2017年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略课件第1部分 专题6 突破点18 导数的应用酌情自选

(1)可导函数__________________，但导数为 0 的点_________________，如
函数极值的判别注意点 函数 f(x)＝x3，当 x＝0 时就不是极值点，但 f′(0)＝0.
(2)极值点______一个___， 而是一个______， 当 x＝x0 时， 函数取得极值． 在
(2016·山东高考)设 f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x＝1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)由 f′(x)＝ln x－2ax＋2a，1 分 可得 g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)． 所以 g′(x)＝1x－2a＝1－x2ax.2 分 当 a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增；3 分 当 a>0，x∈0，21a时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增， x∈21a，＋∞时，函数 g(x)单调递减.5 分 所以当 a≤0 时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)； 当 a>0 时，g(x)的单调增区间为0，21a，单调减区间为21a，＋∞.6 分
故 f(x)为增函数； 当 x＞x2 时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0， 故 f(x)为减函数． 由 f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知 x2＝6－a＋6 a2＋36≤3，解得 a≥－92， 故 a 的取值范围为－92，＋∞.12 分
热点题型 2 利用导数研究函数的极值、最值问题 题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以 解答题的形式考查，难度较大.
不符合题意，排除 A、C.
(1)
当 a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当 x∈－∞，－32时， f′(x)<0，x∈－32，0时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意 f(0)＝1，f－32 ＝－54，则 f(x)的大致图象如图(2)所示．
(2) 不符合题意，排除 D.]
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与 策略课件：第1部分 专题6 突破点18 导数的应用
(酌情自选)
导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法 __________________ ， 如 果 ____________ ， 那 么 函 数 y ＝ f(x) 在 此 区 间 内 ____________；如果___________，那么函数 y＝f(x)在此区间内____________．
[变式训练 1] (2016·重庆模拟)设函数 f(x)＝3x2e＋x ax(a∈R). 【导学号：67722067】
(1)若 f(x)在 x＝0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程；
(2)若 f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求 a 的取值范围．
x∈(1,2)时，h′(x)＞0，单调递增，又 h－12＝74－2ln 2，h(2)＝2ln 3－2， 13 分
又 h－12－h(2)＝145－2ln 6＞0， 所以 hmax(x)＝h－12＝74－2ln 2，所以 m≥74－2ln 2.14 分
根据函数 y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法： (1)若函数 y＝f(x)在(a，b)上单调递增，转化为 f′(x)≥0 在(a，b)上恒成立求 解． (2)若函数 y＝f(x)在(a，b)上单调递减，转化为 f′(x)≤0 在(a，b)上恒成立求 解． (3)若函数 y＝f(x)在(a，b)上单调，转化为 f′(x)在(a，b)上不变号即 f′(x) 在(a，b)上恒正或恒负． (4)若函数 y＝f(x)在(a，b)上不单调，转化为 f′(x)在(a，b)上变号．
(2)由(1)知 f′(x)＝－3x2＋e6x－ax＋a.
令 g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由 g(x)＝0，解得 x1＝6－a－6 a2＋36，
x2＝6－a＋6
a2＋36 .8
分
当 x＜x1 时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0， 故 f(x)为减函数；
当 x1＜x＜x2 时，g(x)＞0，即 f′(x)＞0，
[解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝6x＋aex－ ex32 x2＋axex ＝－3x2＋e6x－ax＋a.2 分 因为 f(x)在 x＝0 处取得极值，所以 f′(0)＝0，即 a＝0. 当 a＝0 时，f(x)＝3exx2，f′(x)＝－3xe2x＋6x，故 f(1)＝3e，f′(1)＝3e，从而 f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程为 y－3e＝3e(x－1)，化简得 3x－ey＝0.6 分
f(a)，f(b)作比较
最大
最大值
最小
最小值
最值
导数法
单调性
回访 1 导数与函数的单调性
1．(2016·全国乙卷)若函数 f(x)＝x－13sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)单调递增，
则 a 的取值范围是(
)
A．[ －1,1]
B.－1，13
C.－13，13
D.－1，－13
C [取 a＝－1，则 f(x)＝x－13sin 2x－sin x，f′(x)＝1－23cos 2x－cos x，但 f′(0)
x0 处有_______________是函数 f(x)在 x0 处取得极值的_______________．
(3) 函 数
f(x) 在一 闭区间 上 的 _________ 是 此函 数 在此 区间 上 的 _________与
其________________________，函数
f(x)在一闭区间上的_________是此函数在
热点题型 1
利用导数研究函数的单调性问题
题型分析：利用导数研究函数的单调性问题常在解答题的第 1问中呈现，
有一定的区分度，此类题涉及函数的极值点、利用导数判断函数的单调性、不
等式的恒成立等.
(2016·烟台二模)已知函数 f(x)＝aln(x＋1)－b(x＋1)2 图象上点 P(1， f(1))处的切线方程为 y＝－3x＋2ln 2－1.
