湖北省襄阳四中四校2014-2015学年高二下学期期中四校联考数学(理)试题

2014～2015学年度下学期期中联考
高 二 数 学（理）
命题人：荆州中学 陈静 王俊
审题人：龙泉中学 陈信金
本试题卷共4页，三大题22小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．命题“0
2
00(0,),2
x x x ∃∈+∞<”的否定为
A ．2
(0,),2x x x ∀∈+∞< B ．2
(0,),2x x x ∀∈+∞> C ．2
(0,),2x
x x ∀∈+∞≥
D ．2
(0,),2x
x x ∃∈+∞≥
2．已知随机变量ξ服从正态分布2
(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-<≤= A ．0.477
B ．0.628
C ．0.954
D ．0.977
3．已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为
湖北省
四校
襄阳四中 荆州中学
宜昌一中
龙泉中学
A ．A
B α⊥
B ． AB α⊂
C ．AB 与α相交不垂直
D ．//AB α
4．为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表： 经计算得2
3.2079K 的观测值为,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。

A ．0.025 B ．0.10
C ． 0.01
D ． 0.05
参考数据：
5．某咖啡厂为了了解热饮的销售量y （个）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
由表中数据，得线性回归方程为y ^
＝2-x a +，，当气温为－4℃时，预测销售量约为 A ．68
B ．66
C ．72
D ．70
6．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X 的数学期望是 A ．
403
B ．
503
C ．10
D ．20
7．下列选项中，说法正确的是
A ．若命题“p q ∨”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题
B ．2
2
am bm <是a b <的必要不充分条件 C ．2()4
x k k Z π
π=+
∈是(sin )(cos )x x ''-=的充要条件 D ．命题“若{,,}a b b c c a +++构成空间的一个基底，则{,,}a b c 构成空间的一个基底”的否命题．．．
为真命题
8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆2
2
17x y +=有公共点(1,4)A -，且圆在A 点的
气温（℃） 18 13 10 －1 销售量个）
24
34
38
64
切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为 A ．
174
B ．17
C ．
17
4
或17 D ．以上都不对 9．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有 A ．72种
B ．54种
C ．36种
D ．18种
10．已知函数3ax
y e x =+有平行于x 轴的切线且切点在y 轴右侧，则a 的范围为 A ．(),3-∞-
B ．(),3-∞
C ．()3,+∞
D ．()3,-+∞
11．抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足
3
2π=
∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 A ．3
B ．
23 C ．3
3
D ．
4
3
12．在棱长为1的正方体1111CD C D AB -A B 中，M 是11D A 的中
点，点
P 在侧面11CC B B 上运动．现有下列命题：
①若点P 总保持1D PA ⊥B ，则动点P 的轨迹所在的曲线是直线； ②若点P 到点A 的距离为
23
3
，则动点P 的轨迹所在的曲线是圆；
③若P 满足1C ∠MAP =∠MA ，则动点P 的轨迹所在的曲线是椭圆；
④若P 到直线C B 与直线11C D 的距离比为2:1，则动点P 的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若P 到直线D A 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线． 其中真命题的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．假定一个家庭有两个小孩，生男、生女是等可能的，在已知有一个是女孩的前提下，则另一个
小孩是男孩的概率是 ．
14．已知空间四点(0,3,5),(2,3,1),(4,1,5),(,5,9)A B C D x 共面，则x = ．
15．已知(4,0),A B -是圆2
2
:(4)4F x y -+=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交
直线BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ．
16．把长度AB 和宽AD 分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成0
60的二面角，则BD
等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
已知2
:(0,),1p x x mx ∀∈+∞+≥-恒成立，:q 方程22
2128
x y m m +
=+表示焦点在x 轴上的椭圆，若命题“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知*21)()n
n N x
∈展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大256； （Ⅰ）求展开式中的所有无理项．．．的系数和； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项．
19．（本小题满分12分）
已知点M 到点(2,0)F 的距离比到点M 到直线60x +=的距离小4； （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若曲线C 上存在两点A ，B 关于直线l:1
24
y x =-对称，求直线AB 的方程．
20．（本小题满分12分）
医生的专业能力参数K 可有效衡量医生的综合能力，K 越大，综合能力越强，并规定: 能力参数K 不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力K 的频率分布直方图: （Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率； （Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出
2名．
①求这2名医生的能力参数K 为同一组的概率；
②设这2名医生中能力参数K 为优秀的人数为X ,求随机变量X 的分布列和期望．
21．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点， PA ＝PD ＝4，BC ＝1
2AD ＝2，CD ＝23．
(Ⅰ)求证：PA ⊥CD ；
(Ⅱ) 若M 是棱PC 的中点，求直线PB 与平面BEM 所成角的正弦值； (Ⅲ)在棱PC 上是否存在点N ，使二面角N －EB －C 的余弦值为
13
，若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，
离心率为2，过1F 且垂直于x 轴
的直线被椭圆C
； （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若P 为椭圆C 在第一象限内的任意一点，过点P 且斜率为0k 的直线与椭圆相切，设12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，试证明
0102
11
k k k k +为定值，并求出此定值； （Ⅲ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点A B 、，且原点O 到直线l 的距离为1，设
OA OB λ⋅=，当
23
34
λ≤≤时，求AOB ∆的面积S 的取值范围．
2014～2015学年度下学期期中联考
高二数学(理科)参考答案
一、选择题：
二、填空题：
13. 23
14. 6- 15. 22
115y x -= 16.
