2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练理含解析新人教A版

第3讲 平面向量的数量积及应用举例
1．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π
3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．2
D ．3
解析：选D.依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb
2
＋(2λ－1)a ·b ＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.
2．(2019·山西四校联考)向量a ，b 满足|a ＋b |＝23|a |，且(a －b )·a ＝0，则a ，b 的夹角的余弦值为( ) A ．0 B.13 C.12
D.32
解析：选B.(a －b )·a ＝0⇒a 2
＝b ·a ，|a ＋b |＝23|a |⇒a 2
＋b 2
＋2a ·b ＝12a 2
⇒b 2
＝9a 2
，
所以cos 〈a ，b 〉＝b ·a |b |·|a |＝a 23|a |·|a |＝1
3
.故选B.
3．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为( ) A.
55
B ．－
55
C ．1
D ．－1
解析：选 D.依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2
＝
a 2＋
b 2－2a ·b ＝1，
c ·
d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d
|d |
＝－1，选D.
4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →
)＝0， 所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.
所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →
|.故选C.
5．(2019·福建漳州八校联考)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →
的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－92
D.92
解析：选 D.由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2
－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，
所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →
＝9－92＝92
，故选D.
6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2 b |＝ ________ .
解析：易知|a ＋2b |＝|a |2
＋4a·b ＋4|b |2
＝
4＋4×2×1×1
2
＋4＝2 3.
答案：2 3
7．(2019·江西七校联考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：因为b 在a 上的投影为－3，
所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12
＋（3）2
＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝1×3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所
以|b |＝32＋（－33）2
＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－62×6＝－12
，因为0≤〈a ，b 〉
≤π，所以a 与b 的夹角为2
3π.
答案：23
π
8．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →
(λ∈R )，且AD →·AE →
＝－4，则λ的值为________．
解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.又AB →·AC →＝3×2×12＝3，所以AD →·AE
→
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13
AB →＋23AC →·(－AB →＋λAC →)
＝－13AB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3
λ－23AB →·AC →＋23λAC →2
＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，则λ＝311.
答案：3
11
9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )． (1)若a ⊥(a ＋b )，求|b |的值；
(2)若a ＋2b ＝(4，－7)，求向量a 与b 夹角的大小． 解：(1)由题意得a ＋b ＝(3，－1＋x )． 由a ⊥(a ＋b )，可得6＋1－x ＝0， 解得x ＝7，即b ＝(1，7)， 所以|b |＝50＝5 2.
(2)a ＋2b ＝(4，2x －1)＝(4，－7)， 故x ＝－3， 所以b ＝(1，－3)，
所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝（2，－1）·（1，－3）5×10
＝2
2，
因为〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 夹角是π
4
.
10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；
(3)若AB →＝a ，BC →
＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2
－4a ·b －3|b |2
＝61.
又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61，
所以a ·b ＝－6.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－1
2
.
又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π
3.
(2)|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝|a |2
＋2a ·b ＋|b |2
＝42
＋2×(－6)＋32
＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →
的夹角θ＝2π3，
所以∠ABC ＝π－2π3＝π
3
.
又|AB →|＝|a |＝4，|BC →
|＝|b |＝3，
所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×3
2
＝3 3.
1．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →
|的最小值是( ) A.33
B.22
C.23
D.34
解析：选C.设BC 的中点为M ，则AG →＝23AM →
.
又M 为BC 中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)，
所以AG →＝23AM →＝13(AB →＋AC →
)，
所以|AG →|＝1
3
AB →2
＋AC →2＋2AB →·AC →
.
又因为AB →·AC →
＝－2，∠A ＝120°， 所以|AB →||AC →
|＝4. 所以|AG →|＝13
AB →2
＋AC →
2－4
≥13
2|AB →
||AC →|－4＝23，
当且仅当|AB →|＝|AC →
|时取“＝”， 所以|AG →
|的最小值为23
，故选C.
2．(2019·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →
的取值范围为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，2 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线
为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．设M (a ，2－a )，
N (a ＋1，1－a )(由题意可知0<a <1)，所以BM →＝(a ，2－a )，BN →＝(a ＋1，1－a )，所以BM →·BN
→
＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2
－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32
，因为0<a <1，所以由二次函数的知
识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，2.
3．设非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a |＝|a ＋b |，则|2a ＋t b |
|b |的最小值是________．
解析：因为非零向量a 与b 的夹角是5π
6，
且|a |＝|a ＋b |， 所以|a |2
＝|a ＋b |2
＝|a |2＋|b 2
|＋2|a |·|b |cos 5π6
，
所以|b |2
－3|a ||b |＝0，所以|b |＝3|a |，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫|2a ＋t b ||b |2
＝4|a |2＋t 2|b |2
＋4t a ·b |b |2
＝4|a |2＋t 2·3|a |2－6t |a |2
3|a |2
＝t 2－2t ＋43＝(t －1)2
＋13， 所以当t ＝1时，|2a ＋t b |
|b |取最小值
13＝33
. 答案：
33
4．(2019·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任
意的两个向量)．
对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；
②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；
④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
解析：当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b ·a
＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝
a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝
|a·e|＜|a|·|e |＜|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④. 答案：①④
5．(2019·安康模拟)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，2)、B (4，1)、C (－6，9)． (1)若AD 是BC 边上的高，求向量AD →
的坐标；
(2)若点E 在x 轴上，使△BCE 为钝角三角形，且∠BEC 为钝角，求点E 横坐标的取值范围． 解：(1)设D (x ，y )，则AD →
＝(x ，y －2)， BD →
＝(x －4，y －1)，
由题意知AD ⊥BC ，则AD →·BC →
＝0，
即－10x ＋8(y －2)＝0，即5x －4y ＋8＝0，① 由BD →∥BC →
，得8(x －4)＝－10(y －1)， 即4x ＋5y －21＝0，② 联立①②解得x ＝4441，y ＝137
41，
则AD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4441，5541.
(2)设E (a ，0)，则EB →＝(4－a ，1)，EC →
＝(－6－a ，9)， 由∠BEC 为钝角，得(4－a )·(－6－a )＋9＜0，解得－5＜a ＜3， 由EB →与EC →
不能共线，得9(4－a )≠－6－a ，解得a ≠214.
故点E 的横坐标的取值范围为(－5，3)．
6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)， |OC →
|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．
(1)若θ＝34
π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →
|的最小值；
(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及
对应的θ值．
解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
22，22，
所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22＋t ，22，
所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2
＋12
＝t 2
－2t ＋1＝⎝
⎛
⎭⎪⎫t －222＋12，
所以当t ＝
22时，|OC →＋OD →
|最小，为22
. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →
＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m ·n ＝1－cos 2
θ＋sin 2
θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
所以π4≤2θ＋π4≤5π
4
，
所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1.
所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π
8.。