2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义第九章平面解析几何第9讲第1课时Word版含答案

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.过抛物线y 2
＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条
D.有且只有四条
解析 ∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3＞2p ，故这样的直线有且只有两条. 答案 B
2.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( )
A.1
B.2
C.1或2
D.0
解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b a
x 平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A
3.经过椭圆x 2
2＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →
等于( ) A.－3
B.－13
C.－1
3
或－3
D.±13
解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 2
2＋y 2＝1并整理得3x 2
－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个
交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，
也可得OA →·OB →
＝－13.
答案 B
4.抛物线y ＝x 2
到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2
B.728
C.2 2
D.52
6 解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝
|x －y －2|
2
＝
|－x 2
＋x －2|
2
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742
，
∴x ＝12时， d min ＝728.
答案 B
5.已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原
点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝2
3，则该双曲线的离心率为( )
A.52
B.
62
C. 2
D.
153
解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)根据对称性，得B 点坐标为 (－x 1，－y 1)，因为A ，P 在双曲线上，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21
b
2＝1，x 2
2a 2
－y 22b 2
＝1，
两式相减，得k PA
k
PB ＝b 2a 2＝23
，
所以e 2
＝a 2＋b 2a 2＝53，故e ＝15
3
.
答案 D 二、填空题
6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与
椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________.
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2
a ＝1，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，
∴椭圆C 的方程为x 2
4＋y
2
2＝1.
答案
x 24
＋y 2
2
＝1 7.已知抛物线y ＝ax 2
(a ＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________.
解析 由题设知p ＝12a ＝2，∴a ＝1
4
.
抛物线方程为y ＝14x 2
，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1.
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，
y ＝x ＋1，
消去x ，
整理得y 2
－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ，
∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案 8
8.(2017·金华月考)过椭圆
x 2
16
＋y 2
4
＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________；此弦的长为________.
解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22
4＝1，
两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）
4＝0.
又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－3
4
. ∴直线AB 的方程为y －1＝－3
4
(x －3).
即3x ＋4y －13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －13＝0，x 216＋y 2
4＝1，消去y 整理得13x 2
－78x ＋105＝0，x 1＋x 2＝6，x 1x 2
＝
105
13
，|AB |＝1＋k
2
|x 1－x 2|＝1＋k
2
（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－342
·62
－4×10513＝53913
.
答案 3x ＋4y －13＝0 53913
三、解答题
9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l
与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3
a ，
l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2
b
2＝1，消去y ，化简得(a
2
＋b 2
)x 2
＋2a 2
cx ＋a 2
(c 2
－b 2
)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2
c a 2＋b 2，x 1x 2＝
a 2
（c 2
－b 2
）
a 2＋
b 2
. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2]，即43a ＝4ab
2
a 2＋b
2，
故a 2＝2b 2
，
所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝2
2
.
(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知
x 0＝
x 1＋x 2
2＝－a 2
c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c
3
. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即
y 0＋1
x 0
＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 2
18＋y 2
9
＝1.
10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为2
2
.直线y ＝k (x －1)
与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为
10
3
时，求k 的值. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝2
2，a 2
＝b 2
＋c 2
.
解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 2
2
＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2
－4＝0.
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2
－4
1＋2k 2，
所以|MN |＝（x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]
＝2（1＋k 2）（4＋6k 2
）1＋2k
2
又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝
|k |1＋k
2
，
所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 2
1＋2k 2，由|k |4＋6k 2
1＋2k 2
＝10
3
，解得k ＝±1. 能力提升题组 (建议用时：30分钟)
11.已知椭圆x 24＋y 2
b
2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B
两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A.1
B. 2
C.32
D. 3
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，
所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.
由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2
a
＝3，可求得b 2
＝3，即b ＝ 3.
答案 D
12.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 2
3－y 2
＝1的右焦点的连线交C 1于第一象
限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.3
16
B.38
C.233
D.
43
3
解析 ∵双曲线C 2：x 2
3－y 2
＝1，
∴右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±
33
x . 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20. ∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2
－2.①
又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝3
3.②
由①②得p ＝43
3.
答案 D
13.设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x ＋23，
x ＝－2，
得y ＝43，所以P (6，
43).
由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8. 答案 8
14.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 2
4
与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于
M ，N 两点，
(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).
又y ′＝x 2，故y ＝x 2
4在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a
＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.
y ＝x 2
4
在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x
＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.
故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：
设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2
－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b
x 2
＝
2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）
a
.
当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，
则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.
15.已知抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为
Q ，且|QF |＝5
4
|PQ |.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2
＝2px 得x 0＝8p
.
所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p
.
由题设得p 2＋8p ＝54×8
p
，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.
所以C 的方程为y 2
＝4x .
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0).代入y 2
＝4x 得y 2
－4my －4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2
＋1，2m )， |AB |＝m 2
＋1|y 1－y 2|＝4(m 2
＋1).
又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m
y ＋2m 2
＋3.
将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m
y －4(2m 2
＋3)＝0.
设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4
m
，
y 3y 4＝－4(2m 2＋3).
故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
m 2＋2m 2＋3，－2m ，
|MN |＝
1＋1
m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2
＋1
m
2
. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2|MN |，
从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2
，
即4(m 2
＋1)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m 2＋22
＝4（m 2＋1）2（2m 2
＋1）
m
4
. 化简得m 2
－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。