湖北省孝感市云梦一中2012-2013学年高二数学下学期3月月考试卷(含解析)新人教A版

2012-2013学年某某省某某市云梦一中高二（下）3月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）（2006•某某）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是
A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2
考
点：
导数的几何意义．
分析：已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．
解答：解：∵y=4x﹣x3，
∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，
∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，
故选D．
点评：本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．
2．（5分）（2008•某某）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p
的值为（）
A．2B．3C．4D．4
考
点：
双曲线的简单性质．
专
题：
计算题．
分
析：
先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标，再由抛物线的方程表示出准线方程，最后根据双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上可得到关系式
，求出p的值．
解
答：解：双曲线的左焦点坐标为：，
抛物线y2=2px的准线方程为，所以，
解得：p=4，
故选C
点
评：
本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质．
3．（5分）一质点运动时位移与时间的关系式为s（t）=t2﹣t+6，作直线运动，则此物体在t∈[1，4]时间的加速度为（）
A．1B．2C．7D．不能确定
考
点：
导数的几何意义；变化的快慢与变化率．
专
题：
计算题．
分
析：
利用导数的几何意义可求得答案．
解答：解：∵速度v（t）=s′（t）=2t﹣1，
加速度a（t）=v′（t）=2．
∴此物体在t∈[1，4]时间的加速度为2．故选B．
点
评：
本题考查导数的几何意义，考查理解与运算能力，属于中档题．
4．
（5分）
（2006•某某）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（）A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0
考
点：
导数的几何意义；两条直线垂直的判定．
分析：切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程．
解答：解：设切点P（x0，y0）
∵直线x+4y﹣8=0与直线l垂直，且直线x+4y﹣8=0的斜率为﹣，
∴直线l的斜率为4，
即y=x4在点P（x0，y0）处的导数为4，
令y′=4x03=4，得到x0=1，进而得到y0=1
利用点斜式，得到切线方程为4x﹣y﹣3=0．
故选A．
点
评：
熟练应用导数的几何意义，考查两条直线垂直，直线的斜率的关系
5．（5分）平面内有一长度为2的线段AB和一动点P满足|PA|+|PB|=6，则|PA|的取值X围是（）
A．[1，4] B．[1，6] C．[2，6] D．[2，4]
考
点：
椭圆的简单性质；椭圆的定义．
专
题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：依题意，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆，利用椭圆的几何性质即可求得|PA|的取值X围．
解答：解：∵|AB|=2，动点P满足|PA|+|PB|=6，
∴动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆，即2c=2，2a=8，
∴c=1，a=3，
∴|PA|max=a+c=3+1=4，|PA|min=a﹣c=3﹣1=2．
∴2≤|PA|≤4．
故选D．
点评：本题考查椭圆的定义域简单性质，明确点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆是关键．属于中档题．
6．（5分）（2010•某某二模）已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈（0，），
tanx＞sinx，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∨（﹁q）C．（﹁p）∧q D．p∧（﹁q）
考
点：
复合命题的真假．
专
题：
阅读型．
分析：由指数函数的性质，我们易判断命题p的真假，根据三角函数的性质，我们易判断命题q的真假，然后根据复合命题真假判断的“真值表”我们易得正确答案．
解
答：
解：因为当x＜0时，，
即2x＞3x，所以命题p为假，从而﹁p为真．
因为当时，，即tanx＞sinx，所以命题q为真．
所以（﹁p）∧q为真，
故选C．
点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据：
p∧q时，p与q均为真时为真，p与q存在假命题即为假；p∨q时，p与q均为假时为假，p与q存在真命题即为真；是判断复合命题真假的关键．
7．（5分）函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示，则等于（）
A．B．C．D．
考
点：
利用导数研究函数的极值．
专
题：
综合题．
分析：由图象知f（x）=0的根为﹣1，0，2，求出函数解析式，x1和x2是函数f（x）的极值点，故有x1和x2是f′（x）=0的根，可结合根与系数求解．
解答：解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2
∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2．
