高二数学函数的奇偶性试题答案及解析

高二数学函数的奇偶性试题答案及解析
1.已知是定义在R上的奇函数，当时（m为常数）,则的值为（）. A．B．6C．4D．
【答案】D
【解析】因为是定义在R上的奇函数且当时，所以.则.
【考点】函数奇偶性的应用.
2.以下命题正确的是
（1）若；
（2）若，则必要非充分条件；
（3）函数；
（4）若奇函数满足，则函数图象关于直线对称．
【答案】（1）（2）．
【解析】（1）,,故正确；
（2），，，所以必要非充分条件，故正确；（3）令，则在上为减函数，所以；
（4）为奇函数，，又因为，则，即
函数图像关于对称．
【考点】函数的性质．
3.设是定义在上的奇函数，当时，，则 .
【答案】-3
【解析】由奇函数的定义可知，
【考点】奇函数的应用.
4.若是定义在R上的奇函数，且满足，给出下列4个结论：
（1）；（2）是以4为周期的函数；
（3）；（4）的图像关于直线对称；
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【解析】①因为是定义在R上的奇函数，所以，则；
②，，即周期为4；
③因为是定义在R上的奇函数，所以，又，；
④因为是定义在R上的奇函数，所以的图像关于直线对称；故选①②③.
【考点】函数的奇偶性、周期性.
5.设函数．若，则．
【答案】
【解析】因为，所以，即有，而
．
【考点】初等函数的性质及函数部分奇、偶性．
6.设函数，若是奇函数，则的值是 .
【答案】.
【解析】由题意可知，又∵是奇函数，∴.
【考点】函数的奇偶性与分段函数.
7.下列函数是奇函数的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据奇偶函数的定义易知，A、B都满足，均为偶函数，C中，函数的定义域为，且，故C中的函数为奇函数，而D 中，定义域为，但，且，该函数为非奇非偶函数，综上可知，选C.
【考点】函数的奇偶性.
8.已知函数是定义在区间-2，2上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式
成立，则实数的取值范围（）
A．B．1，2C．D．
【答案】
【解析】根据题意知,函数在上单调递增,在上单调递减.首先满足,可得.根据函数是偶函数可知:,所以分两种情况:
当时,根据不等式成立,有,解得;当时,根据不等式成立,有,解得;
综上可得.
【考点】偶函数性质.
9.现有四个函数:①;②;③; ④的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右的顺序对应的函数序号是（）
A．④①②③B．①④②③C．①④③②D．③④②①
【答案】
【解析】首先判断函数的奇偶性,显然①是偶函数, ②③奇函数, ④非奇非偶函数．所以从左到右①④②③或①④③②．③中当时,显然,当时,．所以其对应第四个图．所以从左到右①④②③．
【考点】函数图像的观察,函数奇偶性的判断．
10.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，
则实数的值为
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以又因为当时，，所以
【考点】偶函数性质
11.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足
，记为的导函数，则＝（）
A．B．－C．D．－
【答案】D
【解析】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函
数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…，同此可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数．又∵为的导函数，则奇函数，所以，即，故选D．
【考点】1、归纳推理；2、函数的奇偶性．
12.已知偶函数f（x）在[0，∞）上是增函数，则不等式的解集是
【答案】
【解析】根据偶函数的性质：,所以,函数在[0，∞）上
是增函数，所以,,解得
【考点】1.偶函数的性质；2.解不等式.
13.已知函数f(x)＝x3.
(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)>0.
【答案】（1）偶函数（2）见解析
【解析】(1)解∵2x－1≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
∵f(－x)－f(x)＝ (－x)3－x3
＝ (－x)3－x3
＝·x3－x3－·x3－x3＝x3－x3＝0，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)证明由题意知x≠0，
当x>0时，∵2x－1>0，x3>0，∴f(x)>0；
当x<0时，∵－x>0，∴f(－x)＝f(x)>0，
∴f(x)>0.综上所述，f(x)>0.
14.已知函数，，则。

【答案】
【解析】因为，所以
，。

【考点】函数的奇偶性
点评：若函数满足，则函数为奇函数；若函数满足，则函数为偶函数。

15.已知y=f(x)是奇函数，当x>0时,f(x)=2x(1-x),当x<0时f(x)应该等于（）
A．–2x(1-x)B．2x(1-x)C．–2x(1+x)D．2x(1+x)
【答案】D
【解析】因为，y=f(x)是奇函数，当x>0时,f(x)=2x(1-x)。

当x<0时，-x>0时，所以，f(x)="-" f(-x)="-[" -2x(1+x)]= 2x(1+x)，故选D。

【考点】函数的奇偶性。

点评：简单题，利用转化与划归思想，将所求问题转化成给定区间解析式计算问题。

16.“a＝1”是“函数f(x)＝在其定义域上为奇函数”的____________条件．(填“充分不必
要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要
【解析】根据题意，条件是“a＝1”，结论是“函数f(x)＝在其定义域上为奇函数”，
a＝1时，则可知f(x)+f(-x)=0,则可知f(x)在其定义域上为奇函数。

