广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编4 导数1 理

2012广东省各地月考联考模拟最新分类汇编（理）：
导数（1）
【广东省高州市第三中学2012届高考模拟一理】4．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43处的切线与坐
标轴围成的三角形面积为 ( ) A.19 B.29 C.13 D.23 【答案】A
【解析】．y ′＝x 2＋1，曲线在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43处的切线斜率k ＝12
＋1＝2，
故曲线在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43处的切线方程为y －43＝2(x －1)． 该切线与两坐标轴的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，⎝
⎛⎭⎪⎫0，－23. 故所求三角形的面积是：12×13×23＝1
9
.故应选A.
【2012年广东罗定市罗定中学高三下学期第二次模拟理】3．⎰
=+20
2)cos (sin π
dx x a x ，则
实数a 等于
A ．1-
B ．1
C ．3
D ．3- 【答案】B
【2012广州一模理】10．已知()2
1
1d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为 ．
【答案】2,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【广东省执信中学2012届高三3月测试理】10、垂直于直线2610x y -+=且与曲线
3231y x x =+-相切的直线方程是 ．
【答案】320x y ++=
【广东省执信中学2012届高三上学期期末理】6、点P 是抛物线x y 42
=上一动点，则点P 到
点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是 ( )
2 【答案】D
【2012届广东省中山市四校12月联考理】7．若⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤+>-=⎰0,3cos 062,
0),4()(x xdx x x f x f x π，则
=)2012(f ( )
A. 1
B. 2
C.34
D.3
5
【答案】C
【广东省中山市桂山中学2012届高三年级9月质检理】4．函数y ＝f （x ）在定义域（－3
2
，3）
内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为
A ．[－1
3，1]∪[2，3）
B ．[－1，12]∪[43，8
3
]
C ．[－32，1
2
]∪[1，2）
D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[4
3
，3）
【答案】A
【广东省高州市第三中学2012届高考模拟一理】21．（本小题满分12分）设函数f (x )＝x 3
－6x ＋5，x ∈R.
(1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同实根，求实数a 的取值范围； (3)已知当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】解 (1)f ′(x )＝3x 2
－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.
因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0.
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.
(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．
(3)f (x )≥k (x －1)，即(x －1)(x 2
＋x －5)≥k (x －1)． 因为x >1，所以k ≤x 2
＋x －5在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x 2
＋x －5，此函数在(1，＋∞)上是增函数． 所以g (x )>g (1)＝－3.
所以k 的取值范围是k ≤－3.
【广东省肇庆市2012届高三第一次模拟理】21．（本小题满分14分） 设函数()()2ln 1f x x a x =++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若函数()()ln 2F x f x =+12,x x 且12x x <，求证21
()4
F x >． 【答案】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，（1分）
222()2(1)11
a x x a
f x x x x x ++'=+=>-++（2分）
令2
()22g x x x a =++，则48a ∆=-． ①当0∆<，即1
2
a >时，()0g x >，从而'()0f x >，故函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；（3分）
②当0∆=，即1
2
a =
时，()0g x ≥，此时'()0f x ≥，此时'()f x 在'()0f x =的左右两侧不变号，故函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增； （4分）