由题意有x1和x2是函数f（x）的极值点，故有x1和x2是f′（x）=0的根，
∴x1+x2=，x1•x2=﹣．
则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2=+=，
故答案为：．
点评：本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数，属中档题．
8．（5分）若2x2+y2=18，则x+y的取值X围为（）A．B．C．D．
考
点：
两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．
专
题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：可利用椭圆的参数方程，求得x=3cosθ，y=3sinθ，再结合辅助角公式，将x+y 转化为单角单名函数，利用正弦函数的有界性即可求得答案．
解
答：
解：∵2x2+y2=18⇔，
∴x+y=3cosθ+3sinθ=3sin（θ+φ）（其中tanφ==）．∴x+y的取值X围为[﹣3，3]．
故选D．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的定义域和值域，考查椭圆的参数方程，着重考查化归思想，属于中档题．
9．（5分）设1≤a≤b≤c≤d≤100，则的最小值为（）A．B．C．D．2
考
点：
基本不等式．
专
题：
计算题．
分
析：
依题意，a=1，d=100，结合已知，利用基本不等式即可求得答案．
解答：解：∵1≤a≤b≤c≤d≤100，
∴要使+最小，只需a=1，d=100，
∴+的最小值即为所求．
∵1≤b≤c≤100，
∴+≥+≥2=2×=（当且仅当b=c=10时取“=”）．故选B．
点
评：
本题考查基本不等式，考查分析与推理、运算能力，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x∈[0，+∞）时f（x）=x3﹣2x2+x+a，则当a＜0时，方程f（x）=0的根的个数可能是（）
A．2、4 个B．2、6 个C．2、4、6个D．0、2、4个
考
点：
根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合．
专
题：
函数的性质及应用．
分析：先考虑当x∈[0，+∞），a＜0时，方程f（x）=0的根的个数，令 g（x）=x3﹣2x2+x，则 f（x）=g（x）﹣（﹣a），
即把函数g（x）的图象向下平移﹣a个单位得到f（x）的图象．画出函数g（x）的简图，数形结合求得g（x）的零点个数，
即可求得函数g（x）的零点个数．
解答：解：∵函数f（x）是偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x3﹣2x2+x+a，
先考虑当x∈[0，+∞）且a＜0时，方程f（x）=0的根的个数（即函数f（x）的零点个数）．
令 g（x）=x3﹣2x2+x=x•（x﹣1）2，则 f（x）=g（x）﹣（﹣a），
即把函数g（x）的图象向下平移﹣a个单位得到f（x）的图象．
而函数g（x）在[0，+∞）上的零点有2个：即 0 和1，如图所示：
故当x∈[0，+∞）且a＜0 时，方程f（x）=0的根的个数可能为1，2，3，故当x∈（﹣∞，+∞）时，由函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，可得方程f（x）=0的根的个数可能为2，4，6，
故选C．
点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，函数的奇偶性、函数的零点，体现了数形结合以及等价转化的数学思想，
属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）求函数的最小值．
考
点：
基本不等式在最值问题中的应用．
专
题：
计算题；压轴题．
分
析：
利用分离常数把函数化为：，利用基本不等式求出函数的最小值．解
答：解：原式变形的…（3分）因为x≥0，所以x+2＞0，所以…（6分）
所以y≥7，当且仅当x=1时，取等号…（9分），
所以y min=7（当且仅当x=1时）…（10分）
点评：本题考查分式形函数求最值的方法，本题分子次数高于分母次数，故将其恒等变形为可以用基本不等式求最值的形式，求最值，这是解此类题求最值优先选用的方法，本题有一易错点，那就是忘记验证等号成立的条件是否在定义域内，做题时要考虑周全噢．
12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）= 6 ．
考
点：
导数的运算．专
题：
计算题．
分析：将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．
解答：解：f′（x）=6x+2f′（2）令x=2得
f′（2）=﹣12
∴f′（x）=6x﹣24
∴f′（5）=30﹣24=6
故答案为：6
点
评：
本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．
13．（5分）已知P为抛物线y2=4x上的动点，过P分别作y轴与直线x﹣y+4=0的垂线，垂足分别为A，B，则PA+PB的最小值为．
考
点：
抛物线的简单性质．
专
题：
计算题．
分
析：设P（，y），则 PA+PB=+﹣+2=﹣+2，故当 y==2﹣2 时，PA+PB 有最小值．
解
答：
解：设P（，y），则 PB==﹣+2，
∴PA+PB=+﹣+2=﹣+2，
故当 y==2﹣2 时，PA+PB 有最小值等于，
故答案为：．
本题考查抛物线的标准方程，简单性质，以及二次函数的最小值的求法，判断当
点
评：
y==2﹣2 时，PA+PB 有最小值，是解题的关键．
14．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视
线不被圆C挡住，则a的取值X围是a＞或a．
．
圆的切线方程．
考
点：
分
先求过A与圆C：x2+y2=1相切的直线方程，再求a的取值X围．
析：
解
解：过A与圆C：x2+y2=1相切的直线的斜率是，切线方程是y=（x+2），答：
