江西省师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三数学理12月联考测试人教版

江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考
理科数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{|()(1)0}A x x ax b x =++-=，集合B 满足条件{1,2}A B =，且(){3}U A C B =，
U R =，则a b +=（ ） A ．1- B ．1
C ．3
D ．11
2．将函数sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3
a π
=平移后得到F '，若F '的一条对称轴是直线
4
x π
=
，则θ的一个可能取值为（ ）
A ．1112
π-
B ．512
π-
C ．
512
π D ．
1112
π 3．已知函数2()4f x x =--在区间I 上的反函数是它本身，则I 可以为（ ） A ．[2,2]-
B ．[2,2]--
C ．[0,2]
D ．[2,0]-
4．如图在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 中点，则下列命题正确的是（ ） A ．BE ∥面PAD ，且直线BE 到面PAD 距离为3 B ．BE ∥面PAD ，且直线BE 到面PAD 距离为
26
3
C ．BE 面PA
D ，且B
E 与平面PAD 所成角大于30° D ．BE 面PAD ，且BE 与面PAD 所成角小于30°
5．已知简谐振动()sin()(||)2
f x A x πωφφ=+<的振幅为3
2，图象上相邻最高点和最低点间的
距离是5，且过点3
(0,)4
，则该简谐振动的频率和初相是（ ）
A ．1,86π
B ．1,66π
C ．1,83π
D ．,63
ππ
6．已知函数()f x 满足()(4)f x f x =-，且当2x >时，()f x 是增函数，若0.9(1.2)a f =，
1.2(0.9)b f =，13
(log 9)c f =，则,,a b c 大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
7．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，239
8
a a =-，则12341111a a a a +++
=（ ） A ．5
3
B ．35
C ．53
-
D ．35
-
8．已知平面向量11(,)a x y ==，22(,)b x y =，若||2a =，||3b =，6a b ⋅=-，
则11
22
x y x y ++的值为（ ） A ．
23 B ．23- C ．56 D ．5
6
- 9．定义域和值域均为R 的函数(2)y f x =+为奇函数，且函数()y f x =存在反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y x =对称，则()()g x g x +-=（ ）
A ．4-
B ．0
C ．2
D ．4
10．若实数,,a b c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是（ ）
A ．1
||2b a c b
-+
-≥ B ．333444a b b c c a a b c ++++≥ C ．2b ac ≥
D ．||||||||b a c b --≤
11．某班周二上午安排数学、物理、历史、语文、体育五节课，则体育课不排第一节，且语文课与物理课不相邻的排法总数为（ ） A ．60 B ．96 C ．48 D ．72
12．数列{}n a 满足132a =，2
11n n n a a a +=-+*()n N ∈，则12320091111m a a a a =++++的整数部分
是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上．
13．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为CC 1中点，则异面直线EF 与AC 1所成角
的余弦值为__________. 14．函数()cos 3sin f x x x x =-的图象上一点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围为____. 15．O 为△ABC 外心，且||4AC =，||2AB =，则AO BC ⋅=_________. 16．已知定义域为R 的函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，那么
22
11
c a
a c +++的最小值为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共74
分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（本题满分12分）
△ABC 内角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c 2sin cos cos 222
A A B
a a +=. （1）求角B 大小；
（2）设sin sin y C A =-，求y 的取值范围.
设a R ∈，函数1
0()()10
a
x x
f x x x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪-->⎩
（1）当2a =时，试确定函数()f x 的单调区间；
（2）若对任意x R ∈，且0x ≠都有()1f x x >-，求a 的取值范围.
19．（本题满分12分）
如图，五面体A －BCC 1B 1中，AB 1＝4，底面ABC 是正三角形，AB ＝2，四边形BCC 1B 1是矩形，二面角A －BC －C 1为直二面角，D 为AC 中点. （1）求证：AB 1∥面BDC 1；
（2）求二面角C －BC 1－D 的大小；
（3）若A 、B 、C 、C 1为某一个球面上四点，求球的半径r . 20．（本题满分12分）
在数列{}n a 中，10a =，13n n n a a +=-+，其中1,2,3n =
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求
1
n
n a a +的最大值.
已知函数21
()3ln (6)2
f x x x a x =++-在[3,)+∞上是增函数.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设21
()||2
x g x e a a =-+，[0,ln3]x ∈，求函数()g x 最小值.
22．（本题满分14分） 数列{}n a 满足11a =-，1(33)46
n n n a n a n
++++=.
（1）求{}n a 通项公式n a ；
（2）令1
32
n n n b a -=+，数列{}n b 前n 项和为n S ，
求证：当2n ≥时，2
3
22(
)23n n S S S S n >++⋅⋅⋅+； （3）证明：1224
5
n n n b b b ++++⋅⋅⋅+<.
