新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学文试题(WORD版)

2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试
卷
文科数学（问卷）
(卷面分值：150分考试时间：120分钟）
第
I 卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，，4，5}，B ＝{2，3，4}，则()U A
C B ＝
A. {4}，
B. U ＝{1，5}， C U ＝{1，5，6}， D. U ＝{1，4，5，6}，
2. 复数
12i
i
+的共轭复数是a + bi(a ，b R )，i 是虛数单位，则点（a ，b)为
A. (1，2)
B. (2，-i )
C.(2,1)
D.(1，-2)
3. “｜x ｜＜1”是“2ln x ＜0”的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 函数22()log (1),()log (1)f x x g x x =+=-，则f （x ）－g （x ） 是 A.奇函数 B.偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
5. 已知函数0,0
(),0
x x f x e x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数g （x ）＝f （x ）＋x －m 有零点的实数m 的取值范
围是
A.[0,1)
B.(,1)-∞ C 、(,1](2,)-∞⋃+∞ D.
(,0](1,)-∞⋃+∞
6. 设n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若1321,5,36k k a a S S +==-=，则k 的值为
A.8
B. 7
C. 6
7. 函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f(x )的递增区间是
A.［6k －1,6k ＋2］（k ∈Z ）
B.［6k －4,6k －1］（k ∈Z ）
C.［3k －1,4k ＋2］（k ∈Z ）
D.［3k －4,3k －1］（k ∈Z ）
8. 执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为 A 、n≤5 B 、n≤6 C 、n≤7 D 、n≤8
9. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是AB 的三等分点，G 、H 是 CD 的三等分点，M 、N 分别是BC 、EH 的中点，则四棱锥A 1 -FMGN 的 侧视图为
10. 设平面区域D 是由双曲线2
2
14
x y -=的两条渐近线和抛物线y 2 =-8x 的准线所围成的三
角形(含边界与内部）.若点（x ，y ) ∈ D ,则x + y 的最小值为
A. -1
C. 1
11.如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A 1, A 2, B 1, B 2，焦点分别为F 1 ,F 2，延长B 1F 2 与A 2B 2交于P 点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为
A.（0，
514+） B 、（51
4
+，1） C.（0，
512+） D 、（51
2
-，1） 12. 中，若，则
tan tan A
B
的值为
A.2
B.4
C.3
D.23
第II 卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据
收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ . 14. 如图，单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在平面A 1BC 1上，则三棱
锥P-ACD 1的体积 为______
15. 点A(x ，y)在单位圆上从
出发，沿逆时针方向做匀速圆
周运动，每12秒运动一周.则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式 为______
16. 设A 、B 为在双曲线2
2
12
y x -=上两点，O 为坐标原点.若OA OB •＝0,则ΔAOB 面积的最
小值为______
三、解答题：第17〜21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程
或演 算步骤.
. 17. (本小题满分12分）
已知数列{a n }、{b n }分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且
(I) 求数列{a n }、{b n }的通项公式； (II )求使n b a <0.001成立的最小的n 值.
18. (本小题满分12分）
PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为
可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级； 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标.
某市环保局从市区2012年全年每天的监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为 茎，个位为叶）
(I)从这9天的数据中任取2天的数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(II) 以这9天的PM2. 5日均值来估计供暖期间的空气质量情况，则供暖期间(按150天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.
19. (本小题满分12分）
在正四棱锥V - ABCD 中，P ，Q 分别为棱VB ，VD 的中点， 点 M 在边 BC 上，且 BM: BC = 1 ： 3，AB =2
3，VA = 6.
(I )求证CQ ∥平面PAN; (I I )求证：CQ ⊥AP.
20. (本小题满分12分） 已知点F( 1，0)，
与直线4x+3y + 1 ＝0相切，动圆M 与
及y 轴都相切.
(I )求点M 的轨迹C 的方程；
(II )过点F 任作直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，由点A ，B 分别向各引一条切线，切点 分
别为P ，Q ，记
.求证sin sin αβ+是定值.
21. (本小题满分12分）
已知函数32()(0f x ax bx cx d a =+++>的零点的集合为{0，1}，且1
3
x =是f （x ）的一个极值点。

（1）求
b
a
的值； （2）试讨论过点P （m ，0）与曲线y ＝f （x ）相切的直线的条数。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图，AB 是的直径，AC 是弦，直线CE 和
切于点C ， AD 丄
CE ，垂足为D.
(I) 求证:AC 平分
；
(II) 若A B =4A D ，求的大小.
