最新人教版中考数学复习知识点梳理——第18课时 等腰三角形与等边三角形

相等.
的三角形是等腰三角形.
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续表
规律
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
方
（1）等腰三角形底边上的 （1）如果一个三角形一边上的高平分
法
高平分顶角且平分底边. 这条边（或平分这条边的对角），那
规 高线 （2）等腰三角形两腰上的 么这个三角形是等腰三角形.
律
高相等，并且它们的交点到 （2）有两条高相等的三角形是等腰三
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续表
2. 等边三角形 （1）定义：__三__边__相__等___的三角形叫做等边三角形. 概 （2）性质 念 定 ①性质定理：等边三角形的__三__个__内__角__都__相__等___，并且每个角都等于 理 ___6_0_°___. ②等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所__有__性__质__ ，它的每一个内角的平分线都与其对边的中线和高线重合.
∴△APD≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°.
∴∠AQC=180°-120°=60°.
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∠DEB+∠DEF+∠2=180°，且∠DEF=60°，
∴∠1+∠DEB=∠2+∠DEB.∴∠2=∠1=50°.
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（2）如图4-18-6②，连接DF，若∠1=∠3，求证：DF∥BC． （2）证明：∵∠B+∠1+∠DEB=180°， ∠FDE+∠3+∠DEF=180°， 又∵∠B=60°，∠DEF=60°，∠1=∠3， ∴∠FDE=∠DEB. ∴DF∥BC．
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考点2 等边三角形的性质与判定(5年2考)
典型例题
1. 已知如图4-18-6，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，AC
边上的点，且∠DEF=60°．
（1）如图4-18-6①，若∠1=50°，求∠2的度数；
（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°.
∵∠B+∠1+∠DEB=180°，
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考点演练
4. 如图4-18-3，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC.已知AB=3，AD=1，
则△AED的周长为
（C ）
A. 2
B. 3-18-4，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中 等腰三角形有____3____个.
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（2）连接AD，BC相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的
移动而变化？请说明理由.
解：（2）α的大小不会随点P的移动而变化.
理由如下：
∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°.
∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°.
∴∠APC=∠BPD.∴∠APD=∠CPB.
__高__线____互相重合（简称：三__线__合__一__）.
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续表
（3）其他性质 ①等腰直角三角形的两个底角_相__等__且__等__于__4_5_°_. 概 ②等腰三角形的底角只能为___锐__角___，不能为钝角或直角，但顶角 念 可为钝角或直角. 定 （4）判定 理 ①定义法：_有__两__条__边__相__等___的三角形是等腰三角形. ②判定定理：__有__两__个__角__相__等__的三角形是等腰三角形（简称：等角 对等边）.
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE． （2）证明：由（1）知∠BAD＝∠CAD. ∵EF∥AC， ∴∠F＝∠CAD. ∴∠BAD＝∠F. ∴AE＝FE．
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考点点拨： 本考点是广东中考的常考题型，题型一般为填空题或解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握等腰三角形的基本性质，同时关 注“平行＋角平分线＝等腰三角形”结构.
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2. （2020青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数
分别是
（D ）
A. 55°，55°
B. 70°，40°或70°，55°
C. 70°，40°
D. 55°，55°或70°，40°
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3. 如图4-18-2，已知AE∥BC，AE平分∠DAC. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：∵AE平分∠DAC， ∴∠1＝∠2. ∵AE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C. ∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形.
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续表 （3）判定
概 ①定义法：_三__条__边__都__相__等__的三角形是等边三角形. 念
②判定定理1：_三__个__角__都__相__等__的三角形是等边三角形. 定 理 ③判定定理2：有一个角等于___6_0_°___的___等__腰___三角形是等边三角
形.
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续表
规律
等腰三角形的三线、边、角性质与判定归纳
底边两端点的距离相等. 角形.
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续表
方 规律 等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
法
底边的一半<腰长<周长的 有两边相等的三角形是等腰三角
规
边 一半
形
律角
等边对等角
等角对等边
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中考考点精讲精练
考点1 等腰三角形的性质与判定(5年2考) 典型例题
1. （2020聊城）如图4-18-1，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC 边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是 （ B ） A. 120° B. 130° C. 145° D. 150°
∴AM=EM.∴△AEM是等边三角形.