若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x=2的直线上，且a＞或
a．
故选A＞或a．
本题考查圆的切线方程，考查数形结合的思想，是中档题．
点
评：
15．（5分）已知关于x方程cos2x﹣sinx+a=0，若0＜x≤程有解，则a取值X围是（﹣1，1]
复合三角函数的单调性．
考
点：
计算题；转化思想；综合法．
专
题：
分本题宜变为求三角函数的值域的问题，可令a=﹣cos2x+sinx，求其值域即得参数a取
析：值X围
解答：解：由题意，方程可变为a=﹣cos2x+sinx
令t=sinx，由0＜x≤得t=sinx∈（0，1]
即a=t2+t﹣1，t∈（0，1]
解得a∈（﹣1，1]
故答案为（﹣1，1]
点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查根据复合三角函数的单调性求值域，本题求参数X围的题转化为求函数的值域是解此类题的常用技巧．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知命题p：关于x的方程有负根；命题q：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜a的解集为φ．且“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，某某数a的取值X围．
考
点：
复合命题的真假；绝对值不等式的解法．
专
题：
计算题；分类讨论．
分
析：
由命题p：关于x的方程有负根，我们易得的取值X围为：﹣3＜a＜1；由命题q：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜a的解集为φ，我们易得的取值X围为：，根据“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，我们易得p与q一真一假，分类讨论后，即可得到实数a的取值X围．
解
答：
解：命题p⇔⇔﹣3＜a＜1；
命题q⇔
且由题意知：p与q一真一假，
当p为真命题，q为假命题时，
﹣3＜a＜1且a＞，
此时a∈∅
当p为假命题，q为真命题时，
a≤﹣3，或x≥1且，
此时a≤﹣3或
故满足条件的a的取值X围为：a≤﹣3或
点评：本题考查的知识点是分式不等式的解法，对数函数的性质，绝对值不等式的解法，复合命题的真假判断等，其中根据分式不等式的解法，对数函数的性质，绝对值不等式的解法，求出命题p，命题q对应的a的取值X围，是解答的关键．
17．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为F1（0，﹣），F2（0，），且离心率．（I）求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值X围．
直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
考
点：
综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
专
题：
分
析：（I）设椭圆方程为，由焦点可得c，由离心率可得a，再由
b2=a2﹣c2可得b；
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△＞0①，设A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得2×=x1+x2，代入韦达定理可得m，k的方程②，代入①消掉m即可；
解
答：解：（I）设椭圆方程为，
由题意得c=2，e=，所以a=3，
b2=a2﹣c2=1，
所以椭圆的方程为；
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
由得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0，
则△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即k2﹣m2+9＞0①，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
因为线段AB中点的横坐标为，所以2×（﹣）=﹣，
化简得k2+9=2km，所以m=②，
把②代入①整理得k4+6k2﹣27＞0，解得k＜﹣或k＞，
所以直线l倾斜角的取值X围为k＜﹣或k＞．
点本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的
评：能力，（Ⅱ）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得X围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．
18．（12分）已知函数，且函数f（x）与g（x）的图象关
于直线y=x对称，又，g（1）=0．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得命题p：f（m2﹣m）＜f（3m﹣4）和满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值X围；若不存在，说明理由．
考
点：
反函数；复合命题的真假；函数的值域．
专
题：
计算题；综合题；存在型．
分析：（I）依题意函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称得：f（x）与g（x）互为反函数，利用反函数图象间的对称性列出关于a，b方程求出它们的值，最后利用f （x）在[0，+∞）上是减函数即可求得f（x）的值域；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的减函数，g（x）是（0，1]上的减函数，欲使得复合命题p且q为真命题，必须p且q都为真命题，据此列出不等关系，解之，如果不出现矛盾则存在，否则不存在．
解
答：
解：（Ⅰ）依题意f（x）与g（x）互为反函数，
由g（1）=0得f（0）=1∴，
得∴（3分）
故f（x）在[0，+∞）上是减函数∴
即f（x）的值域为（0，1]．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的减函数，g（x）是（0，1]上的减函数，又∴（9分）