23. (本题满分10分)选修4 －4 ：坐标系与参数方程 将圆
上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0
绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l . (I)求直线l 与曲线C 的方程； (II)求C 上的点到直线l 的最大距离.
24. (本题满分10分)选修4 - 5 ：不等式选讲 设函数，
.
(I)求证
；
(II)若成立，求x 的取值范围.
2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分. 1.选 D.【解析】
(
){}
{}{1,4,51,5,61,4
==U
A
B .
2.选C.【解析】
122+=-i
i i
，其共轭复数为2+i ，即2+=+a bi i ，所以2,1==a b . 3.选B.【解析】111x x <⇔-<<，22
lg 00110,01x x x x <⇔<<⇔-<<<<.
4.选 A.【解析】()()f x g x -的定义域为()1,1-记()F x =()()f x g x -2
1log 1x
x
+=-，则()F x -=21log 1x x -+1
21log 1x x -+⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭
21log 1x x +=--()F x =-，故()()f x g x -是奇函数. 5.选D.【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D
C
B
A
D
A
B
B
C
B
D
B
作出(),
0(),0x x x h x f x x e x x ≤⎧=+=⎨+>⎩
的图象，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤时，
或1m >时有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点.
6.选A.【解析】由11a =，35a =，解得2d =，再由：221
+++-=+k k k k S S a a
12(21)4436=++=+=a k d k ，解得8k =.
7.选B.【解析】5,4A B AB y y =-=，所以3A B x x -=，即32T =，所以26T πω==，3
π
ω=由()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过点()2,2-，即22sin 23πϕ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，0ϕπ≤≤， 解得56πϕ=
，函数为()52sin 36f x x ππ⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
，由5222362k x k ππππππ-≤+≤+， 解得6461k x k -≤≤-，故函数单调递增区间为[]()64,61k k k --∈Z . 8.选B.【解析】依题意21122221+=++++=-n n S ，有121127+-=n ，故6=n .
9.选C.【解析】（略）.
10.选B.【解析】双曲线的渐近线为1
2
y x =±
，抛物线的准线为2x =，设=+z x y ，当直线y x z =-+过点(0,0)O 时，min 0=z .
11.选D .【解析】易知直线22B A 的方程为0bx ay ab +-=，直线12B F 的方程
为0bx cy bc --=，联立可得()2,b a c ac P a c a c -⎛⎫
⎪++⎝⎭
，又()()21,0,0,A a B b -，
∴122,ac ab PB a c a c --⎛⎫
=
⎪++⎝⎭，()()2,a a c b a c PA a c a c ---⎛⎫= ⎪++⎝⎭
，∵12B PA ∠为钝角 ∴210PA PB ⋅<，即
()
()
()
()
222
2
220a c a c ab a c a c a c ---+
<++，化简得2b ac <，即22a c ac -<，故
2
10c c a a ⎛⎫+-> ⎪
⎝⎭，即2
10e e +->，e >或e <，而01e <<，所以
1<<e . 12.选B.【解析】设ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，由
(
)
235CA CB AB AB +⋅=得23
5
CA AB CB AB AB ⋅+⋅=.
即()23cos cos 5bc A ac B c π-+=
，∴3cos cos 5
a B
b A
c -=. ∴2222223225a c b b c a a b c ac bc +-+-⋅-⋅=，即2223
5
a b c -=，
∴22222
222
222222
223tan sin cos 2543tan sin cos 52a c b c c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c c bc
+-++-=⋅=⋅===+-+--+. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13.填68．【解析】设遮住部分的数据为m ，10+20+30+40+50
305
=x =
，
由ˆ0.67+54.9y
=x 过()x,y 得0.6730+54.9=75⨯y = ∴
62++75+81+89
=755
m ，故68=m ．
14.填16
．【解析】平面11A BC ∥平面1ACD ，∴P 到平面1ACD 的距离等于平面11A BC 与平面
1ACD
间的距离，等于113=
B D
1111sin 602ACD S AD CD ∆=⋅︒=， ∴三棱锥1P ACD -
的体积为1
136
=. 15.填sin 6
3y t π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭．
【解析】03xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=，所以秒旋转6t π，06
A OA t π
∠=
，6
3
xOA t π
π
∠=
+
，则sin y xOA =∠sin 6
3t π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭.
