用偏微分方程求解人口分布问题

用偏微分方程求解人口分布问题
陈喜林
【摘要】随着物理科学的发展,偏微分方程的应用范围越来越广泛.而人口问题始终是制约我国发展的关键因素,预测我国人口的发展趋势,是我国人口发展战略的核心内容之一.应用一维迁移方程导出人口问题的数学模型,并得出偏微分方程的解.【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(034)006
【总页数】3页(P990-992)
【关键词】一维迁移方程;一阶线性偏微分方程;人口
【作者】陈喜林
【作者单位】罗定职业技术学院教育系,广东罗东527200
【正文语种】中文
【中图分类】O175
设人口的数量不仅与时间t有关，还和年龄x有关，作为一个连续模型(设人口总数很大)，以u(x,t)表示人口在任意时刻x年龄段t岁的分布密度，其中
t≥0,x∈[0,A]，A为人的最大寿命。

这里所说的人口，并不一定限于人，可以是任何一种生物群体，只要有类似的性质，也可以应用一维迁移方程导出人口问题的数学模型。

考虑到死亡对人口分布的影响，假设某年龄人口的死亡数与该年龄人口数成正比，其比例系数为d=d(x)，称为死亡率。

由于假定社会是稳定的，它与时间无关，以人口数作为迁移量，则其源密度为-d·u(x,t)，于是便可导出人口分布密度
u(x,t)所满足的偏微分方程。

为什么0岁人口的出生未考虑在源密度内呢？因为在
任何时刻t，所有出生的婴儿都是0岁人口，其总数应是u(t,0)，这便决定了x=0
处的边值条件，设b(x)为出生率，它仅与年龄有关，而与时间t无关，记a>0为
最小生育年龄，则应有
它便是一个边值条件，然而它并非我们学过的三类边值条件(Dirichletn条
件,Neumann条件,Robin条件)中的任何一个，这是一个非局部边值条件。

那么如何导出所满足的偏微分方程呢？
为此将问题简化成：导出人口分布密度u(x,t)，t≥0，x∈[0,A],A为人的最大寿命，d(x)为死亡率，b(x)为出生率，a<A为最小生育年龄，设u(x,0)=u0(x)，问u0(x)
应满足怎样与边值条件相容的条件？
在解决物理学、力学及工程技术等实际问题的过程中，有许多被考察的量不停地在空间进行传递和迁移，如流体的质量、能量、物体的热量等等，一般地，统称这些量为被迁移量，被迁移量与其所在的空间的位置与时间是有关的，引入被迁移量密度φ(x,t),x∈R3为时刻t，点x处的被迁移量，取包含x点的区域上在时刻t的被迁移量的总和除以该区域之体积为在时刻t区域上的平均被迁移量。

当区域无限收缩为点x时，上述平均被迁移量之极限就是被迁移量密度。

设Ω⊂R3为空间一有
界区域，∂Ω为其边界，在Ω上的被迁移量密度为φ(x,t)，则在时刻t,Ω中的总迁移量为∫Ωφ(x,t)dx。

被迁移量对于空间一曲面而言是穿过曲面而被迁移的。

因此，垂直穿过曲面的被迁移量便是被迁移量相对该曲面的通量，如磁场中穿过曲面的磁力线成为磁通量，电场中有穿过曲面的电通量等等。

同样，设时刻t在x处的被迁移量的通量密度为f(x,t)，即在时刻t，于x处单位时间穿过单位面积曲面的被迁
移量，因为被迁移量是按一定方向穿过曲面的，所以f(x,t)是一向量场，其方向为
被迁移量移动的方向。