三、解答题：
17. 解：由题意：若p 为真，则有1
()m x x
≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立
1
2(1x x x
+
≥=取“＝”)2m ∴≥- …………4分 若q 为真，则有2
280m m >+>，即42m -<<-或4m > ………8分 由p 且q 为假，则p 、q 中至少一个为假 若p 、q 均为真，则4m >
∴p 且q 为假，实数m 的取值范围是(,4]-∞ …………10分
18.解：由条件得20256n
-=，则8n = ，则8
21)x
的第1r +项为 54
82
18
8
21()(1),0,1,2,,8r r r
r r r
r T C x
r x
--+=-=-=⋅⋅⋅ …………4分
（1）由通项公式易知当1,3,5,7r =时，1r T +为无理项
故无理项的系数和为1
8()128C -+
+
+=- …………8分
（2）
当1,3,5,7r =时，系数为8r
C -；当0,2,4,6,8r =时，系数为
8
r
∴当4r =时，系数最大，故系数最大的项为4665(1)70T x x --=
-= ……12分
19.解：（1）结合图形知，点M 不可能在y 轴的左侧，即M 到点(2,0)F 的距离等于M 到直线2x =-的距离∴M 的轨迹是抛物线，(2,0)F 为焦点，2x =-为准线∴M 的轨迹方程是：2
8y x
=
46x =+化简得28y x =）……6分
（2）设1122(,),(,)A x y B x y 则22
11228,8y x y x == 相减得 121212()()8()y y y y x x +-=-
又AB l 的斜率为－4则12()48y y +⋅-= 12
12
y y +∴
=- AB ∴中点的坐标为(4,1)-，:14(4)AB l y x +=-- 即4150x y +-=
经检验，此时，AB l 与抛物线有两个不同的交点，满足题意. …………12分 20. 解：（1）合格率是：10.021010.20.8-⨯=-=
优秀率是：0.015100.010100.005100.3⨯+⨯+⨯= …………3分 （2）由题意知，这20名医生中，有4人，有6人，有4人，有3人，有2人，有1人
①22222464322
2031190
C C C C C p C ++++== …………7分 ②优秀的人数为：3+2+1＝6人
0,1,2x =
112
146142*********(0),(1)19095C C C p x p x C C ======，26220153
(2)19038
C p x C ====
x ∴的分布列是：
故x 的期望是()57
95
E x = …………12分 21.解：（1）
面PAD ⊥面ABCD
等腰PAD ∆中，E 为AD 的中点，PE AD ∴⊥PE ∴⊥面ABCD 又PA 在面ABCD 内的射影是AD ，CD AD ⊥
由三垂线定理知：CD PA ⊥
…………4分
（2）以
E 为原点，分别以,,EA EB
EP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
由0
4
cos30PE =⨯=得
P 又
(2,2C - (M ∴-则(EM =-，又EB =
设平面BEM 的一个法向量为(,,)n x y z =
则00
x ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩ 令1z =
则0x y =
= (3,0,1)n ∴=
又PB =-
设直线PB 与平面BEM 所成角为θ
则sin cos ,PB n θ-=<>=
=
…………8分 （3）假设在棱
PC 上存在点N ，使二面角N EB C --的余弦值为
13
设(01)PN PC λλ=≤≤，则(1)
EN EC EP λ
λ=+-(2
))λλ=-- 又EB =，设平面NEB 的一个法向量为1(,,
)n x y z
=
则02)0
x y z λλ⎧=⎪
⎨-++-=⎪⎩ 令,)z x λλ==-1(3(1),0,)n λλ∴=-
又
2(0,0,1)n =为平面
EBC 的一个法向量
则12cos ,n n <>=
=
解得1
3
λ=（负值舍） 故存在点N 为棱PC 的靠近P 的三分点符合条件. …………12分
22.解：（Ⅰ）椭圆方程为2
212
x y += …………3分 （Ⅱ）设点P 的坐标为0000(,)(0,0)
x y x y >>
则0
y =，又由
y =得
y '=
则0
00
2x k y -=
=
，又001200,11y y k k x x =
=+- 0120112x k k y ∴
+=，故00010201200
1111122()4y x
k k k k k k k x y +=+=⨯=-- ……7分
（Ⅱ）方法二：设l 与C 相切于点00(,)P x y
则0204212km x k ∆=⎧⎪⎨=-⎪+⎩
即
22
00
02
1222212m k k x m x k km m x k ⎧=+--⎪
⇒=⇒=⎨-=⎪+⎩
又
222000
2211
k m k y kx m m m m m m y --=+=+==⇒=002x k y -∴=即0002x k y -=
（同上） （Ⅲ）设1122(,),(,)A x y B x y
联立22
22
y kx m
x y =+⎧⎨
+=⎩222(12)4220k x kmx m ⇒+++-= 则22122
21220124122212k m km x x k m x x k ⎧
⎪∆>+>⎪
⎪+=-⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
即则2222
12121222()12m k y y k x x km x x m k -=+++=+
221212122322
,12m k x x y y x x k λ--=+=-=+ 又
点O 到直线l 的距离为1
，1= 即221m k =+
则22
1
12k k
λ+=+
，122,12x x k -=+
121S x =-⨯==令212=k t +，则2
1
2
t k -=
，S ===又21111222122k t
λ=+
=++，由2334λ≤≤得23t ≤≤ 故当2t =
时，min 4S =
；当3t =时，max 2
3
S =，S
的范围是2]43……12分。