3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

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y＜x， 1．不等式组x＋y≤1
y≥3
，表示的区域为 D，点 P1(0，－2)，
点 P2(0,0)，则( ) A．P1∉D，P2∉D C．P1∈D，P2∉D
B．P1∉D，P2∈D D．P1∈D，P2∈D
【答案】A
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2．在不等式x＋2y－1＞0表示的平面区域内的点是( )
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x－y≥0， 3．若满足条件x＋y－2≤0，
y≥a
的整点(x，y)恰有 9 个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为
________．
【答案】－1 【解析】不等式组所表示的平面区域
如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点
配人教版 数学 必修5 1．不等式4x－y≥0表示的平面区域是( )
【答案】B 【 解 析 】 取 测 试 点 (2,0) ， 满 足 4x － y≥0 ， 可 排 除 A ， D．再根据直线y＝4x的斜率k＝4＞1，故可排除C．故选B．
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2．(2019 年辽宁大连双基训练)在平面直角坐标系中，不等
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二元一次不等式表示的平面区域 【例1】 画出下列不等式表示的平面区域． (1)2x＋y－10＜0； (2)y≤－2x＋3. 【解题探究】先在直角坐标系内作出二元一次不等式对应 的直线，然后取特殊点，判断不等式所表示的平面区域．
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【解析】(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，取点 (0,0)，代入2x＋y－10，有2×0＋0－10＝－10＜0，
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【规律技巧】要想求出不等式组的解集我们要知道每一个 二元一次不等式的解集是什么，最后求出其公共部分，将公共 部分表示出来，此公共部分即为所求的不等式组的解集．
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曲线|x|＝|y|与直线 x＝3 围成一个三角形区域， 表示该区域的不等式5
1．二元一次不等式表示的平面区域 含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫 做二元一次不等式．使不等式成立的未知数的值叫做它的解.3x －2y＋1＞0就是一个二元一次不等式，它的解是一些数对(x， y)，因此，它的解集不能用数轴上一个区间表示，而应是平面 上的一个区域．
∴2x＋y－3≤0表示的区域是直线2x＋y－3＝0以及左下方 的平面区域，如图②所示．
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【方法规律】 对于不是标准形式的二元一次不等式，要 作出它所表示的平面区域，可以先把它化为标准形式，再作 图，(如本题(2)的解答)也可以直接作出，如本题(2)中先作出直 线y＝－2x＋3，再将原点(0,0)代入y≤－2x＋3中适合，于是含 有原点的区域即为不等式y≤－2x＋3所表示的区域．
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4．平面区域 一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋ C＞0表示直线__A__x＋__B__y_＋__C_＝__0___某一侧所有点组成的平面区 域 ， 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 称 为 这 个 平 面 区 域 的 __边__界____ ． 这 时 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 把 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 画 成 __虚__线____，以表示不含边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平 面区域包括边界，把边界画成______实__线____．
∴2x＋y－10＜0表示的区域是直线2x＋y－10＝0的左下方 的平面区域，如图①所示．
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(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0，首先画出直线2x＋y －3＝0(画成实线)，取点(0,0)，代入2x＋y－3，有2×0＋0－3 ＝－3＜0，∴2x＋y－3＜0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0 的左下方的平面区域．
①
②
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(2)直角由 x＝0 与 kx－y＋1＝0 形成(如图②)，则 k＝0，x ＝0 与－y＋1＝0 交于点(0,1)，由－y＋1＝0 与 y＝2x 交于点 12，1，得三角形的三个顶点为(0,0)，(0,1)，12，1，∴该三角 形的面积为 S＝12×1×12＝14.
综上所述，三角形的面积为15或14.故选 C．
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3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
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目标定位
重点难点
1.了解二元一次不等式的 重点：画二元一次不等式(
几何意义．
组)表示的平面区域．
2．会画二元一次不等式表 难点：画二元一次不等式(
示的平面区域.
组)表示的平面区域.
－12×1×1＝74.故选 D．
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【规律方法】求平面区域面积的方法： (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得相关两直线的交点坐标、 图形的边长、相关的线段长(三角形的高、四边形的高)等，利 用图形的面积公式求解．若图形为规则图形，则直接利用面积 公式求解，若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面 区域分为几个规则图形，然后求解．
A．(1，－1)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．(－2,0)
【答案】B
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3．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为
()
A．xx－＋2y－y＋12≥≥00，
B．xx－＋2y－y＋12≤≤00，
C．xx－＋2y－y＋12≥≤00，
D．xx－＋2y－y＋12≤≥00，
【答案】A 【解析】取阴影部分内一点P(1,1)，代入各选项检验，排 除B，C，D，故选A．
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1．二元一次不等式 含有__两__个未知数，且含有未知数的项的次数最高为__1__ 的不等式称为二元一次不等式． 2．二元一次不等式组 由几个_二__元__一__次__不__等__式___组成的不等式组称为二元一次不 等式组．
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3．二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x， y)，所有这样的__有__序__数__对__(_x_，__y_)___构成的__集__合____称为二元 一次不等式(组)的解集．有序数对可以看成直角坐标平面内点 的_坐__标___，于是，二元一次不等式(组)的__解__集__就可以看成直 角坐标平面内的点构成的集合．
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x≥0， 如果不等式组y≥2x，
kx－y＋1≥0
表示的平面区域
是一个直角三角形，则该三角形的面积为( )
A．12或15
B．12或13
C．15或14
D．14或12
【答案】C
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【解析】有两种情形： (1)直角由 y＝2x 与 kx－y＋1＝0 形成(如图①)，则 2×k＝ －1，k＝－12，y＝2x 与－12x－y＋1＝0 的交点坐标为25，45，三 角形的三个顶点为(0,0)，(0,1)，25，45，∴该三角形的面积为 S ＝12×1×25＝15.