16.填2.【解析】设直线OA 的方程为y kx =，则直线OB 的方程为1
y x k
=-
， 则点()11,A x y 满足2212
y kx y x =⎧⎪⎨-
=⎪⎩故2
22
1122
22,22k x y k k ==--， ∴()22
2
2
112
212+=+=
-k OA x y k ，同理()22
22121
+=
-k OB k ，
故()
2
222
4
2
41252
+⋅=
-+-k OA OB k k ()
2
2
24
921k k =-+
+
∵
()
2
2
2
2211
1
4
12k k
k k
=
≤+++（当且仅当1k =±时，取等号） ∴2
2
16⋅≥OA OB ，故1
2
∆=⋅AOB S OA OB 的最小值为2. 三、解答题：共6小题，共70分.
17.（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，依题意(
)2422226d q
d q +=⨯⎧⎪⎨+⋅=⎪⎩
解得212d q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或538d q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
（舍） ∴2
12n n a -⎛⎫
= ⎪⎝⎭，2n b n =； …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得22
212n n b n a a -⎛⎫
== ⎪
⎝⎭，
因为22
10.0010.0012-⎛⎫
<⇔< ⎪
⎝⎭
n n b a 2221000n -⇔>，
所以2210n -≥，即6n ≥，∴最小的n 值为6. …12分 18．（Ⅰ）记“从9天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出2天，恰有一天空气质量达到一级”为事
件A ，
∵从9天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出2天，有{}{}28,33,28,31,{}28,44,
{}28,45{},28,63，{}{}{}28,79,28,81,28,86，{}{}{}33,31,33,44,33,45，{}33,63, {}{}{}33,79,33,81,33,86，{}{}31,44,31,45，{}31,63,{}31,79,{}31,81,{}31,86， {}44,45，{}44,63,{}44,79,{}44,81,{}44,86，{}45,63,{}45,79,{}45,81,{}45,86， {}63,79,{}63,81,{}63,86，{}79,81,{}79,86，{}81,86共36种情形，其中恰有一天空气质量达到一级的有{}28,44,{}28,45{},28,63，{}{}{}28,79,28,81,28,86，{}33,44,{}33,45，{}33,63,{}{}{}33,79,33,81,33,86，{}{}31,44,31,45，{}31,63,
{}31,79,{}31,81,{}31,86共18种情形，∴()181
362
=
=P A ； …6分 （Ⅱ）依题意可知，这9天中空气质量达到一级的有3天，那么供暖期间估计（按150天计算）有
3
150509
⨯=天的空气质量达到一级. …12分 19．（Ⅰ）连接,AC BD ，设AC BD O =，则VO ⊥平面ABCD ，
连接AM ，设AM
BD E =，由:1:3BM BC =，MEB ∆～AED ∆， 得:1:3BE ED = ∴E 为OB 的中点，而P 为VB 的中点，故PE ∥VO
在DA 上取一点N ，使:1:3DN DA =，CN
BD F =同理QF ∥VO ，于是PE ∥QF
在正方形ABCD 中AM ∥CN ，∴平面APM ∥平面CQN ，又CQ ⊂平面CQN
∴CQ ∥平面PAM ； …6分 （Ⅱ）延长BA 至G 使BA AG =，连接VG ,则VG ∥AP 且2VG AP = 延长DC 至H 使DC CH =，连接VH ,，则VH ∥CQ 且2VH CQ = ∴相交直线VG 与VH 所成的不大于90︒的角即为异面直线AP 与CQ 所成的角 连接GH ，在GVH ∆中，30,GH =2215VG VH AP CQ ====∴222GH VG VH =+，∴90GVH ∠=︒，即CQ ⊥AP ． …12分
20．（Ⅰ）⊙F 22
41143+=+，⊙F 的方程为()2
211x y -+=，
作MH ⊥y 轴于H ，则1MF MH -=，即1MF MH =+，则MF MN =（N 是过M 作直线1x =-的垂线的垂足），则点M 的轨迹是以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线． ∴点M 的轨迹C 的方程为()2
40y x x =≠； …6分
（Ⅱ）当不与x 轴垂直时，直线的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x
=-⎧⎪⎨
=⎪⎩得
()2
2
2
2
240-++=k x k x k ，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122
24
,1++==k x x x x k
∴121111sin sin 11+=
+=+++AF BF x x αβ1212121212221111
x x x x x x x x x x ++++===++++++， 当与x 轴垂直时，也可得sin sin 1+=αβ，
综上，有sin sin 1+=αβ． …12分 21．（Ⅰ）函数()()3
2
0=+++>f x ax bx cx d a 的零点的集合为{}0,1，则方程()0=f x 的解
可以为1230,1===x x x ，或1231,0===x x x . ∴()()2
1=-f x ax
x 或()()21=-f x ax x .
