广东省湛江市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题及答案

湛江市2014—2015学年度高一第二学期期末考试
数学(必修③、必修④)试卷
说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．
参考公式：
n 个数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数是x ，这组数据的方差2s 由以下公式计算：
])()()()[(1
22322212x x x x x x x x n
s n -++-+-+-= ．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内
1．215°的角所在象限是
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 2． 在频率分布直方图中,小矩形的面积表示
A ．频率/样本容量
B ．组距×频率
C ．频率
D ．频率/组距 3．下列能与︒20sin 的值相等的是
A ．︒20cos
B ．)20sin(︒-
C ．︒70sin
D ．︒160sin 4．某校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A ．45,75,15 B ．45,45,45 C ．30,90,15 D ．45,60,30
5．向量a=)2,1(-，b=)1,2(，则
A. a ∥b
B. ⊥a b
C. a 与b 的夹角为60°
D. a 与b 的夹角为30°
6．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD
A ．BA BC 2
1+
- B ．21
--
C ．2
1- D ．21
+
7．已知1tan 2α=，则
cos sin cos sin αα
αα
+=- A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-
8．掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面向上的概率是 A.．
9991 B ．21 C.．10001 D ．1000
999 9．已知54cos -
=α，5
3
sin =α，那么角α2的终边所在象限为 A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
10．.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(
,)22
ππ
内的图象是
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 11．已知平面向量a ()1,2-=，则 | a |=_________． 12．阅读如图的程序框图，则输出的S = ．
第6题图
13．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为
45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为 ．
14. 关于函数()4(2)()3
f x sin x x R π
=+
∈有下列命题：
①由0)()(21==x f x f ， 可得21x x -必是π的整数倍； ②)(x f y =的表达式可改写为)6
2cos(4π
-=x y ；
③)(x f y =的图像关于点)0, 6
(π
-
对称；
④)(x f y =的图象关于直线6
π
-
=x 对称
其中正确命题的序号是____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分）
为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示： (1) 分别求甲、乙两运动员最大速度 的平均数甲X ，乙X 及方差2
甲s ，2
乙s ；
(2) 根据(1)所得数据阐明：谁参加这项重 大比赛更合适.
16.（本小题满分12分） 若32cos =α，α是第四象限角，求()()()()()()
πααπαππαπαπα4cos cos cos 3cos 3sin 2sin -⋅-----⋅--+-的值.
17．（本小题满分14分）
已知2||=a ，3||=b ，a 与b
的夹角为︒120. 求（1）(2)(3)a b a b -⋅+； （2）||b a
-.
18．（本小题满分14分）
为积极配合湛江市2015年省运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的． (1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率； (2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．
19．（本小题满分14分）
向量m ＝()x a sin ,1+，n
＝⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
6cos 4,1πx ，设函数()x g ＝n m ⋅(a ∈R ，且a 为常数)．
(1)若a 为任意实数，求()x g 的最小正周期； (2)若()x g 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡3,0π上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．
20．（本小题满分14分）
已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0sin x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,43πM 对称，且在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上是单调函数，求ω和ϕ的值．
湛江市2014—2015学年度第二学期期末考试
高中数学参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11．5 12．30 13．
8
1
14．②③
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分） 解
：
(1)
运
动
员
甲
的
最
大
速
度
的
平
均
数
27383
0373531336
X ++
+
+
+=
=甲；………………………………2分
运
动
员
乙
的
最
大
速
度
的
平
均
数
332938342836
336
X +++++=
=乙； ……………………………………4分
运动员甲的最大速度的方差：
])3331()3335()3337()3330()3338()3327[(6
12222222
-+-+-+-+-+-=甲s ；
7.15≈．………………………………………………………………………………………
…………………7分 运动员甲的最大速度的方差：
2
乙s ])3336()3328()3334()3338()3329()3333[(6
1222222-+-+-+-+-+-=
7.12≈ ．……………………………………………………………………………………
…………………10分
(2)由乙甲X X =，而2
甲s >2
乙s 可知，乙比甲的成绩更稳定些，则乙参加这项重大比赛更合适。

…………12分 16．（本小题满分12分） 解： 3
2
cos =
α，α是第四象限角，
∴35321cos 1sin 2
2
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=--=αα，……………………………………3分 ∴
()()()()()()
πααπαππαπαπα4cos cos cos 3cos 3sin 2sin -⋅-----⋅--+-
=
()()()α
αααααcos cos cos cos sin sin ⋅----⋅+ ……………………………………………9分 =
)
cos 1(cos )
cos 1(sin αααα---…………………………………………………………9分
ααcos sin -
==2
5
．…………………………………………………………12分 17．（本小题满分14分）
解：3)2
1(32120cos -=-⨯⨯=⋅⋅=⋅
b a b a ， ……………………4分
（1）()(
)3427158352322
2-=--=-⋅+=+⋅-b b a a b a b a ；……………8分
（2）()
1996422
22
=++=+⋅-=-=
-b b a a b a b a ．…………14分
18．（本小题满分14分）
解：(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6
(其中1,2是男同学，3,4,5,6是女同学)，………………………………………2分
该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)， (1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)， (3,4,5,6)，共15种， …………………………………………………5分
当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，共8种， ………………………………7分 故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为()15
8
=
A P ；………………… 8分 (2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况，而
4
名女同学当选的情况只有
(3,4,5,6)， …………………………………………………………10分
则其概率为()15
1
=
B P ，……………………………………11分
又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为()15
8
=A P ，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为5
3151158=+=
P . ………………………………………………………13分 答：(1)当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为
158； (2)当选的4名同学中至少有3名女同学的概率5
3
． ……………………14分
19．（本小题满分14分）
解：⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
++=⋅=6cos sin 41)(πx x a n m x g
……………………………2分 ＝1sin 22sin 32++-a x x ………………………………………3分 ＝a x x ++2cos 2sin 3 ………………………………………5分 ＝a x +⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
62sin 2π．…………………………………………………7分 (1) (),62sin 2a x x g +⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=π∴最小正周期π=T ．……………9分 (2)6
56
26
,3
0π
π
π
π
≤
+
≤∴
≤≤x x ； …………………………………11分 当2
6
2π
π
=+x ，即6
π
=
x 时，a y +=2max .……………………12分
当6
6
2π
π
=
+
x ，即0=x 时，a y +=1min ，……………13分
故721=+++a a ，即2=a . ……………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：()x f 是偶函数，
∴y 轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，
∴(),1sin ±==ϕx f ………………………………………………2分
又πϕ≤≤0 ，∴2
π
ϕ=
．…………………………………………4分
由()x f 的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,43πM 对称， ∴,043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，即043cos 243sin ==⎪⎭⎫
⎝
⎛+⋅
ωπππω，…………………6分 又0>ω，∴
,2,1,0,2
43=+=k k π
πωπ． ……………………………8分 ∴() ,2,1,0,123
2
=+=
k k ω …………………………… …………9分 当0=k 时，3
2
=ω，
()x x x f 32cos 232sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π是减函数； ……… ……10分
当1=k 时，2=ω，
()x x x f 2cos 22sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上是减函数； ……………………11分
当2≥k 时， 10
3
ω≥
， ()x x x f ωπωcos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=在
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上不是单调函数． …………………13分 综上所述，32=
ω或2=ω，2
π
ϕ=． ……………………………14分。