于是，在时刻t流出空间的被迁移量为∮∂Ωf(x,t)·ndS，式
中n为曲面∂Ω的单位外法向量，ds为面积微元。

然而在某些实际物理过程中，
所考察的被迁移量有时是在物体中不断产生(或消失)的，即有被迁移量的生成源。

令s(x,t)为被迁移量的源密度，即时刻t在x处生成(或消失)的被迁移量，则在时刻t，区域Ω内生成的被迁移量为∫Ωs(x,t)dx.
很显然，在时刻t，区域Ω内被迁移量总和的增长(它为被迁移量总和关于时间t 的导数)等于在时刻t区域内生成的和流进的被迁移量的和，所以，有如下迁移方程
φ(x,t)dx+∮Ωf(x,t)·ndS=s(x,t)dx
在一般情况下，f(x,t)是连续可微的向量场，则可用Gauss定理，得
其中为Hamilton算子，若向量场f=(f1,f2,f3)，则.
将上式代入(*)式，由于Ω的任意性，所以，迁移方程(1)又可表示为微分形式
设u(x,t)表示时刻t，年龄为x的人口分布密度，d(x)为死亡率，b(x)为出生率，A 为人的最大寿命，a<A为最小生育年龄，注意到在时刻t “流入”及“流出”任意年龄段[x1,x2]的人口为
则可得其迁移方程为
再加上初始条件及边值条件，则人口分布的数学模型应为如下形式
并假设u0(x)满足如下相容条件
又设下式成立
这是非线性问题，如何求解呢？
讨论两个自变量的一阶偏微分方程式。

其中(x,y)∈Ω,Ω∈R2为开集。

假设∀(x,y)∈Ω，向量场(a(x,y),b(x,y))≠0，且
a(x,y),b(x,y)及c(x,y),f(x,y)有足够的光滑性，不失一般性，局部地可设a(x,y)≠0，用a除以上式，然后记x为t，y为x，则可考虑方程
并设A,B,F及Ax,Bx,Fx∈C(R×[t0,+∞))
令如下Cauchy问题
的解χ(τ)=χ(τ;x,t)。

那么方程(1)的微分算子沿曲线ζ=χ(τ;x,t)可写为常微分算子：称曲线ζ=χ(τ;x,t)为方程(4)的过(x,t)的特征曲线，(5)为(4)的特征方程。

由常微分方程理论知，若A,Ax∈C(R×[t0,+∞)),对t≥t0，(5)(6)存在唯一解。

于是，由直线τ=t0上的每一点(x,t0)都可以引出一条特征曲线ζ=χ(τ;x,t)并且所有这些特征曲线是互不相交的，为半平面R×[t0,+∞)上一包含直线{τ=t0}的子集，且用D(R,t0)表示之，它称为直线{τ=t0}关于算子的影响区域。

现在求方程(4)的满足初始条件
的解，这里φ(x)∈C1(R)。

为此，对任意(x,t)∈D(R,t0)，令U(τ)=u(χ(τ;x,t),τ)，其中u(x,t)为(4)的解，由方程(4)得常微分方程式
上式两边同乘以v(τ;x,t)，其中
再由t0到t0积分得
U(t)=U(t0)v(t0;x,t)+U(t0)v(t)
又因
于是可得(4)及(7)的解为
u(x,t)=φ(χ(t0;x,t))v(t0;x,t)
并且是唯一解。

如果B≡0,F≡0则可得u(x,t)=φ(χ(t0;x,t)),这表明沿每条特征曲线解取常值
利用特征方法解所建立的模型。

为了求解方便，先作函数代换，将方程齐次化，令易知上述问题(2)可化为
v(t0,x)=v0(x)=u0(x)e∫d(τ)dτ,0≤x≤A
其中
而相容条件化为
下面用特征方法求解(8)，其特征方程为，于是过点(t0,x0)的特征线，χ(t)=t+x0-t0而因v(t,x)沿特征线的微分
即它沿任一特征线是取常值。

下面分不同区域讨论解的表达式。

在区域{(t,x);t≥0,t≤x≤A}上，过其中任一点(t,x)的特征线，向t减少方向必交于初始区间0≤x<A9，故有
这与弦振动方程的解一样是波速为1的右传播波解。

在区域{(t,x);t≥0,t-a≤x≤t,0≤x<A}中，过其中任一点(t,x)的特征线，沿t减少方向必交于区域边界t轴于区间[0,a]上一点t-x处，于是，由边界条件
这是因为a≥t-x≥0,a≤ζ≤A。

积分号下的v(t-x,ζ)可由(9)表示。

同理,对区域{(t,x);t≥0,t-2a≤x≤t-a,0≤x≤A}中任一点(t,x)，其解可表示为
重复以上做法，便可在整个区域{(t,x);t≥0,0≤x<A}上获得解，可用如下递推公式：则问题(2)的解：
虽然上述解上一分片区域求得的，但由v0(x)及B(x)的光滑性，可以证明解在整个区域是光滑的，且在整个区域内满足方程式.
【相关文献】
[1] 马天.偏微分方程理论与方法[M].北京：科学出版社,2010.
[2] 姜启源.谢金星叶俊数学模型(第三版)[M].北京：高等教育出版社 ,2003.
[3] 袁志发,周静芋.多元统计分析[M].北京：科学出版社,2003.。