2014年高考数学(文)二轮专题复习篇教案：专题一 数学思想方法 专题一 第一讲

专题一数学思想方法
第一讲函数与方程思想
1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念
的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造
方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
2．函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于
函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分
重要．
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次
函数的有关理论．
(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达
式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．
1．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于
300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范
围是()
A．[15,20] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30]
答案 C
解析 如图，△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则S △ADE
S △ABC
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝
⎝⎛⎭
⎫x 402
，所以y ＝40－x ，由题意知xy ≥300，即x (40－ x )≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解不等式得10≤x ≤30. 2． (2013·课标全国Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则
( )
A ．c >b >a
B ．b >c >a
C ．a >c >b
D ．a >b >c
答案 D
解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1
log 25
，c ＝log 714＝1
＋log 72＝1＋1
log 27，显然a >b >c .
3． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数
( )
A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >b
B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <b
C ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >b
D ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 答案 A
解析 当0<a ≤b 时，显然e a ≤e b ，且2a ≤2b <3b ， ∴e a ＋2a <e b ＋3b ，即e a ＋2a ≠e b ＋3b 成立， 所以它的逆否命题：若e a ＋2a ＝e b ＋3b ， 则a >b 成立，故A 正确，B 错误； 当0<a ≤b ，由e a ≤e b ，2a <3b ， 知e a －2a 与e b －3b 的大小关系不确定， 故C 错误；同理，D 错误．
4． (2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项
和S n ＝________. 答案 2 2n ＋
1－2
解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )
1－q
＝2n ＋1－2.
5． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得
∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)
解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x
2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，
则由题意得⎩
⎨⎧
a >0a －1≥0，解得a ≥1.
题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题
例1 (1)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最
小时t 的值为
( )
A ．1
B.1
2
C.5
2
D.22
(2)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．
审题破题 (1)由题意可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，因此该问题可转化为：求x 为何值时，函数F (x )＝x 2－ln x 取得最小值．
(2)由ab ＝a ＋b ＋3变形可得b ＝a ＋3a －1，从而求ab ＝a (a ＋3)
a －1的取值范围问题可转化为求函
数f (a )＝a (a ＋3)
a －1的值域问题；若设a
b ＝t ，则a ＋b ＝t －3，从而a ，b 可看成方程x 2－(t
－3)x ＋t ＝0的两根，利用方程的思想解决． 答案 (1)D (2)[9，＋∞)
解析 (1)可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x . 令F (x )＝x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x －1
x ＝2x 2－1x
，
所以当0<x <2
2时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；
当x >2
2
时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，
故当x ＝2
2时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小．
(2)方法一 (看成函数的值域) ∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3
a －1.
而b >0，∴a ＋3
a －1>0.
即a >1或a <－3，
又a >0，∴a >1，故a －1>0.
∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4
a －1
＝(a －1)＋4
a －1
＋5≥9.
当且仅当a －1＝4
a －1，即a ＝3时取等号．
∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，
所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．
从而有⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝(t －3)2－4t ≥0，
a ＋
b ＝t －3>0，
ab ＝t >0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，
解得t ≥9，即ab ≥9.
所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．
反思归纳 (1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．
(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．
变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a
2－y 2
＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲
线右支上的任意一点，则OP →·FP →
的取值范围为 ( )
A ．[3－23，＋∞)
B ．[3＋23，＋∞)
C.⎣⎡⎭⎫－7
4，＋∞
D ．⎣⎡⎭
⎫7
4，＋∞ 答案 B
解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1 (x 0≥3)，解得y 20＝x 203
－1 (x 0≥3)，因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2
0＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203
＋2x 0－1，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x 0＝－3
4
，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，
OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →
的取值范围是[3＋23，＋∞)．
题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题
例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π
2
]上有解，求a 的取值范围．
审题破题 可分离变量为a ＝－cos 2x ＋sin x ，转化为确定的相关函数的值域．
解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π
2])．
显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解．
∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－5
4
，
且由x ∈(0，π
2]知sin x ∈(0,1]．
易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值范围是(－1,1]．
方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π
2]，可得t ∈(0,1]．
将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .
其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－1
2
，如图所示．
因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (0)<0f (1)≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－1－a <0
1－a ≥0
，∴－1<a ≤1.故a 的取值范围是(－1,1]． 反思归纳 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．
变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．
解 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3k －1)＝0；(*) 要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝(－2)2
－4(3k －1)≥0，t 1·t 2＝3k －1>0，t 1
＋t 2
＝2>0，
解得13<k ≤2
3
.
