高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案
椭圆题型总结
一、椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:
1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之
2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）
A.椭圆
B.圆
C.直线
D.线段
4. 已知1F 、2F
是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹
是( B )
A.椭圆
B.圆
C.直线
D.点 5. 椭圆19
252
2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。

6. 选做：F 1是椭圆15
92
2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。

解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA
(二) 标准方程求参数范围
1. 试讨论k 的取值范围，使方程13
52
2=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。

（略）
2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102
2=+>>( C )
A.充分而不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3. 若方程1cos sin 2
2=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 方程2
31y x -=所表示的曲线是椭圆的右半部分 .
5. 已知方程222
=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1
(三) 待定系数法求椭圆的标准方程
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；
1144
1692
2=+x y （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；
137
148,113522
222=+=+y x x y 或（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对
称轴，且经过两点)
2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 1
3
9
2
2=+
y x
2. 简单几何性质
1．求下列椭圆的标准方程（1）
32,8=
=e c ；（2）过（3，0）点，离心率为36
=
e 。

180144,1801442222=+=+y x x y 或 13
9,19272
222=+=+y x x y 或（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。

112
9,11292
222=+=+y x x y 或（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为
125
16,125162
222=+=+y x x y 或（5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3
5
2，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

110
35,110352
222=+=+y x x y 或 3．过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若?=∠6021PF F ，则椭圆
的离心率为_____3
3
________________ （四）椭圆系————共焦点，相同离心率
1．
椭圆
19
252
2=+y x 与
)90(19252
2<<=-+-k k
y k x 的关系为（ A ）
A ．相同的焦点
B 。

有相同的准线
C 。

有相等的长、短轴
D 。

有相等的焦距
2、求与椭圆14
92
2=+y x 有相同焦点，且经过点()23-，的椭圆标准方程。

110
152
2=+y x
（五）焦点三角形4a
1. 已知1F 、2F 为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

若1222=+B F A F ，则=AB
8 。

2. 已知1F 、2F 为椭圆19
2=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长
是 20 。

3. 已知C AB ?的顶点B 、C 在椭圆13
22
=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，
则C AB ?
（六）焦点三角形的面积：
1. 已知点P 是椭圆14
22
=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=?PF ，求点P 到x 轴的距离。

解：设),(y x P 则=+=+1
4
32
222y x y x 解得33||=y ，所以求点P 到x 轴的距离为33
||=y 2. 设M 是椭圆116
252
2=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ?的面积。

解：
||||2|
|||24|
|||24||||2|)||(|||||2||||||cos 21212
212
21221212212221PF PF PF PF b PF PF c PF PF PF PF PF PF F F PF PF ??-=
-+=θ
当621π
=∠MF F ，S=)32(166
sin ||||2121-=?πPF PF
3. 已知点P 是椭圆192522=+y x 上的一点，1F 、2F
21=，则21F PF ?
4. 已知AB 为经过椭圆)0(122
22>>=+b a
y a x 的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最大值为 cb 。

1. 设椭圆1492
2=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF ?的最大值，并求此时P 点的坐标。

2. 椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，
则=2PF 2 ；=∠21PF F 120O。

3.
椭圆1492
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为
)5
53,553(- 。

4.
P 为椭圆116
2=+y x 上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。

（1）若1 PF 的中点是M ，求证：1215PF MO -=；（2）若?=∠6021PF F ，求21PF PF ?的值。

解：（1）MO 为三角形PF 1F 2的中位线，||2
1
5|)|2(21||21||112PF PF a PF MO -=-== （2）21PF PF ?=
3
64
（八）与椭圆相关的轨迹方程
定义法：
1. 点M(x,y)满足
10)3()3(2222=-++++y x y x ，求点M 的轨迹方程。

（116
2522=+x y ）2. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程. 17
162
2=+y x 3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P 的轨迹方
程.
解：由题12102||||21=-++=+r r PC PC
所以点P 的轨迹是：以1C ，2C 为焦点的距离之和为12的椭圆。

6,3==a c ，方程为127
362
2=+y x
4. 已知)0,2
1(-A ，B 是圆4)2
1(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段
AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P
的轨迹方程为 13422
5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是 1432
2=+y x 。