不等式是x－y－1≥0，故选A．
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二元一次不等式组表示的平面区域
【例 2】
x<3， 用平面区域表示不等式组32xy＋≥2x，y≥6，
3y<x＋9
集．
的解
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【解析】不等式x＜3表示直线x＝3左侧点的集合，不等式 2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合．不 等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右 上方点的集合．不等式3y＜x＋9，即x－3y＋9＞0表示直线x－ 3y＋9＝0右下方点的集合．综上，可得不等式组表示的平面区 域是如图所示的阴影部分．
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4．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的 两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7) B．(－7,24) C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 【答案】B 【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0，即(a ＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
【正解】设F(x，y)＝2y－5x－10，作出直线2y－5x－10＝ 0.
∵F(0,0)＝2×0－5×0－10＝－10＜0， ∴所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示．
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【警示】特殊点定域时，将取的点代入哪个不等式检验， 就要用哪个不等式确定平面区域．
本题中，若将(0,0)代入5x－2y＋10中，有5×0－2×0＋10 ＞0，于是含(0,0)的一侧使5x－2y＋10＞0，不含(0,0)的一侧使 5x－2y＋10＜0，原不等式⇔5x－2y＋10＜0，故此不等式表示 的平面区域内应不含(0，0)点．若代入原不等式2y－5x－10＞0 中，则2×0－5×0－10＞0不成立，同样得出不等式2y－5x－ 10＞0表示的平面区域所在一侧应不含(0,0)点．
x＋y≥0， 式组x－y＋4≥0， 表示的平面区域面积是( )
x≤1
A．3
B．6
C．92
D．9
【答案】D
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【解析】画出不等式表示的平面区域，为如图所示的△ ABC，A(－2,2)，B(1,5)，C(1，－1)，则 BC 边上的高 h＝3，|BC| ＝6，所以平面区域面积是 S＝12×3×6＝9.
B．xx－＋yy≥≤00 x≤3
x－y≤0 C．x＋y≤0
x≤3
【答案】A
x－y≤0 D．x＋y≥0
x≤3
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【解析】|x|＝|y|；当 x，y 同号时为 y＝x，当 x，y 异号时 为 y＝－x，则对应区域如图阴影部分所示，则对应的不等式组
为xx－ ＋yy≥ ≥00， ， x≤3，
故选 A．
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求平面区域的面积
x≤0， 【例 3】若 A 为不等式组y≥0，
y－x≤2
表示的平面区域，则 a
从－2 连续变化到 1 时，动直线 x＋y＝a 扫过 A 中的那部分区 域的面积为( )
A．9 13
B．3 13
C．72
D．74
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【解题探究】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确 定动直线x＋y＝a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即 可．
【答案】D
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x≤0， 【解析】如图，不等式组y≥0，
y－x≤2
表示
的平面区域是△AOB，动直线 x＋y＝a(即 y＝
－x＋a)在 y 轴上的截距从－2 变化到 1，知△
ACD 是斜边为 3 的等腰直角三角形，△OEC 是直角边为 1 的等
腰直角三角形，所以区域的面积 S 阴影＝S△ACD－S△OEC＝12×3×32
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2．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0，或Ax＋By＋ C＜0在平面直角坐标系内表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧的 所有点组成的平面区域．在直线l外任取两点P(x1，y1)，Q(x2， y2) ， 若 P ， Q 在 l 的 同 一 侧 ， 则 Ax1 ＋ By1 ＋ C 与 Ax2 ＋ By2 ＋ C 同 号；若P，Q在l异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号．这 个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．利用这个规律，只 要在直线l的某一侧取一个点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正负， 就可知Ax＋By＋C＞0表示直线l哪一侧的平面区域．
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图中阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是
()
A．x－y－1≥0
B．x－y＋1≥0
C．x－y－1≤0
D．x－y＋1≤0
【答案】A
【解析】直线对应的方程为x－y－1＝0，对应的区域在直
线的下方，当x＝0，y＝0时，0－0－1＜0，即原点在不等式x
－y－1＜0对应的区域内，则阴影(包括直线)表示的区域满足的
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特殊点定域致错
【示例】画出二元一次不等式2y－5x－10＞0表示的平面 区域．
【错解】作出直线2y－5x－10＝0，即5x－2y＋10＝0. 将(0,0)代入5x－2y＋10可得5×0－2×0＋10＞0， ∴所示区域为含有(0,0)的一侧，如图所示．
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【错因分析】取特殊点检验时，应代入原式2y－5x－10， 而不能代入变形后的5x－2y＋10进行检验．