③当0∆>，即1
2
a <
时，()0g x =的两个根为1211211212a a x x ----+-=
=>-，121a -≥，即0a ≤时，11x ≤-，当1
02
a <<
时，11x >-．
故当0a ≤时，函数()f x 在112(1,
)2a -+--单调递减，在112(,)2
a
-+-+∞单调递增；
当1
02
a <<
时，函数()f x 在112112(1,
),(,)22a a ----+--+∞单调递增，在112112(
,)22
a a
----+-单调递减．（7分）
(Ⅱ)∵()()F x f x ''=,∴当函数()F x 有两个极值点时1
02
a <<
，0121a <-<， 故此时21121
(,0)22
a x -+-=
∈-，且2()0g x =，即222(22)a x x =-+， （9分）
()()()2222222222ln 1ln 2(22)ln 1ln 2F x x a x x x x x ∴=+++=-+++,
设22
()(22)ln(1)ln 2h x x x x x =-+++，其中1
02
x -
<<， （10分） 则()22(21)ln(1)22(21)ln(1)h x x x x x x x '=-++-=-++，
由于102x -
<<时，'()0h x >，故函数()h x 在1
(,0)2
-上单调递增， 故11
()()24
h x h >-=．
∴221
()()4
F x h x =>． （14分）
【广东省东莞市2012届高三数学模拟试题（1）理】16. （本小题满分12分）
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：p=24200-0.2x 2
,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（注：利润=收入─成本） 【答案】解：每月生产x 吨时的利润为
)20050000()5
1
24200()(2x x x x f +--=
31
2400050000
(0)
5
x x x =-+-≥5分
由 )
200)(200(5
3240005
3)(2+--=+-='x x x x f 7分
得当 ，x f x 0)(,2000>'<<时当 ，x f x 0)(,200<'>时 ∴)(x f 在（0，200）单调递增，在（200，+∞）单调递减，
10分
故)(x f 的最大值为)(31500005000020024000)200(5
1
)200(3元=-⨯+-=f
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 12分
【广东省佛山市2012届高三第二次模拟理科二】20．（本题满分14分） 记函数()()(
)*
112,n
n f x x n n =+-≥∈N
的导函数为()n
f x ',函数
()()n g x f x nx =-.
（Ⅰ）讨论函数()g x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若实数0x 和正数k 满足：()()()()
0101n n n n f x f k f x f k ++'=
'，求证：00x k <<. 【答案】（Ⅰ）由已知得()()11n
g x x nx =+--,所以()()
1
11n g x n x -⎡⎤'=+-⎣
⎦
.………………
2分
① 当2n ≥且n 为偶数时,1n -是奇数,由()0g x '>得0x >;由()0g x '<得0x <. 所以()g x 的递减区间为(),0-∞,递增区间为()0,+∞,极小值为
()00g =.……………5分
② 当2n ≥且n 为奇数时,1n -是偶数,
由()0g x '>得2x <-或0x >;由()0g x '<得20x -<<. 所以()g x 的递减区间为()2,0-,递增区间为(),2-∞-和()0,+∞,
此时()g x 的极大值为()222g n -=-,极小值为()00g =.……………8分
（Ⅱ）由()()()()0101n n n n f x f k f x f k ++'=
'得()()()()()1010111
1111
n n
n n n x k n x k -+++-=+++-, 所以()()()1
0111111n n n k x n k +⎡⎤+-⎣⎦+=⎡⎤++-⎣⎦,()()()()0111111n n
nk k x n k -++=⎡⎤++-⎣⎦
……………10分 显然分母()()1110n
n k ⎡⎤++->⎣⎦
,设分子为()()()()1110n
h k nk k k =-++>
则()()()
()()()
1
1
111110n n n h k n k n k nk n n k k --'=+++-=++>
所以()h k 是()0,+∞上的增函数,所以()()00h k h >=,故00x >……………12分
又()()()(
)1
0111111n n
k n k x k n k +++-+-=⎡⎤
++-⎣⎦
,由（Ⅰ）知,()()11n
g x x nx =+-- 是()0,+∞上
的增函数,
故当0x >时,()()00g x g >=,即()11n
x nx +>+,所以()()
1
111n k n k +++>+
所以00x k -<,从而0x k <. 综上,可知00x k <<.……………14分 【广东省佛山一中2012届高三上学期期中理】21．（本题满分14分）
设函数)1ln()(2
x a x x f ++=有两个极值点12x x 、，且12x x <.
（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）求)(2x f 的取值范围。