高三联考理科数学参考答案
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上．
13 14．3
[0,arctan3][,)4
ππ 15．6 16．1 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
17．解（1sin 2A 2cos cos 22
A B
a a +=
2sin cos sin cos sin 222A A B
B A A +=
1cos 12
B B ++=
∴sin()3B π+= ∴3B π=………………………………5分
（2）∵3B π=，2
3
C A π=-
∴2sin sin sin()sin cos()36
y C A A A A π
π=-=--=+………………9分
又203A π<< ∴5
666
A πππ<+<
∴y < 18．解（1）当0x <时，()f x 在(,0)-∞单增………………………………1分
当0x >时，()
f x '-令()0f x '>得23x >
，()0f x '<得2
03
x <<……………………5分 ∴单增区间为(,0)-∞，2(,)3+∞单减区间2
(0,)3
（2）当0x <时，1
1a x x
>+-
而1
x x
+有最大值2-，∴3a >-………………………………8分
当0x >时，211)24a x <=-恒成立，∴1
4
a <-………11分
综上，1
34
a -<<-.………………………………………………12分
19．解（1）连B 1C 与BC 1交于点O ，则在△B 1AC 中，AB 1∥OD
OD ⊂面BDC 1 ∴AB 1∥面BDC 1………………………………3分 （2）过D 作DH ⊥BC ，则DH ⊥面CBC 1．过H 作HQ ⊥BC 1
连DQ ，由三垂线定理知DQ ⊥BC 1
∴∠DQH 为二面角1C BC D --的平面角，………………………5分
2
tan 3
DH DQH QH ∠=
= ∴二面角1C BC D --的大小为2
arctan 3
………………………8分 （3
）r ………………………………………12分 20．解（1）1111
3(3)44
n n n n a a ++-⋅=--⋅………………………………………2分
从而数列1{3}4n n a -⋅是首项为133
44
a -=-，公比为1-的等比数列，
∴13
3(1)44
n n n a =⋅+-⋅.………………………………………5分
（2）当n 为偶数时，11
111333314441333333
344
n n n n n n n a a ++++⋅++===+--⋅- ∴1
n n a a +随n 增大而减小，即当n 为偶数时2131
2n n a a a a +=≤……………8分
当n 为奇数时，11
1113
33314441333333
344
n n n n n n n a a ++++⋅--===-++⋅+ ∴1
n n a a +随n 增大而增大，且111
32n n a a +<<……………………………11分
综上，
1n n a a +最大值为1
2
………………………………………12分 21．解（1）3
()(6)0f x x a x '=+
+-≥对[3,)x ∈+∞恒成立……………1分 ∴36()a x x -+≥ 又3
()g x x x
=+在[3,)x ∈+∞为单调递增函数
∴3
314x x
+≥+= ∴2a ≥…………………………………5分
（2）设x t e =，21
()||2
R t t a a =-+ [1,3]t ∈
当23a ≤≤时，22112
()13
2t a a t a R t t a a a t ⎧
-++<⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩≤≤
∴R()t 最小值为21
R()2a a =………………………………………9分
当3a >时，21
R()2t t a a =-++，
∴R()t 最小值为21
R(3)32
a a =-+………………………………12分
综上，当23a ≤≤时，()g x 最小值为21
2a ，
当3a >时，()g x 最小值为21
32
a a -+
22．解（1）13(1)46n n na n a n +=+++，两边同除以(1)n n +得：
144262
331(1)1
n n n a a a n n n n n n n n +++=⋅+=⋅+-
+++ ∴122
3()1n n a a n n
+++=⋅+ ∴2n a n +⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭是首项为1211a +=，公比3q =的等比数列………………4分 ∴123n n a n
-+=
∴132n n a n -=⋅-
（2）1
n b n
=
，当2n ≥时，11n n n b S S n -=-=，11n n S S n --=………………5分
两边平方得：22
1
221n n n S S S n n --=- 22
1122
211(1)n n n S S S n n ----=
--- 222232
21
2(2)n n n S S S n n ----=
-
-- ……
2
2221221
22S S S -=
- 相加得：2
3222211112()()2323n n S S S S n n
-=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+
又2221111111()1[]231223(1)
n n n -++⋅⋅⋅+>-++⋅⋅⋅+⨯⨯-
111111
1(1)02231n n n
=--+-+⋅⋅⋅+-=>-
∴2
322()23n n S S S S n
>++⋅⋅⋅+…………………………………………9分
（3）（数学归纳法）
当1,2n =时，显然成立
当2n ≥时，证明加强的不等式11141
122521
n n n n ++⋅⋅⋅+<-
+++ 假设当(2)n k k =≥时命题成立，即11141
122521
k k k k ++⋅⋅⋅+<-
+++ 则当1n k =+时 1114111
23225212122k k k k k k ++⋅⋅⋅+<-+-
++++++ 4141
522523
k k =-<-
++ ∴当1n k =+时命题成立，故原不等式成立……………………14分。