊥，则//αβ.
其中正确命题的序号是 ．（把所有正确的命题序号都填上） 7．定义在R 上的函数()f x 满足:()()23f x f x +⋅=，且()12f -=， 则()2013f ＝ ．
8．若实数x ，y 满足2
2
(2)1x y -+=，则z x y =+的最大值是 ．
9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分
点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
．
10．已知函数()sin 2f x x =，其中π
[,]6x a ∈-．若()f x
的值域是,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，则a 的取值范围是 ．
11．如图，在正三棱锥A －BCD 中，底面正三角形BCD 的边长
为2，点E 是AB 的中点，AC ⊥DE ，则正三棱锥A －BCD 的体积是 ▲ ．
B
D
12．已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
满足，过点P 的直线l 与圆22
:16C x y +=相交于A 、
B 两点，则AB 的最小值为 ．
13．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ，
⑴ 求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
⑵ 在棱PD 上是否存在一点E ，使得PB // 平面EAC ？如果存在，请找出点E 并加以证明；如果不存在，请说明理由．
14．已知函数()1ln ,f x a x x x R x ⎛⎫
=-
-∈ ⎪⎝⎭
． ⑴ 若2a =，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； ⑵ 若0a >，求函数()f x 的单调区间；
D
P
A
B
C
C
1、1
2、π
3、2
4、21
5、1-
6、①③
7、
3
2
8、29、410、
2
,
43
ππ
⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦
11
、
3
12、
13．（本题满分14分）
（1）证明：Q⊥
PA平面PDC，CD⊂平面PDC，∴CD
PA⊥．………………2分Q四边形ABCD为矩形，∴CD
AD⊥，………………4分PA AD A
=
Q I，∴⊥
CD平面PAD．………………6分Q CD⊂平面ABCD∴平面PAD⊥平面ABCD．………………7分（2）答：当点E为棱PD中点时，PB// 平面EAC. ………………9分证明：取棱PD中点E，连接BD与AC相交于点O，连结EO．
Q四边形ABCD为矩形，∴O为BD中点．
Q E为棱PD中点．∴EO
PB//．………………12分Q⊄
PB平面EAC，⊂
EO平面EAC，
∴直线PB//平面EAC．………………14分∴存在整数1
-
=
λ，使得对任意*
N
n∈有
n
n
c
c>
+1
.………………16分14．解：函数的定义域为()
0,+∞，
()2'
22111ax x a f x a x x
x -+⎛
⎫=+-= ⎪⎝⎭
222122()(1)ax x a
f x a x x x -+'=+-=
． …………………………………………………1分 （1）当2a =时，函数()12ln f x x x x ⎛
⎫=-
- ⎪⎝⎭
，由()10f =，()'
13f =． 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()31y x =-，
即330x y --=．………………………………………………………………………4分 （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 由0a >，2
14a ∆=-， （ⅰ）若102
a <<
，
由()'
0f x >，即()0h x >，得x <或x >；
由()'
0f x <，即()0h x <x <<．……………………6分
所以函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
，
单调递减区间为⎝⎭． ……………………………………8分
（ⅱ）若12
a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()'
0f x ≥在()0,+∞上恒成立，此时()f x
在()0,+∞上单调递增． ………………………………………………………………10分。