【答案】解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x
++'=+=>-++ 令2
()22g x x x a =++，其对称轴为1
2
x =-。

由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根， 其充要条件为480(1)0
a g a ∆=->⎧⎨
-=>⎩，得1
02a << …………………2分
⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数；…………………4分 ⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；
⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数；……………6分 （II ）由（I ）21
(0)0,02
g a x =>∴-
<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2
设()()221(22)1()2
h x x x x ln x x =-++>-， …………………8分 则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ …………………10分
⑴当1(,0)2x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1
[,0)2
-
单调递增；
⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。

…………………12分
()1112ln 2
(,0),()224x h x h -∴∈->-=
当时 故()22122
()4
In f x h x -=>．…………………14分
【2012届广东韶关市高三第一次调研考试理】21．(本小题满分14分)已知函数
32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '.
（1）当13a =时，若不等式1
()3
f x '>-对任意x R ∈恒成立，求b 的取值范围；
（2）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；
（3）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程
1
()4
f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.
【答案】解：（1）当13a =时，21
()23
f x x bx b '=++-，………１分
依题意 21()23f x x bx b '=++-1
3
>- 即220x bx b ++>恒成立
2440b b ∴∆=-<，解得 01b <<
所以b 的取值范围是(0,1)…………………………………４分
（2）证明：因为2
()32()f x ax bx b a '=++-，
解法一：当0a =时，1
2
x =-符合题意. ……………………………５分 当0a ≠时，2
32
10b b x x a a ⎛⎫
++-= ⎪⎝⎭
，令b t a =，则232(1)0x tx t ++-=， 令2
()32(1)h x x tx t =++-，
11024h ⎛⎫
-=-< ⎪⎝⎭
， 当1t >时，(0)10h t =->，
()y h x ∴=在1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内有零点；……………………………７分
当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，
()y h x ∴=在11,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭内有零点.
∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点.
综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点. ……………………………９分 解法二：(0)f b a '=-，(1)2f a b '-=-，
1233b a
f -⎛⎫'-=
⎪⎝⎭
. 因为a ，b 不同时为零，所以1(1)03f f ⎛⎫
''--< ⎪⎝⎭
，故结论成立.
（3）因为3
2
()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3
()f x ax ax =-，
2()3f x ax a '=-.
又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3
()f x x x =-. ……………………………………………………………………………………１０分
()f x ∴在3,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3
,3⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝
⎭上是单调递增函数，在33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，
法一:如图所示，作()y f x =与4
t
y =-
的图像，若只有一个交点，则 ①当313t -<≤-
时，1
()04
f t t ≥-≥，
即34
t
t t -≥-
，解得3323t -≤≤-； 当303t -
<<时，1
()04
f t t >-≥， 解得3
0t <<；
③当0t =时，显示不成立； ④当
303t <≤
时，1
()04
f t t ≤-<，
34t t t -≤-，解得303t <≤；⑤当313t ≥>时，1
()04
f t t <-<，
解得
33
32
t <<；⑥当1t >时， 3831439t f t ⎛⎫-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭
.4t
y =-
综上t 的取值范围是302t -
≤<或302
t <<或83t =.………………１４分
法二：由13
()4f x x x =-
=解之得,0x =. 作()y f x =与1
4
y x =-
的图知交点横坐标为3x =0x =
当3[(0,)2x ∈9⎧⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭
时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。

所以当3[(0,)2t ∈9⎧⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭
时，方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根.
【2012年广东罗定市罗定中学高三下学期第二次模拟理】21．（本小题满分12分） 设函数3
221()231,013
f x x ax a x a =-
+-+<<。

（1）求函数()f x 的极大值；
（2）若[1,1]x a a ∈-+时，恒有'()a f x a -≤≤成立（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围。

【答案】（1）∵2
2
34)(a ax x x f -+-='，且01a <<，………………（1分） 当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或； ∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；
)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ． ………………（3分）
故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =．………………（4分）
（2）∵()()2
222
432f x x ax a x a a '=-+-=--+，
①当1
03
a <<
时，12a a ->， ∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减．
∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．
∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.
a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩
此时，a 不存在． ………………（7分） ②当
1
13
a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）．[]{}min min (1),(1)f x f a f a '''=-+（）
()()()
222max ln(1)1ln(1)1
x>1 ,()11111ln(1)1ln(1)
'(),111
12 2+()=(2)1,1
x x k g x x x x x x x g x x x x g x g k --≥+=+--------=-=---∞=≥可知所以令则所以（，]为增区间，[，）为减区间，由此：即∵()a f x a '-≤≤，∴2
2,
21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪
-≥-⎨⎪-+-≥-⎩
即01,1,
3a a a ⎧
⎪≤≤⎪⎪≥⎨≤≤
此时，
17316
a ≤≤． ………………（10分） 综上可知，实数a
的取值范围为13
⎡⎢⎣⎦．………………（12分） 【2012届广东省中山市高三期末理】20．（本小题满分14分）已知函数
()ln(1)(1)1f x x k x =---+ （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）证明：
①ln(1)22+x x -<
-∞在（，）上恒成立
②2ln (1)
(,n>1)1
4n
i i n n n N i =-<∈+∑ 【答案】20. （本小题满分14分）
解：（1）函数k x x f x f --=+∞1
1
)('),,1()(的定义域为
…………………（1分） 当0≤k 时01
1
)('>--=
k x x f ，则),1()(+∞在x f 上是增函数 ………（2分） 当0>k 时，若)11,1(k x +∈时有01
1
)('>--=
k x x f ………（3分） 若),11(+∞+∈k x 时有011)('<--=
k x x f 则)1
1,1()(k x f +在上是增函数， 在),1
1(+∞+k
上是减函数……………………（5分）
（2）解法一：由（I ）知0≤k ，时),1()(+∞在x f 递增，而0)(,01)2(≤>-=x f k f 不成立，故0>k ……………………………………（7分） 又由（I ）知k k
f y ln )1
1(max -=+=，要使0)(≤x f 恒成立，
则0ln )1
1(max ≤-=+
=k k
f y 即可。

