(整理)导数概念 教案.

导数的概念（教案∙讲稿∙PPT）
一、教案
【教学目标】 (1)、知识与技能目标
1. 了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程
2. 掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解．
3. 使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求函数在区间上的导数． (2)、过程与方法目标
1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想.
2．通过探究导数定义的过程，体验数学思维的严谨性。

(3)、情感、态度与价值观目标
1. 了解导数发现的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣与本领。

2. 在探究活动中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想，培养学生的探究精神。

【教学重点】导数的概念.
【教学难点】如何引出导数的概念，并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法.
【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题，曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】
用通俗易懂的语言，通过文、理结合的方式，最后以口诀的形式结尾，讲解抽象的内容，体现数学的草根本色。

【教学进程概要】
用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义，由例题1和例题2，来讲述在一点上求导的方法；接着由例题2，引出函数左、右导数的概念；用例题3引出在开区间上的导数，即导函数的定义，在此基础上给出求导函数的例子，例题4；最后以口诀的形式结尾。

【板书内容】
导数的概念
0000
()()()lim lim t t s t t s t s
v t t t
∆→∆→+∆-∆==∆∆
0000
()()lim lim MT
x x f x x f x y
k x x
∆→∆→+∆-∆==∆∆ 对一般函数：
()y f x =
000
0()()|lim lim x x x x f x x f x y
y x x
=∆→∆→+∆-∆'==∆∆ x
x f x x f x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)
()(lim
lim
00
二、讲稿
（一）、引言
在前面，我们学习了函数的极限，利用极限讨论了函数的一种性质，叫连续，即：0
lim 0x y ∆→∆=，今天我们来研究函数的另外一种性质。

下面我们通过两个实际的
问题引出这种性质的概念描述。

（二）、问题的实际背景
首先是一个物理问题，自由落体运动（让粉笔落下）。

1、自由落体运动的瞬时速度
英国物理学家牛顿在研究质点运动时，发现导数问题。

设想有一钢球做自由落体运动，自由落体运动的高度和时间容易
测量，他发现距离和时间的关系是：2
12
s gt =。

这不是一个
匀速运动，速度每时每刻都在变化着。

那么钢球在时刻0t 的瞬时速度如何来求？
牛顿的办法如下：用短时间段t ∆内的平均速度近似瞬时速度。

他考虑0t 时刻之后经过一个极短的瞬间t ∆到达t 时刻，即0t t t =+∆，在这一瞬间钢球所走的路
程为：00()()s s t t s t ∆=
+∆-。

这样，在这一时间段内的平均速度应该是：
000()()1
2
s t t s t s gt g t t t +∆-∆==+∆∆∆ t ∆越小，平均速度就越接近于瞬时速度，当0t ∆→时，平均速度的极限就是
瞬时速度。

000000
()()()lim lim t t s t t s t s v t gt t t
∆→∆→+∆-∆===∆∆
这里讨论的是一个物理问题，它体现的是平均变化率接近瞬时变化率的思想。

下面来看一个几何上的问题。

2、几何曲线的切线斜率问题
德国数学家莱布尼茨在研究曲线切线的斜率的时候也碰到了类似的问题。

给定一曲线
()f x ，求过),(00y x M 点的切线的斜率k 。

什么是切线呢？和闭曲线只有一个交点的直线称为切线（见下图2和图3），这种定义对于圆和椭圆等曲线是可行的，但对于一般的曲线就不行了。

因此要有更为普遍可行的切线定义。

什么是切线，如何来定义切线呢？莱布尼茨是这么来考虑的：考虑曲线上的一个动点),(y x N ，其中
)(x f y =，x x x
∆+=0。

MN 为曲线的一割线，当
N 沿着曲线向M 无限接近的时候，割线的极限位置为MT ，称MT 为切线。

根据
定斜式知道确定一点处的切线就是确定斜率。

当M N 沿曲线
→时，则有：割线→切线，从而有MN
MT
k k
→，其中MN k 为割线的
斜率，MT k 为切线的斜率。

割线斜率MN k 为：
00()()
tan MN f x x f x y k x x
α+∆-∆==
=
∆∆ 所以切线斜率MT k ：
000
00()()lim lim
lim
MT MN x x x f x x f x y
k k x x
∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 这里体现的也是函数平均变化率逼近某点处的变化率问题。

