专题7 立方根和实数的概念与性质,实数的运算

专题7 立方根和实数的概念与性质，实数的运算
知识要点
1.立方根：一个数的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 叫作a 的立方根或三次方根，
，读作“三次根号a ”，a 是被开方数，3是根指数.任何数都有立方根。

求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方和开立方互为逆运算。

2.正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.了解常见的“开立方”，
；立方根等于本身的数有三个，分别是0，-1和1.
3.立方根的性质
（1（该性质将求一个数的立方根的问题，转化为求其相反数的立方根的问题）.
（2）被开方数的小数点向左（或右）移动3位，它的立方根的小数点就相应向左（或右）移动1位。

（3）若a ＞b >a ＞b .
（4）两个结论：3
=a a . 4.无理数：无限不循环小数又叫作无理数.
无理数常见的呈现形式为开方开不尽的数，即化简后带根号的形式，如与圆周率π相关的数，如2π-1；形如0.1010010001…（每两个1之间多一个0）的有规律不循环的形式.
无理数是无限小数，但无限小数不一定是无理数；无理数不能写成分数的形式.
5.实数
（1）有理数和无理数统称实数。

（2）实数的分类：通常有两种分类，按照定义分类和按照正负分类。

（3）实数的性质：数轴上的点和实数一一对应，有理数中如绝对值、相反数、倒数的相关概念和意义，所有运算、运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。

典例分析
例1 6
1112⎛⎫--- ⎪⎝⎭的立方根是_______ 【分析】将带分数化为假分数，按照立方根的定义来求值，注意运算的顺序.
【解】因为61112
⎛⎫--- ⎪⎝⎭=652⎛⎫-- ⎪⎝⎭=652⎛⎫- ⎪⎝⎭，且3252⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=222555222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=652⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以
252524⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭
. 【点评】①一个数的立方根的符号和原数符号相同；②求立方根的运算，需先转化成3x a =的形式.
拓展与变式1 ()6
x -的立方根为________.
拓展与变式2 若x ²=64的值是________.
拓展与变式3 解下列方程：（1）()311x -+=；（2）()3812270x -+=.
【反思】①审题时，要注意按照定义进行运算，注意被开方数的范围，注意整体的思想运用。

②需要灵活判新和运用立方运算和它的逆运算—开立方的运算。

例2 将下列数填到相应的大括号内：-16，119，-36427，3293-，0，π，3，，3，()
22，12
π+. 有理数集合：}{ … ； 分数集合：}{ …
无理数集合：}{ …； 正实数集合：}{ … 整数集合：}{ …
【分析】“非负数”代表非负实数，即0和正实数，在学习本章之前，“非负数”代表0和正有理数.无理数与非0有理数作加减乘除运算，结果仍为无理数.
【解】有理数集合()32116416 02 927⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪⎭⎩，，
，，…； 分数集合：31164 927⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎭⎩
，… 无理数集合33293 1 2ππ⎧⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎭，，，…； 正实数集合()
231132932+192ππ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎭⎩，，，，，… 整数集合：(){{}
216,0,2,-… 【点评】注意分类的标准，分数都是有理数，熟悉无理数常见的三种呈现形式.
拓展与变式4 将13-，38，()123-+，()
322+-这四个数中的无理数之和.
拓展与变式5 如图7-1所示，点A ，B ，C ，D ，O 分别表示数为1,2,3,4,0，点P 从点O 出发，向数轴正方向匀速运动，速度为每秒3个单位长度，2秒后，点P 在线段_______上.
图7-1
【反思】①要善于运用实数的运算律和运算性质进行计算；②根据实数的符号、大小等信息，可以判断该数在数轴上的位置.
例3 在算式333中处填上运算符号，使结果为负实数，则填的运算符号为（ ）
A .乘号
B .除号
C .加号
D .减号
【解】因为333=3-3=0，333=3-1=2＞0,333＞0，
333323-(()222232312=⨯=＞9=3²
则333230，所以填的运算符号为减号，答案为D .
【点评】本题考查实数的运算和比较大小
拓展与变式6
33312232x -=x 的值.
拓展与变式7 有一个体积为200 cm3的正方体，在它的八个角上分别截去8个大小相同的小正方体
后，余下部分的体积是75 cm3，则截去的每个小正方体的棱长是cm.
【反思】含有立方或立方根形式的方程，可利用立方根的定义求解．
专题突破
1．一个数的立方根与平方根互为相反数，则这个数是( )．
A.－1 B．1 C．0 D．±1
2．(1)；
(2)x＋1是216的立方根，则x－6的立方根是．
3．求下列各数的立方根：
(1)
64 125
；
(2) －0. 008；
(3)(－2)6．
4．解方程：(1)x3＝4；
(2)(x－1)3＝4；
(3)()3244
x--=
5.已知44m和n，求m－2n的值．。