贵州省遵义四中高二上学期第一次月考数学试题

遵义四中2016～2017学年度第一学期9月月考试卷
高二数学
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，把答案填涂在答题卡相应位置
1．已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B =（ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x ≤< C ．{|11}x x -<≤ D ． {|21}x x -<≤ 2．0sin210=（ ）
A ．1
2 B ．12- C ．
3
2 D ．32
- 3．下列命题中正确的个数为（ ）
①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；
③用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
4．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A S 和B S ，则（ ）
A ．
B A B A S S x x <>, B ．,A B A B x x S S >>
C ．,A B A B x x S S <>
D ．,A B A B x x S S << 5．执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的（ ）
A. 67
B. 49
C. 89
D. 1011
6．二进制数1101(2)化为五进制数为（ ）
A 、32(5)
B 、23(5)
C 、21(5)
D 、12(5)
7．根据秦九韶算法求1x =-时432()4361f x x x x x =+-+-的值，则2v 为 （ ） A.1- B.5- C.21 D.22- 8．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 9．等差数列{}n a 中，如果42a =，那么26a a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．函数2()sin sin()3
f x x x π
=+-图象的一条对称轴为（ ） A ．2
x π
=
B ．x π=
C ．6
x π
=
D ．3
x π
=
11.在三棱柱111ABC A B C -中,ABC ∆是等边三角形，⊥1AA 平面
ABC ,2=AB ,21=AA ，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为（ ） A ．1 B ．
77 C ．1
2
D ．32 12．已知函数2|log |,02
()sin(),2104
x x f x x x π
<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则
3412
(2)(2)
x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）
A ．(4,16)
B ．(0,12)
C ．(9,21)
D ．(15,25)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上
13．右边的程序中, 若输入5x =，则输出的y = ． 14．用辗转相除法求两个数323、893的最大公约数是__________.
15．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是_________． 16．在直径AB ＝2的圆上有长度为1的动弦CD ，则BD AC ⋅的最大值是 ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [)75,85
[)85,95
[)95,105
[)105,115
[)115,125
频数 6
26
38
22
8
（1）作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,保留一位小数）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1
(1)2
n n S a =-．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设函数13
()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++…，
求1231111
n n
T b b b b =++++…．
19．已知在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且0)cos(3sin 22=++C B A . （1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆
的面积S a ==求sin sin B C +的值.
20．在一段时间内，某种商品价格x （万元）和需求量y 之间的一组数据为：
（2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当价格定为 1.9万元，需求量大约是多少？（精确到0.01）
参考数据：8.1=x ，4.7=y ，6.165
1
2
=∑=i i x ，625
1
=∑=i i i y x ，2.53)(5
1
2=-∑=i i y y
61.428.21≈参考公式：相关系数∑∑∑===-⋅---=
n
i n
i i
i
n
i i
i
y y
x x y y
x x r 1
1
2
2
1)
()()
)((
回归方程x b a y
ˆˆˆ+= 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．
22．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
）两点，求证：为定值；
（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．
x b
y
aˆ
ˆ-
=
∑
∑
=
=
-
-
-
=
n
i
i
n
i
i
i
x
x
y
y
x
x
b
1
2
1
)
(
)
)(
(
ˆ
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：解二次不等式可得,故选B.
考点：1、集合的基本运算；2、二次不等式.
2．B
【解析】
试题分析：由题意得，，故选B．
考点：诱导公式、三角函数求值．
3．A
【解析】
试题分析：根据“残差”的意义、线性相关系数和相关指数的意义，即可作出正确的判断．
解：根据线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，判断①错误；
根据比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，判断②正确；
根据用相关指数R2刻画回归的效果时，R2的值越大说明模型的拟合效果就越好，判断③错误；
综上，正确的命题是②．
故选：A．
考点：相关系数．
4．A
【解析】
试题分析：由图象，得；故选A．
考点：样本的数字特征．
【思路点睛】本题考查样本的数字特征、折线图和学生的识图能力；样本平均数反映的是样本数据的平均水平，比较两图象中各点的纵坐标，可得两样本的平均数的大小关系，样本方差或标准差反映的是样本数据的稳定性和集中性，由图象中的各点的集中程度可比较两样本的标准差的大小关系. 5．B
【解析】试题分析：
当i=2时，,i=4；
当i=4时，,i=6；
当i=6时，，i=8；
当i=8时，,i=10；
不满足循环的条件i≤8，退出循环，输出S=,故选B．
考点：程序框图
6．B
【解析】
试题分析：利用二进制化为十进制和十进制化为其它进制的“除5取余法”方法即可得出,1101（2）=1×23+1×22+0+1×20=13（10） ,再由“除5取余法”得13,即化成5进制是23（5）,故选B
考点：进位制的转化规则
7．B
【解析】
试题分析：，
考点：秦九韶算法
8．D
【解析】
试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是，下底是，垂直于底边的腰是，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是，∴四棱锥的体积是
，故选D．
考点：由三视图求面积、体积.
【方法点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，容易出错．几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是，下底是，垂直于底边的腰是，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上底虚线部分，根据体积公式得到结果．
9．B
【解析】
试题分析：由等差数列的性质及，得，由题意可知当为正时，最大，
且，即，当且仅当时，取最值，故选项为B.考点：（1）等差数列的性质；（2）均值不等式.
10．D
【解析】
试题分析：，故选D.
考点：三角函数的图象与性质.
11．A
【解析】
试题分析：如图，作交的延长线于，连接，则就是异面直线和所成的角（或其补角），由已知，，，由知，所以异面直线和所成的角为直角，正弦值为1．故选A．
考点：异面直线所成的角．
12．B
【解析】
试题分析:在平面直角坐标系中，作出函数的图象如图所示：
因为存在实数，，，，满足，且，所以由图象知：，，，，当时，直线与函数
的图象有个交点，直线越往上平移，的值越小，直线直线越往下平移，的值越大，因为当时，，当时，
，所以的取值范围是，故选B．
考点：函数的图象．
13．2
【解析】
试题分析：INPUT的意思就是输入一数，然后作出选择，IF即为假如输入的数小于0，THEN即则执行；ELSE即为假如输入的数大于或等于0时，执行，最后输出结果；本题输入的是，所以执行，即。