从上述两个例题中，我们发现：虽然它们是两个不同范畴的实际问题，但它们的数学形式是一样的：
00000
()()()lim lim t t s t t s t s
v t t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆ 0000
()()lim lim MT
x x f x x f x y
k x x
∆→∆→+∆-∆==∆∆ 都是对某点处函数增量与自变量增量之比取极限。

类似的问题还很多，如电流强度，经济学中的边际等等…，所以对两个增量之比取极限，这个东西并不是突然从天上掉下来的，硬要说是天上掉下来的，也是天上掉下个“林妹妹”。

这个“林妹妹”就是“定义1” （板书）。

（三）、导数的定义
1、定义 定义1：设函数()y
f x =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量
x ∆时，相应的函数y 取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

若极限
000
()()lim lim x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆ （1） 存在，则称函数
()y f x =在点0x 处可导（这就是我们今天要讲的函数的另一性质：
可导性），并称该极限为函数在点0x 处的导数（言下之意 ，导数就是按增量之比取
极限这一规则导出的数）。

记为：0,x x y =' 或者00
()x x x x dy
df
f x dx
dx
=='，，。

若上述极限不存在，则称函数()y f x =在点0x 处不可导，或者说函数在点0
x 处导数不存在。

（板书）
这些记号都是导数的符号，随便用哪一个都行。

它们就像“林妹妹”的衣服，“传统服”、“休闲服”、“便装”、“泳装”。

不过，无论穿了什么衣服，都还是这个“林妹妹”。

导数的表示还不止这一些。

有人觉得x ∆不好看，我们就用一个符号h 来表示。

即令h x =∆，定义式（1）
也可简单的写成如下的形式：
0000
()()
()lim h f x h f x f x h
→+-'= （2）
又有人认为0+x h 不够漂亮，不妨用一个x 来表示，即0x x h =+，由于0x 是
固定的，那么0h →等价于0x x →，上述定义式（2）就可等价的写成下面的形式：
000
()()
()lim x x
f x f x f x x x →-'=- （3）
这么多表示方法，这么多记号，说明一个问题：导数的概念很重要。

导数的符号是采用莱布尼茨的。

莱布尼茨是一位数学界的符号大师，很多符号都是采用他的，他发表微积分论文的时间要早于牛顿，但牛顿最先发现微积分，就把手稿放在家里，莱布尼茨的论文发表之后，有人认为莱布尼茨剽窃了牛顿的科研成果，莱布尼茨觉得自己很冤，“他是先有导数后有积分，我是先有积分后有导数，他在英国，我在德国。

我可没偷他的九阴真经，我可不是梅超风”。

后来人们公认的
图8 1646年～1716年
莱布尼兹创设的微积分符号对微积分的发展有极大的影响。

图7 1643年～1727年
牛顿在数学上最卓越的成
就是独立地创建了微积分。

是，他们两个从不同的角度独立发明了微积分。

他们都是微积分的奠基人。

闲话少说，下面我们考虑如何求函数在一点处的导数。

2、点导数例题
例1、求函数y
C =在点0x x =处的导数。

解：第一步求增量：00()()0y f x x f x C C ∆=
+∆-=-=
第二步求比值：
0y
x
∆=∆ 第三步取极限：00
|lim00x x x C =∆→'== 所以，函数
y C =在点0x x =处的导数恒为0。

说明，对于常数函数而言，他
在0x 点处的变化率为0。

是不是一个函数在其定义区间内，每一点处都可导呢？下面我们就来考虑例2。

例2、讨论函数||y x =在0x =处是否可导？ 解：根据导数定义及求导数的步骤，易判断函数在
0x =处的可导性。

第一步求增量：||y x ∆=∆
第二步算比值：
||
y x x x
∆∆=
∆∆ 第三步取极限：00
||
lim lim x x y x x x
∆→∆→∆∆=∆∆ 要将绝对值符号去掉，必须讨论x ∆的符号问题：
0||lim lim 1x x x x x x
-
-
∆→∆→∆-∆==-∆∆， 00||lim lim 1x x x x x x
++
∆→∆→∆∆==∆∆ 其左极限为1-，而右极限为1，左、右极限不相等。

