新教材适用2023_2024学年高中数学第2章5简单复合函数的求导法则课件北师大版选择性必修第二册

2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝__1___. [解析] 易得f′(x)＝4(2x＋a)， 又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20， 解得a＝1.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
复合函数的概念
典例 1 函数 y＝2x＋1 12可以看成哪两个函数的复合？
[解析] 函数 y＝2x＋1 12可以看成函数 y＝1u与函数 u＝(2x＋1)2 的复
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进 行，导致求导不完全.
课堂检测•固双基
1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( A ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 [解析] 将x2－1看作整体，记u＝x2－1，则y＝(x2－1)n由y＝un和u＝ x2－1 复合而成．
即 y′＝18x－24. (2)设 y＝cos u，u＝2x－π4， 则 yu′＝－sin u，ux′＝2， 于是 yx′＝yu′·ux′＝－2sin2x－π4， 即 y′＝－2sin2x－π4.
(3)设 y＝ln u，u＝4x－1，则 yu′＝1u，ux′＝4， 于是 yx′＝yu′·ux′＝4x－4 1， 即 y′＝4x－4 1. (4)设 y＝eu，u＝x2，则 yu′＝eu，ux′＝2x， 于是 yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即 y′＝2xex2.
知识点 2 复合函数的求导法则
复 合 函 数 y ＝ f(φ(x)) 的 导 数 为 ： y′x ＝ ______[f_(φ__(x_)_)]_′___________ ＝ _________f′__(_u_)_φ_′__(x_)_，__其__中__u_＝__φ_(_x_) ___________.
想一想： 如何求复合函数y＝f(φ(x))的定义域？ 提示：由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f(u)的定义域所求得 的x的取值集合就是复合函数y＝f(φ(x))的定义域．
练一练： 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)复合函数 y＝f(φ(x))的定义域就是内函数 u＝φ(x)的定义域．( × ) (2)复合函数 y＝f(φ(x))的定义域就是内函数 u＝φ(x)的值域．( × ) (3)复合函数 y＝f(φ(x))的定义域就是外函数 y＝f(u)的定义域．( × ) (4)(ln |x|)′＝1x.( √ )
[规律方法] 求复合函数导数的步骤
对点训练❷ (1)函数y＝x2cos 2x的导数为( B )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
(2)若 f(x)＝ ax－1，且 f ′(1)＝1，则 a 的值为( B )
题型二
复合函数的求导
典例 2 求下列函数的导数： (1)y＝(4－3x)2；
(2)y＝cos2x－π4； (3)y＝ln(4x－1)；
(4)y＝ex2.
[分析] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则 进行求导．
[解析] (1)设 y＝u2，u＝4－3x，则 yu′＝2u，ux′＝－3，于是 yx′ ＝yu′·ux′＝－6(4－3x)＝18x－24，
合，也可以看成函数 y＝1u2 与函数 u＝2x＋1 的复合．
[规律方法] 1.不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外 函数的定义域的交集非空时，才能复合．
2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选 择．
对点训练❶ 函数y＝e2x－1可以看成哪两个函数的复合？ [解析] 函数y＝e2x－1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合．
易|错|警|示 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次 是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间 变量变成自变量的函数．
典例 4 函数y＝xe1－2x的导数为_______(1_－__2_x_)_e_1－__2x________. [错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x. [正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1 －2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
[规律方法] 解决与复合函数有关的切线问题的关键有两个： (1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函 数逐层分解，求导时不要有遗漏． (2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点．
对点训练❸ 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x， 则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是___2_x_－__y_＝__0_____.
想一想： 任何两个函数都能复合吗？ 提示：只有外函数y＝f(u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非 空时才能复合．
练一练：
1．函数 y＝3x－1 12的导数是( C )
A．y′＝3x－6 13
B．y′＝3x－6 12
C．y′＝－3x－6 13
D．y′＝－3x－6 12
[解析] ∵y＝3x－1 12＝(3x－1)－2， ∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′ ＝－6(3x－1)－3＝－3x－6 13.
[解析] 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x. 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x. 因此，当x>0时，f ′(x)＝ex－1＋1，f ′(1)＝e0＋1＝2. 则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2， 所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
A．1
B．2
C．3
D．4
(3)函数f(x)＝(2x＋1)5，则f ′(0)的值为___1_0___.
[解析] (1)y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
(2)∵f ′(x)＝ 2
a1x－1·(ax－1)′＝2
aax－1，
∴f ′(1)＝2 aa－1＝1，
解得 a＝2.
(3)f ′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f ′(0)＝10.
题型三
与复合函数有关的切线问题
典例 3 (1)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾
斜角为( D )
A．0
B．π2
进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数 ___y_＝__f_(_u_) ___和____u_＝__φ_(_x_)___的复合函数，记作____y_＝__f(_φ_(_x_))____，其 中u为中间变量．
[提醒] 讨论复合函数的构成时，“内层”“外层”函数一般应是 基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函 数等．然后从外向内逐层求导．
[解析] (1)∵f ′(x)＝x22＋x 1，∴函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1)) 处的切线的斜率 k＝f ′(1)＝1＋2 1＝1.设函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1， f(1))处的切线的倾斜角为 θ，则 tan θ＝1，∴θ＝π4.
(2)设切点为(x0，y0)， ∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝x＋1 a(x＋a)′＝x＋1 a， ∴切线的斜率 k＝x0＋1 a＝1， ∴x0＋a＝1. 又∵y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0， 又∵y0＝x0＋2＝0，∴x0＝－2.∴a＝3.
2．已知 f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且 f ′(2)＝－1，则 a＝( A )
A.75
B．65
C．－35 [解析] f ′(x)＝2x＋2 1－a，
D．－45
所以 f ′(2)＝25－a＝－1，解得 a＝75.
3．设 f(x)＝cos 2x－3x，则 f ′π2＝( B )
A．－5
B．－3
C．－4
D．－32π
[解析] ＝－3.
f ′(x)＝(cos 2x)′－3＝－2sin 2x－3，∴f ′π2＝－2sin π－3

4．曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是___－__2_e___. [解析] f ′(x)＝e－2x＋3·(－2x＋3)′ ＝－2e－2x＋3， ∴f ′(1)＝－2e， ∴所求切线的斜率k＝－2e.
第二章 导数及其应用
§5 简单复合函数的求导法则
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．了解复合函数的求导法则． 2．能求简单复合函数的导数．
通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养.
必备知识•探新知
知识点 1 复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，
C．π3
D．π4
(2)已知直线 y＝x＋2 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则 a＝___3__.
[分析] (1)先求出函数在切点处的导数值，即为切线的斜率，从而 求得切线在此处的倾斜角．
(2) 先 设 出 切 点 坐 标 ， 再 求 函 数 在 切 点 处 的 导 数 值 ， 从 而 求 得 a 的 值．