由10ln ≥≤-k k 得……………（9分）
解法二（分离变量法）：
………………（9分）
（3）①证明；由（2）知，当1=k 时有),1(0)(+∞≤在x f 恒成立，且),2[)(+∞在x f 上是减函数，0)2(=f ，0)(),,2(≤+∞∈∴x f x 恒成立，即),2(2)1ln(+∞-<-在x x 上恒成立 。

……………………（11分） ②证明：令21n x =-，则1ln 22-<n n ，即)1)(1(ln 2+-<n n n ，从而
2
1
1ln -<+n n n ， 成立
………………（14分）
【2012广东高三第二学期两校联考理】21．（本小题满分14分）
已知函数()|2|ln f x ax b x =-+（x ＞0）．
（1）若a ＝1，f (x )在（0，＋∞）上是单调增函数，求b 的取值范围； （2）若a ≥2，b ＝1，求方程1
()f x x
=
在（0，1]上解的个数． 【答案】解：2ln ,(02),
()|2|ln 2ln ,(2).x b x x f x x b x x b x x -++<<⎧=-+=⎨-+⎩
≥
① 当0＜x ＜2时，()2ln f x x b x =-++，()1b f x x '=-+．由条件，得10b
x
-+≥恒成立， 即b ≥x 恒成立．∴b ≥2． …………… 2分
② 当x ≥2时，()2ln f x x b x =-+，()1b f x x '=+
．由条件，得10b
x
+≥恒成立， 即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2．…………… 4分
综合①，②得b 的取值范围是b ≥2． …………………… 5分
（2）令1()|2|ln g x ax x x =-+-，即12
2ln ,(0),()122ln ,().
ax x x x a g x ax x x x a
⎧-++-<<⎪⎪=⎨⎪
-+-⎪⎩
≥ 当20x a <<
时，1()2ln g x ax x x =-++-，211
()g x a x x
'=-++． ∵20x a <<，∴12
a
x >．则2
(2)()244a a a a g x a -'>-++=
≥0． 即()0g x '>，∴()g x 在（0，2
a
）上是递增函数． ………………… 7分
当2
x a ≥时，1()2ln g x ax x x =-+-，211()g x a x x
'=++＞0．∴()g x 在（2a ，＋∞）上是递增函数．又
因为函数g (x )在2
x a
=
有意义，∴()g x 在（0，＋∞）上是递增函数．…… 10分 ∵22()ln 2a g a a =-，而a ≥2，∴2ln 0a ≤，则2
()g a ＜0．∵a ≥2，∴3)1(-=a g …… 12分
当a ≥3时，3)1(-=a g ≥0，∴g (x )＝0在]1,0(上有惟一解．当32<≤a 时，3)1(-=a g <0，
∴g (x )＝0在]1,0(上无解．……………… 14分 【2012广州一模理】21．（本小题满分14分）
设函数()e x f x =(e 为自然对数的底数)，23
()12!3!
!
n
n x x x g x x n =++
+++（*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；
（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；
（3）证明：()123
222211e 2341n
n g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫++++
+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
≤（*
n ∈N ）
． 【答案】（1）证明：设11()()()1x
x f x g x e x ϕ=-=--，
所以1()1x x e ϕ'=-．…………………………………………………………1分 当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．
即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分
因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，
所以()f x 1()g x ≥．……………………………………………………………3分 （2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．……………………………………………4分
用数学归纳法证明如下：
①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．
②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，……………5分 令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，
因为对任意的正实数x ，()()11()()()k k
k x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．……………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．
从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．
这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +． 由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．……………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．
由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <． 所以()1e n g <．……… ……………9分 再
证
对
任
意正整数
n
，
()1
2
3
2222112341n
n g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111
112!3!!
n =+++++
． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!n
n n ⎛⎫
≤ ⎪
+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2n
n n +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
（*）成立．………10分
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：
①当1n =时，1
111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
成立，所以不等式（*）成立．
②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，
即1!2k
k k +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭．……………………………11分
则()()()1
111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫
+=+≤+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
因
为
1
111
01
1111
1
2211121C C C
2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫
⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以()1
1
121!222k k k k k ++++⎛⎫
⎛⎫+≤≤ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
．…………………13分
这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．
由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n ，不等式()123
222211e 2341n
n g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
++++
+≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
成立．…………14分
方法2（基本不等式法）：
因为1
12n n +⋅≤
，………………………………………………11分 ()1
122
n n +-⋅≤， ……，
1
12
n n +⋅≤
， 将以上n 个不等式相乘，得1!2n
n n +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
．…………………………………13分
所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n ，不等式()1
2
3
222211e 2341n
n g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
++++
+≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
成立．
【2012届广东省中山市四校12月联考理】19．（本题满分14分）
已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ⋅∈-+=，在点（1，f(1))处的切线方程为y+2=0． (1) 求函数f(x ）的解析式；
(2) 若对于区间[一2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实 数c 的最小值；
（3) 若过点M(2,m)(m ≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 【答案】解：(1)323)('2
-+=bx ax x f …………1分
根据题意，得⎩⎨
⎧=-=,0)1(',2)1(f f 即⎩⎨⎧=-+-=-+,
323,
23b a b a 解得⎩⎨⎧==.0,1b a ………3分
∴f(x)=x 3
-3x ． ． ………………4分 (2)令f'(x)= 3x 2-3=O ，即3x 2
-3=O ，解得x=±1．
∵f(-1)=2，f(1)=-2，∴当x ∈[-2，2]时，f(x)max =2，f(x)min =-2． 则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有
()()()()4||||min max 21=-≤-x f x f x f x f ,所以c ≥4．
所以c 的最小值为4． …………………8分
(3)∵点M （2，m)(m ≠2）不在曲线y=f(x)上，∴设切点为(x 0，y 0)．则03
003x x y -= 33)('200-=x x f ，∴切线的斜率为3320-x
则2
333003
20
---=-x m x x x o ，即06622
030=++-m x x
因为过点M(2，m)（m ≠2），可作曲线y=f(x)的三条切线，
所以方程06622
003=++-m x x 有三个不同的实数解．
即函数g(x)= 2x 3-6x 2
+6+m 有三个不同的零点．
则g'(x)=6x 2
-12x.令g'(x)=0，解得x=O 或x=2．
()()⎩⎨
⎧<>∴,02,00g g 即⎩⎨⎧<+->+,
02,
06m m 解得-6<m<2. ……………………l4分 【广东省执信中学2012届高三3月测试理】19．（本小题满分14分） 已知函数()(a
f x x a x
=+∈R ), ()ln g x x = （1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间； （2）若关于x 的方程()()[2]g x x f x e x
=⋅-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根， 求a 的
值．
【答案】解: 函数()()()ln a
F x f x g x x x x
=+=+
+的定义域为()0,+∞. ∴()'
211a F x x x
=-+22x x a
x +-=.
① 当140a ∆=+≤, 即14
a ≤-
时, 得2
0x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14
a >-
时, 令()'0,F x = 得2
0x x a +-=,
解得120,x x =
<=.
(ⅰ) 若1
04
a -
<≤, 则2102x -+=
≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'
0F x >, ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分
(ⅱ)若0a >,则10,
2x ⎛
-+∈ ⎝⎭
时, ()'
0F x <;
x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭
时, ()'
0F x >,
∴函数()F x 在区间⎛
⎝⎭上单调递减, 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;
当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为⎛
⎝⎭
, 单调递增区间为
12⎛⎫
-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
. …… 8分 (2) 解: 令()ln x h x x =
, 则()'21ln x h x x
-=.令()'
0h x =, 得x e =. 当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'
0h x <.
∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1
h e e
=. …… 10分 而函数()()2
222m x x ex a x e a e =-+=-+-,
当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2
m e a e =-. …… 12分
∴ 当21a e e -=, 即21
a e e
=+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. …… 14分。