直接法
6. 若ABC ?的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是9
4
-
，顶点A 的轨迹方程为
136
812
2=+y x 。

相关点法
7. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M 在'PP 上，并且2=，
求点M 的轨迹。

19
22
=+y x 8. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向X 轴引垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程是 1422=+y x 。

9. 已知椭圆14522
22=+y x ，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP 中点的轨迹方程。

14
25)52(2
2=++y x 10. 一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且
2
:1:=MB AM ,求点M 的轨迹方程.
194
=+y x
二、直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系
1．当m 为何值时,直线m x y l +=:和椭圆14416922=+y x (1)相交；(2)相切；(3)相离。

解：由=++=144
1692
2y x m x y 消去y 得014416322522=-++m mx x ，判别式：)25(5762m -=? 所以，当55<<-m 时直线与椭圆相交；当5±=m 时直线与椭圆相切；当5m m >-<或5时直线与椭圆相离。

2．若直线2+=kx y 与椭圆63222=+y x 有两个公共点，则实数k 的取值范围为。

3
6
36>
-
<="" k="" p="" 或="">
1. 设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右两个焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C
相交，其中一个交点为)1,2(M 。

（1）求椭圆的方程；12
42
2=+y x
（2）设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求BN F 1?的面积。

解：由（1）点B （0，2-），)0,2(2F ，直线BF 2的方程为：2=-y x
=+=-124
2
2
2y x y x 消去y 得：02432=-x x ，解得32
4x x ==或0 所以点N 的坐标为（324，3
2
）
所以3
8
)232(22212
1211=+?=+=N F F B F F BN F S S S (三)点差法
1. 已知一直线与椭圆 36942
2
=+y x 相交于A 、B 两点,弦AB 的中点坐标为)1,1(，求直线AB 的方程.
解：设交点),(),(2211y x B y x A ，则有=+=+12
12212
1y y x x ，=+=+)2(3694)
1(36942
2222
121 y x y x （2）-（1）得0))((9))((412121212=+-++-y y y y x x x x
即
k x x y y =-=--9
4
)()(1212，又直线AB 过点（1，1）所以直线AB 的方程为：)1(9 4
1--=-x y
2. 椭圆C 以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P 、Q 两点，点R 的坐标为（2，5），若PQR ?为等腰三角形，=∠90PQR ，求椭圆C 的方程。

解：设椭圆)0,0(1:22>>=+B A By Ax C ，交点),(),,(2211y x Q y
x P ，
PQR ?为等腰三角形，?=∠90PQR ，则
=--=+22
5722
222x y y x 解得Q （1，3）。

所以19=+B A (1)
又)2,1(=QR 则），（QP 12)1,2(--=或
当）y x （QP 13,1)1,2(1--=-=，则有)2,3(P ，则149=+B A (2) 由（1）（2）得778,775==B A ，椭圆的方程为177
87752
2=+y x 当当）y x （13,1)1,2(1--=-=，则有)4,1(-P ，则116=+B A ……（3）由（1）（3）得B=0（舍去）
(四) 定值、定点问题
1、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22
:
155
3
x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -，求证：MA MB ? 为定值.
证明：设交点),(),,(2211y x B y x A
由=++=5
3)1(2
2y x x k y 消去y 得0536)31(2222=-+++k x k x k 则有22212221315
3,316k k x x k k x x +-=+-=+
),3
7
(),,37(2211y x y x +=+=
9
4949))(37()1()37)(37(2
2122122121=++++++=+++=?k x x k x x k y y x x MB MA 所以MA MB ? 为定值
(五) 取值范围问题
已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.
若右焦点到直线0x y -+的距离为3.（1）求椭圆的方程.
（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的取值范围
解：设椭圆的方程为122
22=+b
y a x ，右焦点)0,(2c F （c>0），椭圆的下顶点A （0，-1），所以1=b ，
又右焦点到直线0x y -+的距离32|
220|=+-c 得2=c
所以32
22=+=c b a ，椭圆的方程为11
322=+y x。