[解] (1)由题意可知，x∈(－1，＋∞)， f′(x)＝x＋a 1－2b(x＋1)，f′(1)＝a2－4b，f(1)＝aln 2－4b， 可得，a2－4b＝－3，aln 2－4b＝2ln 2－4，解得 a＝2，b＝1.3 分 此时 f′(x)＝x＋2 1－2(x＋1)＝－2xx＋2＋1 2x， 因为 x∈(－1，＋∞)，当 x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.5 分
函数最值的判别方法 再与__________________，其中_______的一个是__________，________的一个 是__________．
(2)求函数 f(x)在非闭区间上的______，只需利用__________判断函数 f(x)的
__________，即可得结论．
求出f′(x)＝0的根的函数值
(2)常数函数的判定方法 如果在________________，______________，那么_____________________， 在此区间内________________．
(在3某)已 个区知 间(函 a，b数 )内的单调性求参数的f取 ′(x)＞值 0 范围
设可导函数 f(x)在某个区间内__________________，则可以得出函数 f(x)在
(2)由(1)知，f′(1)＝0. ①当 a≤0 时，f′(x)单调递增， 所以当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值，不合题意.7 分 ②当 0<a<12时，21a>1，由(1)知 f′(x)在0，21a内单调递增，可得当 x∈(0,1) 时，f′(x)<0，当 x∈1，21a时，f′(x)>0. 所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在1，21a内单调递增，所以 f(x)在 x＝1 处取得 极小值，不合题意.9 分
(3)由 f(x)≤g(x)可得，2ln(x＋1)－(x＋1)2≤－2x2＋x＋m－1， 即 2ln(x＋1)＋x2－3x≤m 在 x∈(－1,2)上恒成立， 令 h(x)＝2ln(x＋1)＋x2－3x，11 分 h′(x)＝x＋2 1＋2x－3＝2x2x－＋x1－1＝2x＋x1＋1x－1， 当 x∈－1，－12时，h′(x)＞0，单调递增，x∈－12，1，h′(x)＜0，单调 递减，
(2)依题意，t＝2ln(x＋1)－(x＋1)2，由(1)可知， 当 x∈1e－1，0，f(x)单调递增，当 x∈(0，e－1)，f(x)单调递减，6 分 而 f(0)＝－1，f1e－1＝－2－e12，f(e－1)＝2－e2， 因为－2－e12－(2－e2)＝e2－4－e12＞0，8 分 所以 f1e－1＞f(e－1)，要使方程 f(x)－t＝0 在1e－1，e－1内有两个不等实 数根， 只需－2－e12≤t＜－1，所以－2－e12≤t＜－1.10 分
(1)求 a，b 的值，并判断 f(x)的单调性； (2)若方程 f(x)－t＝0 在1e－1，e－1内有两个不等实数根，求实数 t 的取值 范围(其中 e 为自然对数的底数，e＝2.718 28…)； (3)设 g(x)＝－2x2＋x＋m－1，若对任意的 x∈(－1,2)，f(x)≤g(x)恒成立，求 实数 m 的取值范围．
＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除 A，B，
D.故选 C.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，
当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，则使得 f(x)>0 成立的 xபைடு நூலகம்的取值范围是(
)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数， ∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0<x<1，
当x<0，g(x)<0时，f(x)>0，x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]
回访 2 函数的极值与最值
3．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，
此区间上的_________与________________________.
极值点的导数为0
不一定是极值点
f′不是 (x点0)＝0
数 x0
最大值
必要不充分条件
极大值
端点函数值中的最大值 极小值
其端点函数值中的最小值
最小值
(1)求函数 f(x)在闭区间[ a， b] 上最值的关键是__________________________，
这 单调个递区 增 间内__________f_ ′(x_)＜_0___________，从而转化为_________问题 单调来 递减解决(注意
等号成立的检验).
某个区间(a，b)内 不具有单调性
f′(x)≥0(或f′(x)≤0)
恒有f′(x)＝0
函数y＝f(x)是常数函数
单调递增(或递减)
恒成立
4．(2016·北京高考)设函数 f(x)＝x－3－2x3，x，x＞x≤a.a， (1)若 a＝0，则 f(x)的最大值为________； (2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是________．
2 a<－1 [由当 x≤a 时，f′(x)＝3x2－3＝0，得 x＝±1. 如图是函数 y＝x3－3x 与 y＝－2x 在没有限制条件时的图象． (1)若 a＝0，则 f(x)max＝f(－1)＝2. (2)当 a≥－1 时，f(x)有最大值； 当 a<－1 时，y＝－2x 在 x>a 时无最大值，且－2a>(x3－ 3x)max，所以 a<－1.]
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
A [设 y＝g(x)＝fxx(x≠0)，则 g′(x)＝xf′xx2－fx，当 x>0 时，xf′(x)－ f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
且 x0>0，则 a 的取值范围是(
)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
B [f′(x)＝3ax2－6x， 当 a＝3 时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)， 则当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
x∈0，23时，f′(x)<0；
x∈23，＋∞时，f′(x)>0，注意 f(0)＝1，f23＝59>0，则 f(x)的大致图象如图 (1)所示．