则0
lim
x y
x
∆→∆∆不存在，可见函数()f x 在点0x =
处的导数不存在，也就说明：一个函数在它的定义区间内并不是
每一点处都可导的。

在例2中，从直观上看：该函数的图形在0x =处切线不存在，即曲线在该点处不光滑。

一般来说函数在某点可导（即切线存在），其图形必须在该点光滑。

很多同学都到过美发店，美发店做出来的头发曲线优美，非常光滑，用今天的话来说，就是根根头发闪闪发亮，条条曲线处处可导。

从上面的例2中我们还发现，虽然他的极限不存在，但是它在0点处的左极限和右极限还是存在，只是可惜不相等。

这就是所谓左导数和右导数。

3、单侧导数
定义2：如果
x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000-存在，则称该极限为左导数，记为
)(0x f -'；
如果x x f x x f x ∆-∆++
→∆)()(lim 000存在，则称该极限为右导数，记为)(0x f +'。

左导数、右导数统称为单侧导数。

定理1：函数在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等。

前面例2中，我们有结论，函数图形在光滑的地方存在切线，下面我们来求一求正弦函数在),(+∞-∞内的某一点0x 处的导数。

例3 设函数x y sin =，求函数在某点0x 点处的导数。

解：由公式：sin sin 2cos
sin
2
2
αβ
αβ
αβ+--=可知：
x
x
x x x x x x ∆-∆+='→∆=sin )sin(lim
|)(sin 000
x
x
x x x ∆∆∆+=→∆2sin
)2cos(2lim
00
00cos 2
2sin )2
cos(lim x x x
x x x =∆∆∆+=→∆ 即： 0cos |)(sin 0x x x x ='=
例3中，若将0x 换成x ，正弦函数在任意一点x 处的导数为x cos ，它是x 的函数，把这样的函数叫做导函数。

下面给出导函数的具体定义。

4、导函数
定义3：如果函数
)(x f y =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数)(x f 在
开区间I 内可导。

对于任一I x ∈，都对应着
)(x f 的一个确定的导数值，这个函
数叫做原函数)(x f 的导函数，简称导数。

记作dx
df
dx dy x f y ,),
(,''。

即h
x f h x f x x f x x f x y y h x x )()(lim )()(lim lim
000-+=∆-∆+=∆∆='→→∆→∆
这里，将函数在某点处可导的性质推广到了在一个区间上的可导性，将点导数的概念推广到了导函数的概念上。

下面来看幂函数求导数的例题。

例4、设函数(),(0,)y f x x x α==∈+∞，求y '。

解：
00()()()lim lim h h f x h f x x h x y h h
αα
→→+-+-'==
10(1)1lim h h x x h x α
α-→+-=（等价无穷小：(1)1h h x x
αα+-） 10lim h h
x x h
x
αα-→==1x αα-=
即：1()x
x α
αα-'=。

（四）、小结：
今天我们主要是讲了求函数的导数，求函数导数的时候，先给自变量一个增量
精品文档
精品文档 x ∆，并求函数的增量y ∆（或者说函数的改变量y ∆），接着将两个改变量相除，最后求比值的极限，计算是比较简单的，概括起来就是：
要求导数很简单，
先求两个改变量，
两者相除求比值，
再对比值求极限。

（五）、思考题与作业
思考题：
⑴设()f x 在0x x =处可导，即0()f x '存在，则
000()()lim x f x h f x h
∆→--= 。

提示：与导数定义要联系起来，只相差一个负号，通过变量代换，马上可以求出它的值：0()f x '-。

⑵已知物体的运动规律为2S t =（米），则该物体在2t
=秒时的速度
为： 。

提示：利用物理背景，以及导数的概念求解该题。

答案是：4米/秒。

作业：
P51，1. 2.
今天讲到这里，下课！。