人教版高二数学选修1-2能力拓展 2-1-1 合情推理

能力拓展提升
一、选择题
11．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是()
A．27 B．28
C．29 D．30
B
后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.
12．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2 010到2 012的箭头方向依次为()
14→58→912
↓↑↓↑↓↑……
2→36→7 10→11
A．↓→B．→↓
C．↑→D．→↑
D
根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2010÷4＝502余2，故从2010到2012与从2到4的方向一致，故选D.
13．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()
A．白色B．黑色
C．白色的可能性大D．黑色的可能性大
A
由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是() A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
C
本题主要考查数形的有关知识．
图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，
以上累加得a n－a1＝2＋3＋…＋n，a n＝1＋2＋3＋…＋na n＝
n·(n＋1)
，图2中满足b n＝n2，
2
一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；
一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．
∵1225＝352＝49×50
，∴选C.
2
二、填空题
15．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．
a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
16．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD －A1B1C1D1中，可写出类似的命题：_______________________________
___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与棱AB 、BB 1、BC 所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2
(或：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与平面ABCD 、ABB 1A 1、BCC 1B 1所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1)．
三、解答题
17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n
＋2＝0(n ≥2)，计算S 1、S 2、S 3、S 4，并猜想S n 的表达式．
当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；
当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13
； 当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53；∴S 3＝－35
； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57
. 猜想：S n ＝－2n －32n －1
(n ∈N *)． 18．若a 1、a 2∈R ＋
，则有不等式a 21＋a 222≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．
本例可以从a 1、a 2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33
)2， a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44
)2，…， a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n
)2； 第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n 1＋a n 22
≥(a 1＋a 22
)n ； 第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33
)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a m n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n
)m . 上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。