故“a＝1”是“函数f(x)＝在
其定义域上为奇函数”的充分条件。

而“函数f(x)＝在其定义域上为奇函数”可知，得到参数a的值为，在a=-
1时，f(x)在x=0处无定义，因此“a＝1”是“函数f(x)＝在其定义域上为奇函数”的不必要条件，
故答案为充分不必要。

【考点】函数的奇偶性
点评：解决的关键是根据函数的奇偶性的定义来求解，属于基础题。

17.已知函数，，则。

【答案】
【解析】∵为奇函数，且，∴，∴
【考点】本题考查了函数奇偶性的运用
点评：对于非奇非偶函数,通过代换转化成奇偶函数来处理这是进入中学后首先遇到的数学转化思
想之一
18.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】选项A中的函数为奇函数，选项B中为非奇非偶函数，选项D为偶函数，但在不
恒单调递增，故选C
【考点】本题考查了函数的性质
点评：熟练掌握常见函数的性质是解决此类问题的关键，属基础题
19.设函数.
（1）讨论的奇偶性；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)当a=0是偶函数；当a0时函数f(x)为非奇非偶函数
(2) 原函数的减区间为（-，），增区间为（，+）；(3)
【解析】解：（1）i)当a=0时：f(x)=x+
∵f(-x)="(-x)+" =x+=f(x)
函数f(x)为偶函数3分
ii)当a0时：
∵f(1)=1+,f(-1)=1+
若f(1)=f(-1)，则1+=1+从而a=0,舍去；
若f(1)=-f(-1)，则+=-2从而a
f(1)±f(-1)，函数f(x)为非奇非偶函数6分
（2）当a=2时：
f(x)=x+=
原函数的减区间为（-，），增区间为（，+）；10分
（3）∵x(-1,3)
f(x)<10可变为x-10<a-x< 10-x
即
对（*）：令g(x)= x+x-10,其对称轴为
③
对②令
④
由③、④知： 16分
【考点】函数性质的综合运用
点评：主要是考查了函数奇偶性和单调性以及函数的最值的运用，属于基础题。

20.已知函数为奇函数，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D.
【解析】因为f(x)为奇函数，所以x>0时，-x<0,所以f(-x)=-2x=-f(x),所以f(x)=2x,
所以g(x)=2x,x>0,所以.
【考点】分段函数的奇偶性，求分段函数的解析式.
点评：根据f(x)为奇函数，求出对称区间上的解析式g(x)是解本小题的关键，求g(x)时，用-x,-f(x)代替f(x)=2x,x<0中的x,f(x)即可得到-f(x)=-2x,所以f(x)=2x,x>0,即g(x)=2x,x>0.
21.设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)
＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性，并求出单调区间。

【答案】（1）a=3、 b=—12；(2)单调等增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）。

【解析】(1) 因为f′(x)的图象关于直线x＝－对称，所以，所以a=3；又f′(1)＝0，所以b=—12。

(2)由(1)知，知f（x）=2x3+3x2-12x+1，所以f′（x）=6x2+6x-12=6（x-1）（x+2），
令f′（x）=0，得x=1或x=-2，
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
当x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数。

所以f(x)的单调等增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）。

【考点】本题考查利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质。

点评：当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′（x）＞0(或f′（x）＜0)直接得到单调递增(或单调递减)区间。

但要注意函数的定义域。

22.若函数f(x)=(x+1)(x-A.)为偶函数，则A.=
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【答案】C
【解析】因为函数f(x)=(x+1)(x-A.)为偶函数，则可知A.=1,代入验证成立，其余不满足偶函数的
定义，舍去，故选C
23.若函数是偶函数，则实数的值为．
【解析】解：因为函数是偶函数，则说明a=0
24. . 已知是R上的偶函数，若将的图象向左平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若
A．503B．2012C．0D．-2012
【答案】C
【解析】解：因为是R上的偶函数，若将的图象向左平移一个单位后，则得到一个奇函
数的图象，，则周期为4，因此若
，选C
25.是R上的偶函数，，在，则。

【答案】1
【解析】解：因为函数为偶函数，且可知周期为3，那么可知f(2012)=f(2)=f(-1)=f(1)=1
26.已知函数满足，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为函数为奇函数，因此f(0)=0,即a=-,选C
27.设函数是上的奇函数，且当时，，则等于（）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】解：因为函数是上的奇函数，且当时，，则
选A
28.设,函数的导函数是,且是奇函数.若曲线的一条切线的斜
率是,则切点的横坐标为 ( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：由题意可得，是奇函数
∴f′（0）=1-a=0
∴a=1，，曲线y=f（x）在（x，y）的一条切线的斜率是3 /2 ，即3/ 2 =e x-1/ e x
解方程可得e x=2⇒x=ln2
故选A
29.（本小题满分9分）
己知是定义在R上的奇函数，当时，（其中且）
（1）求函数的解析式；
（2）当为何值时，的值的小于0？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用奇函数的性质求出另一段函数的解析式，利用分段函数知识写出函数的解析式；（2）分段函数不等式的解法是，分段求解后再求并集，解不等式时不要忽略前提条件。

