相似三角形 经典模型总结与例题分类

相似三角形经典模型总结与例题分类
相似三角形经典模型总结
在相似三角形中，有一些经典的模型，包括平移型、平行型、旋转180°型、翻折180°型、一般型、特殊型、斜交型、双垂直型等。

这些模型可以帮助我们更好地理解和解决相似三角形的问题。

其中，平移型、平行型、翻折180°型、斜交型和双垂直型都是比较常见的模型。

在解决相似三角形的问题时，可以根据具体情况选择相应的模型进行分析。

以下是一些例题，可以帮助我们更好地理解相似三角形的模型和应用。

例1：如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE=EF=FM=MB，则S△.
例2：如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD=9，BC=18，.
例3：已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别
相交于点E，F，G，H。

则PEPH=PFPG。

例4：已知：在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，且AE=2，BE、CD相交于点F。

则ABF=2EFD。

例5：已知：在△ABC中，AD=11AB，延长BC到F，使CF=BC，连接FD交AC于点E。

则①DE=EF②AE=2CE。

例6：已知：D，E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F，
例7：如图，已知XXX，若AB=a，CD=b，EF=c，则
a/b=c/(a+c)。

例8：如图，S△.
例9：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC
上一点，ME⊥AD于点E，MF⊥BC于点F。

则
MF/ME+1=BD/AC。

例10：如图，在△ABC中，D是AC边的中点，过D作
直线EF交AB于E，交BC的延长线于F。

则AE·BF=BE·CF。

BCF：在线段AB上取一点C，以AC、CB为底在AB同
侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于
点P，BD交CE于点Q，证明CP=CQ。

解法：首先，由等腰三角形的性质可知，∠XXX∠CEB，∠ACD=∠BCD，因此△ADC≌△CEB，从而AP=BP，
AQ=CQ。

又因为P、Q分别在CD、CE上，所以PQ∥DE。

又因为AE、BD交于一点，所以PQ交AB于一点，设交点为M，则APMQ为平行四边形，从而CP=CQ。

ACB：在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G分别落在AC、AB边上。

作法如下：首先画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方
形D′E′F′G′，连接BF′并延长交AC于点F，过F点作FE⊥BC，
垂足为点E，过F点作FG∥BC交AB于点G，过G点作
GD⊥BC，垂足为点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形。

问题：（1）证明上述所作的四边形DEFG为正方形；（2）在△ABC中，如果BC=6+3，∠ABC=45°，∠BAC=75°，求上述正方形DEFG的边长。

解法：（1）连接DE、EF、FG、GD，由作法可知，DEFG是平行四边形，所以DE=FG，EF=GD，因此DEFG是
正方形。

2）设正方形DEFG的边长为x，则有EF=FG=x，因此
AE=AF+FE=AF+x，由正弦定理可知，$\frac{AF}{\sin \angle ABC}=\frac{AB}{\sin \angle BAC}$，代入数据可得AF=6，
AB=6+3=9，$\sin \angle ABC=\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \angle BAC=\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，代入可得$x=\sqrt{2}+\sqrt{6}$。

梯形ABCD：已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD互相垂直，则AD+BC=AB+CD。

解法：设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d，AC=e，BD=f，
由勾股定理可知，$e^2=a^2+f^2$，$f^2=b^2+e^2-2be\cos
\angle BAC$，$e^2=c^2+d^2-2cd\cos \angle BAC$，代入可得
$f^2=b^2+c^2+d^2-a^2-2cd\cos \angle BAC$，由余弦定理可知，$f^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2ab-2cd$，即
$f^2=a^2+2ab+b^2+c^2+2cd+d^2-2ab-2cd$，整理可得
$f^2=a^2+b^2+c^2+d^2$，即
$AD+BC=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}=AB+CD$。

AOD：当△AOD，以点O为旋转中心，逆时针旋转θ度（0<θ<90），则上述结论不成立。

解法：当θ=90°时，A、O、D三点共线，AD=OD，上述
结论成立；当θ<90°时，由于旋转后△AOD不再是等腰三角形，因此上述结论不成立。

ABCD、BEFG：四边形ABCD和BEFG均为正方形，求
解法：由于ABCD和BEFG均为正方形，因此
AB=BC=CD=DA，BE=EF=FG=GB。

又因为AG=AD+DF+FG，CE=CB+BE，因此.。