①若()()()210=->f x ax x a ，则()()222133⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭
f x ax x ax ax x . 当0<x ，或23>
x 时，()0'>f x ，函数()f x 为增函数；当203<<x ，()0'<f x ，函数()f x 为减函数；
∴0=x ，23
=x 为函数的极值点．与题意不符． ②若()()
()210=->f x ax x a ，则()()()131'=--f x a x x 当13<x ，或1>x 时，()0'>f x ，函数()f x 为增函数；当113
<<x ，()0'<f x ，函数()f x 为减函数； ∴13
=x ，1=x 为函数的极值点． 综上，函数()()
()210=->f x ax x a ，即()()23212=-=-+f x ax x ax ax ax ， 而()()320=+++>f x ax bx cx d a ，故2=-b a ，∴2=-b a
…6分 （Ⅱ）设过点(),0P m 的直线与曲线()y =f x 切于点()00,Q x y ，
由（Ⅰ）知()()0001313⎛
⎫'=-- ⎪⎝⎭
f x a x x ，∴曲线()y =f x 在点()00,Q x y 处的切线方程为()()00001313⎛⎫-=--- ⎪⎝
⎭y y a x x x x ， ∵(),0P m 满足此方程，故()()00001313⎛
⎫-=--- ⎪⎝⎭
y a x x m x ，又()20001=-y ax x 即()()()20000011313⎛
⎫--=--- ⎪⎝⎭ax x a x x m x ，∴()()
20001230--+=x x mx m . 01=x ，或200230-+=x mx m …①，关于0x 的方程200230-+=x mx m 的判别式
298∆=-m m
当0=m 或89=m 时，0∆=，方程①有两等根00=x 或023
=x ，此时，过点()0,0P 或8,09⎛⎫ ⎪⎝⎭
P 与曲线()y =f x 相切的直线有两条； 当809
<<
m 时，0∆<，方程①无解，此时过点(),0P m 与曲线()y =f x 相切的直线仅有一条；
当m 0<或89
>m 时，0∆>，方程①有两个不同的实根，此时过点(),0P m 与曲线()y =f x 相切的直线有三条. …12分
22．（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90∠=︒ACB .
∴90∠+∠=︒B CAB .
∵⊥AD CE ，∴90∠+∠=︒ACD DAC ，
∵AC 是弦，且直线CE 和
O 切于点C ， ∴∠=∠ACD B .
∴∠=∠DAC CAB ，即AC 平分∠BAD ； …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知∆∆ABC ACD ，∴=AC AD AB AC
，由此得2=⋅AC AB AD ∵4=AB AD ，∴22442=⋅⇒=AC AD AD =AD AC AD ，于是60∠=︒DAC ， 故∠BAD 的大小为120︒． …10分
23．（Ⅰ）设曲线C 上任一点为(),x y ，则(),2x y 在圆22
4x y +=上， 于是()2224x y +=即2
214
x y +=. 直线3280x y --=的极坐标方程为3cos 2sin 80ρθρθ--=，将其记作0l ， 设直线上任一点为(),ρθ，则点(),90ρθ-︒在0l 上，
于是()()3cos 902sin 9080ρθρθ-︒--︒-=，即：3sin 2cos 80ρθρθ+-=， 故直线的方程为2380x y +-=； …5分 （Ⅱ）设曲线C 上任一点为()2cos ,sin M ϕϕ， 它到直线的距离为()0225cos 84cos 3sin 81323d ϕϕϕϕ--+-=
=+， 其中0ϕ满足：0043cos ,sin 55
ϕϕ==. ∴当0ϕϕπ-=时，max 13d = …10分
24.（Ⅰ）()12(1)(2)1f x x x x x =-+-≥---=． …5分 2222222
111121
11a a a a a a +++==+≥+++， 222121a x x a +=-+-+成立，需且只需122x x -+-≥.
即
1
122
x
x x
<
⎧
⎨
-+-≥
⎩
，或
12
122
x
x x
≤<
⎧
⎨
-+-≥
⎩
，或
2
122
x
x x
≥
⎧
⎨
-+-≥
⎩
，解得
1
2
x≤，或
5
2
x≥
故x的取值范围是
15
,,
22
⎛⎤⎡⎫
-∞+∞
⎪
⎥⎢
⎝⎦⎣⎭
. …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。