数学苏教版选修2-2自主练习：1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数含解析

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我夯基 我达标
1。

如果一个质点从定点A 处开始运动，在时间t 的位移函数为y=f(t)=t 3+3.那么，当t 1=4时，Δy=_____________,x
y ∆∆=_____________。

思路解析：主要利用Δy=f(t 0+Δt）-f （t 0）=f （4+Δt）-f （4)
=(4+Δt)3+3—43—3=Δt 3+48Δt+12Δt 2
=0。

013+48×0。

01+12×0。

012=0.481 201. ∴01
.0481201.0=∆∆t y =48.120 1。

答案:0.481 201 48.120 1
2.在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系s=10t+5t 2(s 单位:m ，t 单位：s ）,则t=20 s 时的速度为___________。

思路解析：由导数的定义知在t=20时的瞬时速度为 v=t t t t t t t t s ∆--∆++∆+=∆∆22510)(5)(10=t t t t t ∆∆+∆+∆10102=10+10t+Δt.
当Δt 趋近于0时，v 趋近于10+10t ，即v=10×20+10=210.
答案:210 m
3。

若一物体运动方程如下:⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=,3,)3(32,30,1322t t t t s 则此物体在t=1和t=3时
的瞬时速度分别为____________、____________.
思路解析:因为t=1时，0≤t＜3，所以此时s=3t 2+1. v=t t
t t t t t t s t t s t s ∆+=∆∆+∆=∆-⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆36361131)1(3)()(2
22。

当Δt 趋于0时，v 趋近于6，所以v=6.
因为t=3时,t≥3,所以此时s=2+3（t-3)2。

v=t t t t t t s t t s t s ∆∆=∆----∆++=∆-∆+=∆∆2
223)33(32)33(32)()(=3Δt。

当Δt 趋近于0时,v 趋近于0,所以v=0。

所以物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为6和0。

答案:6 0
4.曲线y=x 2的一条切线的斜率为—6，则切点坐标为___________。

思路解析：因为x
x x x x y ∆-∆+=∆∆22)(=2x+Δx， 当Δx 趋近于0时,x y ∆∆趋近于2x,所以斜率为2x.
当2x=—6时,x=—3，y=（-3）2=9，
所以切点坐标为（—3,9).
答案:(-3，9)
5。

如果某物体做运动，方程为s=2(1-t 2)的直线运动(s 的单位为m,t 的单位为s ）,那么其在1.2 s 末的瞬时速度为（ ）
A 。

-0.88 m/s
B 。

0.88 m/s
C 。

—4.8 m/s
D.4。

8 m/s
思路解析：在1.2 s 时的瞬时速度即为s 在1。

2处的导数,利用导数定义t t t t t s ∆--∆+-=∆∆)1(2])(1[222=—4t —2Δt， 当Δt 趋近于0时,-4t-2Δt 就趋近于—4t ，
所以t=1。

2时的瞬时速度为-4×1。

2=-4。

8 m/s 。

答案:C
6。

设函数f （x ）在x=x 0处的导数不存在，则曲线y=f(x)( ) A 。

在点[x 0，f （x 0)］处的切线不存在 B.在点［x 0，f （x 0)］处的切线可能存在
C 。

在点x 0处不连续 D.在x=x 0处连续
思路解析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率，深刻理解概念是正确解题的关键。

答案：B
我综合 我发展
7.设f(x)在点x=x 0处可导,且f′(x 0)=-2，则
x x x f x f ∆∆--)()(00趋近于
__________.
思路解析：因为2)()(00-=∆-∆+=∆∆x x f x x f x y ， 而.2)()]([)()()()(000000-=∆--∆-+=∆-∆--=∆∆--x
x f x x f x x f x x f x x x f x f 答案:-2
8.设f （x ）在R 上可导,求f （—x ）在x=a 处的导数与f(x)在x=—a 处的导数之间的关系。

思路分析：导数的概念仍是此题解题的关键,可见正确理解导数定义对解题是很有帮助的。

解:记f （-x ）=g （x),则f （-x)在a 处的导数为g′（a), 因为a
x a f x f a x a g x g ----=--)()()()(， 当x 趋近于a 时，g′（a ）=a x a f x f ----)()(，
令x=-t,则
当x
趋近于—a 时,即t 趋近于a 。

f′(—a ）=)(')()()()(a g a t a f t f a t a f t f -=--+--=+--+-.
这说明f （—x)在x=a 处的导数与f （x)在x=-a 处的导数互为相反数.
9.函数在某点存在切线是否在该点一定可导？反之成立吗？ 思路分析：一般地，如果函数y=f(x)的图象在x o 处出现尖点,如下图。