解：（1）因为是定义在R上的奇函数，
当时，，所以，
（2）要使的值的小于0，则
（i）当时，或，解得，即；
（ii）当时，或，解得，即；
30.设f(x)为定义在R上的奇函数，当，则
【答案】
【解析】解：因为f(x)为定义在R上的奇函数，当
所以因此
31.已知定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，则使不等式f(2x－1)≤f(x－2)成立的实数x的取值范围是（）
A．[－1,1]B．(－∞，1]C．[0,1]D．[－1，＋∞)
【答案】A
【解析】解：由f(x)在R上为偶函数得f(2x－1)＝f(|2x－1|)，f(x－2)＝f(|x－2|)，
所以原不等式等价于f(|2x－1|)≤f(|x－2|)．
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以|2x－1|≤|x－2|，解得－1≤x≤1.
32.定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则
___▲___.
【答案】1
【解析】解：∵f(x+2)="1" f(x) ，∴f（x+4）=f（x），所以周期T=4，f（119）=f（3）．
令x=-1，f（1）•f（-1）=1，∴f（1）=1，f（3）="1" f(1) =1．
故答案为：1
33.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且
g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）
A．(－3，0)∪(3，+∞)B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，+∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)
【答案】D
【解析】由题意知F(x)=f(x)g(x)在上是增函数，由于F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以F（x）为奇函数，所以F(x)=f(x)g(x)在上也是增函数,并且F(-3)=0,F(3)=0,所以F(x)<0的解集为,应选D.
34.，则不等式的解集为( ) A．B．C．D．
【答案】D
【解析】此题考查函数奇偶性性质的应用、导函数的应用；设，当时，，所以函数在上递减，且函数是奇函数，所以在上也是递减，且，函数的图像如右图，所以的
解集是
35.“”是“函数为偶函数”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查函数奇偶性及充要条件个判定和推理.
为偶函数；若函数为偶函数，则
，即对定义域内任意恒成立；平方整理的对定义域内任意恒成立；所以故选A
36.（本小题满分12分）已知函数是上的奇函数，且单调递减，解关于的不等式
，其中且.
【答案】解：因为是上的奇函数，
所以可化为.
又单调递减，且，所以，即. ……………….4分
①当时，，而，所以；……………………………6分
②当时，，解得或；…………………..8分
③当时，，而，所以. ……………………………….10分
综上，当或时，不等式无解；当时，不等式的解集为
. ………………………………………………12分
【解析】略
37.下列命题中，是真命题的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】本题考查奇偶函数的定义，由奇偶函数的定义易知A正确，B、C、D均不正确
38.已知是奇函数，且在（－，０）上是增函数，，则不等式的解集是
___ _
【答案】
【解析】由题目条件可确定，当时，；当时，. 所以的解集为.
39.构造一个满足下面三个条件的函数实例， .
①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值.
【答案】
【解析】略
40.函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）
A．ab="0"B．a+b="0"C．a=b D．=0
【答案】D
【解析】【考点】函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：利用奇函数的定义“函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f（-x）=-f（x），则这个函数叫做奇函数”建立恒等式，求出a、b的值即可．
解答：解：根据奇函数的定义可知
f（-x）=-x|a-x|+b=-f（x）=-x|x+a|-b对任意x恒成立
∴a=0，b=0，故选D
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
41.已知函数是偶函数，是奇函数，它们的定义域为，且它们在
上的图象如右图所示，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】略
42.已知函数，则有
A．是奇函数，且B．是奇函数，且
C．是偶函数，且D．是偶函数，且
【答案】C
【解析】略
43.已知函数，则( )
A．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数B．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
C．h(x)="f(x)" g(x)是偶函数D．h(x)="f(x)" +g(x)是奇函数
【答案】A
【解析】略
44.已知是周期为的奇函数，当时，
若，则将从小到大排列为▲
【答案】
【解析】略
45.对任意的，定义在上的奇函数满足：，则=（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
46.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且
g(3)="0. " 则不等式f(x)g(x)＜0的解集是．
【答案】
【解析】略
47.下列函数（1）；（2），（3），（4）中是奇函数的有
（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【解析】本题考查函数的奇偶性
由知此函数的定义域为，且，故为偶函数；
由知此函数的定义域为，且，故为奇函数；
由知此函数的定义域为，定义域关于原点不对称
，故为非奇非偶函数；
由知此函数的定义域为，且，故为偶函数；
即上述函数中只有（2）为奇函数
故正确答案为
48.若函数是奇函数，则
【答案】1
【解析】略
49.设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则（）A．B．C．D．
【答案】D．
【解析】由题意，得，得，；因为函数为奇函数，所以
．
【考点】函数的奇偶性．
50.已知定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，且周期为.当时，
（、）,则的值为 .
【答案】
【解析】是奇函数
【考点】函数奇偶性周期性。