中考数学复习 第1章 数与式 第2讲 整式的运算与因式分解课件

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2．整式(zhěnɡ shì) 的乘除
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拓展►(1)平方差公式(gōngshì)的变形：a＋b＝(a2－b2)÷(a－b)，其中(a－ b≠0)；a－b＝(a2－b2)÷(a＋b)，其中(a＋b≠0)；(2)完全平方公式 的变形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab,2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－ b)2＝4ab，(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)．
.将n＝100代入an，得a100＝
技法点拨►此类问题一定要先认真计算出部分数据(shùjù)，然后根 据具体数据(shùjù)总结规律，最后根据规律进行计算．
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类型(lèixíng)5 整式的运算与求值
【例6】[2017·海南(hǎi nán)中考]计算：(x＋1)2＋x(x－2)－(x＋1)(x－ 1)．
类型(lèixíng)3 因式分解
【例4】[2017·深圳中考(zhōnɡ kǎo)]因式分解：a3－4a＝
.
【思路分析】a(a＋2)(a－2) 首先提取公因式a，进而利用平方差 公式分解因式即可．a3－4a＝a(a2－4)＝a(a＋2)(a－2)．
失分警示(jǐnɡ shì)►(1)因式分解必须要彻底，完成后一定要观察 是否可以继续分解；(2)当把一个因数变为其相反的因式时要注 意符号的变化；(3)提公因式时切勿漏项．
【例3】已知a＋b＝2，ab＝1，则a2b＋ab2的值为
.Hale Waihona Puke 技法点拨►在解决此类问题时切勿设法求出每个字母的值后再代入，应该
先观察已知条件与代数式的联系，进行适当变形后直接整体代入．
【思路分析】2 ∵a＋b＝2，ab＝1，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝ 2.
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7．[2013·滨州，18,4分]观察下列各式的计算过程：
5×5＝0×1×100＋25，
15×15＝1×2×100＋25，
25×25＝2×3×100＋25，
35×35＝3×4×100＋25，
…
请猜测(cāicè)，第n个算式(n为正整数)应表示为
.
5(2n－1)×5(2n－1)＝100n(n－1)＋25
【例5】[2017·凉山中考]古希腊数学家把1、3、6、10、15、
21、…叫做三角形数，其中(qízhōng)1是第一个三角形数，3是第二
个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角
形数是
.
5050 ∵a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋
4，…，∴an＝1＋2＋…＋n＝
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类型2 整体(zhěngtǐ)思想在代数式求值中的运用
【例2】[2017·河北一模]如果(rúguǒ)代数式－2a＋3b＋8的值为18， 那么代数式9b－6a＋2的值等于( ) C
A．28 B．－28 C．32 D．－32
【思路(sīlù)分析】∵－2a＋3b＋8＝18，∴－2a＋3b＝10.原式 ＝3(－2a＋3b)＋2＝3×10＋2＝32.
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2 ＝6，第7次输出的结果为6× ＝1 3，第8次输出的结果为3＋3
2 ＝6，…，∴从第4次开始，每次输出的结果都是6,3,6,3，…，∴ 第2017次输出的结果为3.
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变式运用►1.定义运算“@”的运算法则为x@y＝xy－1，下面给出关于这
种运算的几个结论(jiélùn)：①(2@3)@4＝19；②x@y＝y@x；③若x@x＝0，
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考点(kǎo diǎn)3 整式的运算 6年5考 1．整式(zhěnɡ shì)的加减
提示►(1)同类项的概念有两个(liǎnɡ ɡè)条件：所含字母相同及相同字母的指
数相同，两个(liǎnɡ ɡè)条件必须同时具备．(2)是否是同类项与系数的大小无 关，与字母的顺序无关．(3)常数项是同类项．
为( )
A．52012－1 B．52013－1 C.
D.
C 令S＝1＋5＋52＋53＋…＋52012，则5S＝5＋52＋53＋…＋52012＋52013， 因此(yīncǐ)5S－S＝52013－1，即4S＝52013－1，则S＝
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6．[2016·滨州，18,4分]观察下列(xiàliè)式子： 1×3＋1＝22；
技法点拨►在数字交换机求值问题中，必须要理清输入的数字符合什么条件
运用什么公式，而后再代入求值，对于循环出现的结果要进行规律分析．
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A 第3次输出(shūchū)的结果为9＋3＝12，第4次输出(shūchū)的结果为12× 1
2 ＝6，第5次输出的结果为6× ＝3，第1 6次输出的结果为3＋3
第一 章 数与式
第2讲 整式的运算(yùn suàn)与因式分解
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考点(kǎo diǎn)梳理过关
考点1 整式(zhěnɡ shì)的相关概念 6年1考
考点(kǎo diǎn)2 代数式
提示►当字母的值为负数时，代入代数式时一定要加上括号．
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命题点3 整式运算与规律(guīlǜ)探究
5．[2012·滨州，12,3分]求1＋2＋22＋23＋…＋22012的值，可令S＝1＋
2＋22＋23＋…＋22012，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22013，因此2S－S＝
22013－1.仿照(fǎngzhào)以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52012的值
则x－1＝0；④若x@y＝0，则(xy)@(xy)＝0.其中正确结论(jiélùn)的序号
是
.(在横线上填上你认为所有正确的序号)
①②④ 根据(gēnjù)题意，得①(2@3)@4＝5@4＝20－1＝19，①正 确；②x@y＝xy－1，y@x＝yx－1，故x@y＝y@x，②正确；③若x@x＝ x2－1＝0，则x－1＝0或x＋1＝0，③错误；④若x@y＝xy－1＝0，则 (xy)@(xy)＝x2y2－1＝(xy＋1)(xy－1)＝0，④正确，则其中正确的 结论序号有①②④.