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（2）若AE=2，求△AEM的面积． （2）解：∵△AEM是等边三角形，AC⊥BD，
∴∠EAD=∠MAD=30°，AE=EM=2. ∴AD=—23AE= 3 . ∴S△AEM=—21 ×EM×AD=—21 ×2× 3 = 3 ．
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4. （2020宜宾改编）如图4-18-9，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点 B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，点M，N分别是线段BE，AD上的两点， 且BM=—31 BE，AN=—31 AD，判断△CMN的形状并说明理由.
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解：△CMN是等边三角形. 理由如下： ∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴BC=AC，EC=CD，∠BCA=∠ECD=60°. ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD.
BC＝AC, 在△BCE与△ACD中, ∠BCE＝∠ACD,
CE＝CD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）.∴∠MBC=∠NAC，BE=AD. ∵BM=—13 BE，AN=—13 AD，∴BM=AN.
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在△MBC与△NAC中, BM＝AN, ∠MBC＝∠NAC, BC＝AC，
∴△MBC≌△NAC（SAS）. ∴MC=NC，∠BCM=∠ACN. ∵∠BCM+∠MCA=60°， ∴∠NCA+∠MCA=60°. ∴∠MCN=60°. ∴△CMN是等边三角形.
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考点点拨： 本考点是广东中考的常考题型，题型一般为填空题或压轴解答题，难度 较大. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握等边三角形的基本性质和判定定 理. 注意以下要点： （1）等边三角形与全等三角形的结合运用; （2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.
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续表
规律 等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
(1)等腰三角形顶角的平分 （1）如果一个三角形的一个角
方 线垂直平分底边.
法
的平分线垂直于这个角的对边（
规 角平 （2）等腰三角形两底角的 或平分对边），那么这个三角形
律 分线 平分线相等，并且它们的 是等腰三角形.
交点到底边两端点的距离 （2）有两个角的角平分线相等
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
方
（1）等腰三角形底边上的 （1）如果一个三角形的一边中
法
中线垂直底边，并且平分顶 线垂直这条边（或平分这条边
规
角.
的对角），那么这个三角形是
律
中线 （2）等腰三角形两腰上的
等腰三角形.
中线相等，并且它们的交点 （2）有两边上中线相等的三角
与底边两端点的距离相等. 形是等腰三角形.
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2. 如图4-18-7,在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为点G， 且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
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（1）求证：△ABD是等边三角形；
证明：（1）如答图4-18-1，连接BD. ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC=—21 ∠BAC. ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠DAC=60°. 又∵AD=AB， ∴△ABD是等边三角形.
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6. （2019重庆）如图4-18-5，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. （1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数； （1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∠ADC＝90°. 又∵∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°-42°＝48°.
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知识广思东维中导考图
1. （2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为 （A ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17
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2. （2020广东）如图4-18-10，在△ABC中，点D，E分别是AB,
AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是
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（2）求证：BE=AF． （2）∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD. ∵∠EDF=60°，∴∠BDE=∠ADF.
∠DBE=∠DAF=60°， 在△BDE和△ADF中， BD=AD，
∠BDE=∠ADF， ∴△BDE≌△ADF（ASA）. ∴BE=AF．
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等腰三角形．
证明：∵∠ABE=∠ACD，∴∠DBF=∠ECF.
∠DBF＝∠ECF,
在△BDF和△CEF中， ∠BFD＝∠CFE,
BD＝CE，
∴△BDF≌△CEF（AAS）.∴BF=CF，DF=EF.
∴∠FBC=∠FCB.∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形．
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3. （2011梅州改编）如图4-18-11，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的 动点（P不与A，B重合），分别以AP，PB为 边向线段AB的同一侧作等边三角形APC和等 边三角形PBD． （1）当△APC与△PBD的面积之和取最 小值时，AP=____a____；（直接写结果）
第一部分 知识梳理
第四章 三 角 形
第18课时 等腰三角形与等边三角形
目录
01
知识梳理
02 中考考点精讲精练
03
广东中考
知识知思识维梳导理图
1. 等腰三角形 概 （1）定义：_两__边__相__等___的三角形叫做等腰三角形. 念 （2）性质 定 ①性质定理：等腰三角形的__两__个__底__角__相__等__（简称：等边对等角）. 理 ②推论：等腰三角形顶角的_平__分__线___、底边上的___中__线___及底边上的
考点演练
3. 如图4-18-8，已知△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高线，作
AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E，取BE的中点M，连接AM．
（1）求证：△AEM是等边三角形；
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边
上的高线，
∴∠ABD=30°.
∵AE⊥AB，∴∠AEB=60°.
∵点M是BE的中点，∠EAB=90°，