故解得
因此，存在实数m，使得命题p且q为真命题，且m的取值X围为：
．（12分）
点评：本题主要考查了反函数、复合命题的真假函数的值域及存在性问题．求反函数，一
般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）
中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
19．（12分）（2006•某某）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜
x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
考
点：
利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．
专
题：
计算题；应用题．
分析：（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．
（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．
解
答：
解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h （x）升，
依题意得
，
．
令h'（x）=0，得x=80．
当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．
∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．
因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，
所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为
11.25升．
点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
20．（13分）（2008•东城区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程
为，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k PM•k PN的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用．
专
题：
计算题；综合题．
分
析：
（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，且其一条渐近线方程为，两条准线间的距离为1，可得方程组：
解得a2=1，b2=3，代入可得答案；
（Ⅱ）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x P，y P），结合题意，又由M在双曲线上，可得，将其坐标代入k PM•k PN中，计算可得答
案．
解
答：
解：（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，
有：
解得a2=1，b2=3．
∴双曲线方程为．
（Ⅱ）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（﹣x0，﹣y0）．
设P（x P，y P），
则，
又，
∴y02=3x02﹣3．
同理y P2=3x P2﹣3，
∴．
点评：本题考查双曲线与直线相交的性质，此类题目一般计算量较大，注意计算的准确性，其次要尽可能的简化运算，以降低运算量．
21．（14分）已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（﹣1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，
且直线l的倾斜角θ∈（，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m﹣1，m+1]上是增函数，某某数m的取值X围；
（Ⅲ）若x1、x2∈[﹣1，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≤4．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专
题：
计算题．
分析：（I）根据在x=0处取得极值以及过点（0，0）可求出c和d，然后根据曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，建立方程求出a和b，从而求出函数的解析式；
（II）令f'（x）＞0求出函数f（x）的增区间，使[2m﹣1，m+1]是增区间的子集，建立不等关系，解之即可；
（III）先利用导数求出函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值，f（x1）﹣f（x2）≤f（x）max﹣f（x）min，从而得到结论．
解
答：解（Ⅰ）由已知f'（x）=3ax2+2bx+c∴⇒c=d=0∴c=d=0…（2分）又且f'（﹣1）＜0∴f'（﹣1）=﹣3 （舍去f'（﹣1）=）∴⇒⇒f（x）=x3+3x2…（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=3x（x+2）＞0⇒x＞0或x＜﹣2 即f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2]、[0，+∞）
∵y=f（x）在区间[2m﹣1，m+1]上是增函数
∴2m﹣1＜m+1≤﹣2或0≤2m﹣1＜m+1 则m≤﹣3或≤m＜2…（8分）
（Ⅲ）令f'（x）=3x（x+2）=0⇒x=0或x=﹣2
∵f（0）=0，f（﹣1）=2，f（1）=4∴y=f（x）在[﹣1，1]上的最大值为4，最小值为0…（10分）
∴x1、x2∈[﹣1，1]时，|f（x1）﹣f（x2）|≤4﹣0=4…（12分）
点评：本题主要考查函数解析式，函数单调性和不等式的证明，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式．。