思路分析：利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项 式法则计算(jìsuàn)即可得到结果．
自主解答：原式＝x2＋2x＋1＋x2－2x－x2＋1＝x2＋2.
失分警示►(1)熟记完全平方公式和平方差公式，切勿滥用；(2)在计 算多项式相乘的结果后要添加括号；(3)在求值以前要先认真化简 再代入求值．
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命题(mìng tí)点2 因式分解
3．[2016·滨州，3,3分]把多项式x2＋ax＋b分解因式(yīnshì)得(x＋1)(x－
3)，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3
D．a＝2，b＝－3
B ∵(x＋1)(x－3)＝x2－3x＋x－3＝x2－2x－3.∴x2＋ax＋b＝ x2－2x－3，∴a＝－2，b＝－3.
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变式运用►2.[2016·贺州中考]将m3(x－2)＋m(2－x)分解(fēnjiě)因式的结
果是
.
m(x－2)(m－1)(m＋1) 原式＝m(x－2)(m2－1)＝m(x－2)(m－1)(m＋ 1)．
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类型4 根据(gēnjù)已知的式子总结规律
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变式运用►3.[2017·宁波中考(zhōnɡ kǎo)]先化简，再求值：(2＋x)(2 －x)＋(x－1)(x＋5)，其中x＝
解：(2＋x)(2－x)＋(x－1)(x＋5)＝4－x2＋x2＋4x－5＝4x－1.
当x＝ 3 时，原式＝4× －3 1＝5.
2
第一 章 数与式。提示►当字母的值为负数时，代入代数式时一定要加上括号．。(3) 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”不要遗漏。思路分析：利用完全平
No 方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算即可得到(dé dào)结果．。(3)在求值
以前要先认真化简再代入求值．。得分要领►分解因式：(1)先观察有无公因式，若有先提 公因式。(3)当得到(dé dào)规律后必须通过已知数据进行检验．
为a6的算式
．
a2·a4或(a2)3(答案不唯一)
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猜押预测►1.下列计算(jìsuàn)正确的是( )
A．a3÷a－5＝a－2
B．a2＋a2＝a4
C．a2·a3＝a6
D.(ab2)2＝a2b4
答案(dá àn)：D
得分要领►必须记住幂的各种(ɡè zhǒnɡ)运算法则，在计算之前必须先弄清 是哪种运算，根据相关法则认真计算．
4．[2013·滨州，13,4分]分解(fēnjiě)因式：5x2－20＝
.
5(x＋2)(x－2) 5x2－20＝5(x2－4)＝5(x＋2)(x－2)．
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猜押预测(yùcè)►2.把代数式2mx2－4mx＋2m分解因式，下列结果中正
确的是( )
A．2m(x－1)2
2
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六年真题全练
命题(mìng tí)点1 幂的运算
a3
1．[2013·滨州，2,3分]化简 ，正确a (zhèngquè)结果为( )
A．a B．a2 C．a－1 D．a－2
答案(dá àn):B
2．[2014·滨州，14,4分]根据你学习的数学知识，写出一个运算结果
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猜押预测►3.观察下列一组图形中点(zhōnɡ diǎn)的个数，其中第1个图形中
共有3个点，第2个图形中共有8个点，第3个图形中共有15个点，……按
此规律第18个图形中共有点的个数是
.
360 ∵第1个图形中点的个数为3×1＝3，第2个图形中点的个数为4×2 ＝8，第3个图形中点的个数为5×3＝15，第4个图形中点的个数为6×4＝ 24，…，∴第n个图形中点的个数为(n＋2)×n，∴第18个图形中共(zhōnɡ ɡònɡ)有点的个数是(18＋2)×18＝360.
得分要领►(1)掌握常见的数列：相邻两项差相同、相邻两项的比相同、
相邻两项的差的差相同，相邻两项的差的比相同；(2)当直观找不到规律 时，应及时把图形问题转化(zhuǎnhuà)为数字问题进行分析；(3)当得到规 律后必须通过已知数据进行检验．
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内容 总结 (nèiróng)
B．2m(x＋2)2
C．2m(x2－2x＋1) D．2m(x＋1)(x－1)
A 2mx2－4mx＋2m＝2m(x2－2x＋1)＝2m(x－1)2.
得分要领►分解因式：(1)先观察有无公因式，若有先提公因式；(2) 观察多项式是否满足公式，若是两项分析平方差公式，若是三项 分析完全平方公式；(3)最后(zuìhòu)检验，分解必须要彻底．
考点(kǎo diǎn)4 因式分解 6年1考
提示►(1)最后结果整体上必须是因式乘积的形式；(2)提公因式时，若提出 因式的系数为负数，注意改变(gǎibiàn)各项的符号；(3)提取公因式时，若 有一项被全部提出，括号内的项“1”不要遗漏；(4)因式分解要彻底．
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典型例题(lìtí)运用
类型1 新定义(数字交换机)的相关(xiāngguān)问题
【例1】[2017·石家庄模拟]如图所示的运算程序(chéngxù)中，若开始输入的x值
为1215，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2017次输出的结
果为( )
A
A．3 B．4 C．6 D．9
7×9＋1＝82；
25×27＋1＝262；
79×81＋1＝802；
…
可猜想第2016个式子是:
.
(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2 观察发现，第n个等式(děngshì)可以 表示为(3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n＝2016时，(32016－2)×32016＋1 ＝(32016－1)2.