考点：基本算法语句、条件语句
14．19
【解析】略
15．
【解析】
试题分析：样本间隔是5，所以第10组应抽取的号码是.
考点：系统抽样
16．
【解析】
试题分析：以的中点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，连结和，则，设（），则，，，，所以，
，所以
，因为，所以，所以当，即时，，所以答案应填：．
考点：1、任意角的三角函数；2、平面向量的坐标运算；3、两角和与差的余弦公式；4、辅助角公式；5、三角函数的图象与性质．
【方法点晴】本题主要考查任意角的三角函数、平面向量的坐标运算、两角和与差的余弦公式、辅助角公式和三角函数的图象与性质．解本题时先建立平面直角坐标系，设
（），可求出的坐标，
，结合的取值范围，可得时，．
17．（1）频率分布直方图见解析；（2），；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品”的规定。

【解析】
试题分析：（1）根据频数算出频率，得纵坐标，即可可做直方图；（2）每组数据中间值乘以该组的频率求和即可得这种产品质量指标值的平均数，再根据方差公式求其方差；（3）不低于的各组频率求和与进行比较即可。

试题解析：（1）。

（2）质量指标值的样本平均数为
质量指标值的样本方差为：。

所以这种产品质量指标值的样本平均数的估计值为100，方差的估计值为104。

（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为。

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定。

考点：1.频率分布直方图的画法；2.样本的平均数及方差、互斥事件的概率。

18．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）利用，求得，即是等比数列，由此求得；试题解析：
（1）当时，，，
∴，由，得，
∴数列是首项，公比为的等比数列，
∴．
（3）∵，
∴
．
∵，
∴．
考点：数列的基本概念，数列求和．
【方法点晴】已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列
的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示．
19．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由于，故即是，由此解得，；（2）由,得，.由余弦定理，求得，由正弦定理，有
.
试题解析：
（1）由，得，即，解得或（舍去），因为.
（2）由,得.由余弦定理, 得
.由正弦定理, 得
.
考点：1.解三角形；2.正余弦定理.
20．（1）从而有99%的把握认为与之间具有线性相关关系（2），当价格定为万元时，需求量大约为
【解析】
试题分析：（1）①作统计假设：与不具有线性相关关系。

1分
②由小概率0.01与在附表中查得： 2分
③，
3分
4分
5分
6分
∴
④，即
从而有99%的把握认为与之间具有线性相关关系，去求回归直线方程是有意义的。

8分（2）回归系数，
∴对的回归直线方程是
当时，。

这说明当价格定为万元时，需求量大约为。

12分
考点：相关性检验与回归方程
点评：求回归方程主要是将已知数据代入公式计算出；相关性检验的步骤：写出列联表，求出观测值，观测值与边界值比较得结论
21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．
（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点．
取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．
∴
==．
22．一．解答题（共1小题）
1．（2016•长沙模拟）已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：
为定值；
（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，
则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；
（2）设直线l的方程为y=kx，
联立方程组，
消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，
则有：；
所以为定值；
（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，
所以，
≤，
当且仅当，即时，△CDE的面积最大，
从而，解之得b=3或b=﹣1，
故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．
解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，
所以≤2，
当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；
设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，
由，得b=3或b=﹣1，
故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．。