故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤
13，23.
题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题
例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋
4x 恒成立，求x 的取值范围．
审题破题 本题可先求出m 的范围，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立可转化为函数g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2的值恒大于0.
解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤
12，3.
原题转化为当m ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2
>0恒成立．
令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3， 问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0. 解得x >2或x <－1.
反思归纳 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值
范围是
( )
A.⎝⎛⎭⎫0，3
4 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞
D ．(－∞，2)
答案 C
解析 原不等式即(x －1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x －1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数f (m )的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，
得⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)<0，f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2(x －1)－(2x －1)<0，－2(x －1)－(2x －1)<0，
解得x >34
.
题型四 利用函数与方程思想解决数列问题
例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1
4
≤T n <1.
审题破题 可将T n 看作关于自然数n 的函数，通过函数的单调性来证明不等式． (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋4－[(n －1)2－4(n －1)＋4]＝2n －5. ∵a 1＝1不适合上式，
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1， n ＝12n －5， n ≥2.
(2)证明 由题意知b n
＝a
n 2n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
2， n ＝12n －5
2n
， n ≥2
.
当n ＝1时，T 1＝1
2
，
当n ≥2时，T n ＝12＋－122＋1
23＋…＋2n －52n ，
① 12T n ＝122＋－123＋1
24＋…＋2n －72n ＋2n －52n ＋
1，
②
①－②得：12T n ＝12－222＋2⎝⎛⎭⎫123
＋…＋12n －2n －52n ＋1 ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n －2－2n －52n ＋
1， ∴T n ＝1－2n －1
2n (n ≥2)，当n ＝1时也适合上式．
故T n ＝1－2n －1
2n (n ∈N *)．
∵2n －1
2
n >0 (n ∈N *)，∴T n <1.
当n ≥2时，T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n ＋12n ＋1－⎝
⎛⎭⎪⎫
1－2n －12n
＝
2n －3
2n ＋1
>0，∴T n <T n ＋1 (n ≥2)． ∵T 1＝12，T 2＝1－34＝1
4
，∴T 2<T 1.
故T n ≥T 2，即T n ≥1
4
(n ∈N *)．
综上，1
4≤T n <1 (n ∈N *)．
反思归纳 (1)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．
(2)数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决． 变式训练4 (2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题
错误．．
的是
( )
A ．若d <0，则数列{S n }有最大项
B ．若数列{S n }有最大项，则d <0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0
D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C
解析 设{a n }的首项为a 1，
则S n ＝na 1＋1
2n (n －1)d ＝d
2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；
因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；
对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．
典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2
2
.
直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为10
3
时，求k 的值． 规范解答
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
c a ＝2
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝ 2.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.[4分]
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1
得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，
x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2
.[8分] 所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2
＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2
(1＋k 2)(4＋6k 2)
1＋2k 2
.[10分]
又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k
2
，
所以△AMN 的面积为
S ＝1
2|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2
.[12分] 由|k |
4＋6k 21＋2k 2
＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分]
评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．
阅卷老师提醒 (1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；
(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN ＝1
2·|AT |·|y 1－y 2|，
大大简化运算过程．
1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足
3*x =27的x 的值为
( )
A ．3
B ．1或9
C ．1或 2
D ．3或3 3
答案 D
解析 由题意得⎩
⎨⎧ x ≤3x 3＝27或⎩⎨⎧
x >3
x 2＝27，
解得x ＝3或3 3.
2． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a
2
上
一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为
( )
A.12
B.23
C.34
D.45 答案 C
解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，
∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝⎛⎭⎫3
2a －c ＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|， ∴3a －2c ＝2c ，
∴e ＝c a ＝34
.
3． 方程x 2－3
2x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是
( )
A ．m ≤－916
B ．－916<m <5
2
C ．m ≥52
D ．－916≤m ≤5
2
答案 D
解析 m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－9
16
，x ∈[－1,1]． 当x ＝－1时，m 取最大值为5
2
，
当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52
.
4． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为
( )
A ．－1
B ．1 C.23 D ．－23 答案 D
解析 由题设，得a 1＝f (1)－c ＝13
－c ； a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29
； a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227
， 又数列{a n }是等比数列，
∴⎝⎛⎭⎫－292＝⎝⎛⎭⎫13－c ×⎝⎛⎭
⎫－227，∴c ＝1. 又∵公比q ＝a 3a 2＝13
， 所以a n ＝－23⎝⎛⎭
⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *. 因此，数列{a n }是递增数列，
∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－23. 5． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 x 2＋px >4x ＋p －3对于0≤p ≤4恒成立可以变形为x 2－4x ＋3＋p (x －1)>0对于0≤p ≤4恒成立，所以一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3在区间[0,4]上的最小值大于0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3>0x 2－1>0， 所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
6． 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，
且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．
答案 (－∞，－3)∪(0,3)
解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．
又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，
所以x <0时，F (x )为增函数．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，
所以x >0时，F (x )也是增函数．
因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．
所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(草图如图所示)．
专题限时规范训练
一、选择题
1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞) 答案 B
解析 设φ(x )＝f (x )－(2x ＋4)，则φ′(x )＝f ′(x )－2>0，
∴φ(x )在R 上为增函数，
又φ(－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，
∴由φ(x )>0可得x >－1.
故f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．
2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )
A ．f (2)<f (3)<g (0)
B ．g (0)<f (3)<f (2)
C ．f (2)<g (0)<f (3)
D ．g (0)<f (2)<f (3) 答案 D
解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x ，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x 2
在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e －22
>0，因此g (0)<f (2)<f (3)，选D. 3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )
A ．D (x )的值域为{0,1}
B ．D (x )是偶函数
C ．
D (x )不是周期函数
D ．D (x )不是单调函数
答案 C 解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得．
由已知条件可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确；
当x 是有理数时，－x 也是有理数，
且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )，
当x 是无理数时，－x 也是无理数，
且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )，
故D (x )是偶函数，选项B 正确；
当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝1＝D (x )， 当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，
所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数，但不存在最小正周期，选项C 不正确； 由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不
是单调函数，选项D 正确．
4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16 答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 2＝4a 1＋a 3. ∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0.
∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q
＝15. 5． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为
( ) A.32 B.22
C.12 D ．－12 答案 C
解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 2
2ab
， 又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.
∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12
. 6． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2
(a ＋1)2
＝1的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，2) B ．(2，5) C ．[2，5]
D ．(3，5) 答案 B
解析 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为当a >1时，0<1a
<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.
7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2
时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是
( ) A ．(0,1)
B ．(－∞，0)
C ．(－∞，1)
D.⎝
⎛⎭⎫－∞，12 答案 C 解析 易知f (x )为奇函数且为增函数，
f (m cos θ)＋f (1－m )>0，
即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，
而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m >m －1，0>m －1得m <1. 8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是 ( )
A ．{x |12
<x <1} B ．{x |x <12或x >2} C ．{x |－12
<x <1} D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A
解析 ax －1x ＋b
>0⇔(ax －1)(x ＋b )>0， 转化为x 1＝－1，x 2＝2是方程(ax －1)(x ＋b )＝0的两个根(且a <0)，
即⎩
⎪⎨⎪⎧ (－a －1)(－1＋b )＝0(2a －1)(2＋b )＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2
，∴bx ＋1ax ＋1＝－2x ＋1－x ＋1<0⇒12<x <1.故选A. 二、填空题
9． 若关于x 的方程(2－2
－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．
答案 [－1,2)
解析 令f (x )＝(2－2－|x －2|)2.
要使f (x )＝2＋a 有实根，
只需2＋a 是f (x )的值域内的值．
∵f (x )的值域为[1,4)，
∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.
10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围
是____________．
答案 (－∞，14
] 解析 圆心坐标为(－1,2)，因为圆关于直线对称，
所以－2a －2b ＋2＝0即a ＋b －1＝0，
∴ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14≤14
. 11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积
为________．
答案 15 3
解析 由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°知其必是最长边x ＋4所对的角．
由余弦定理得
(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)cos 120°，
∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10.
∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.
12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范
围是________．
答案 λ＞－3
解析 由{a n }是递增数列，得a n ＜a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn ＜(n ＋1)2＋λ(n ＋1)， 整理得λ＞－(2n ＋1)．
而－(2n ＋1)≤－3，所以λ＞－3.
三、解答题
13．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交
于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．
解 依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，
整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0， ① ∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，
∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0，
∴－1<a <13
且a ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，
由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a
. 设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2
， ∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2
＝12
－3a 2－2a ＋1 ＝12
－3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43. ∵－1<a <13
且a ≠0， ∴当a ＝－13时，S 取得最大值33
. 14．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为
22
，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.
(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．
解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)， 设c >0，c 2＝a 2－b 2，
由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.
故椭圆C 的方程为y 2
＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2
. 因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22. 所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，
即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.
当m 2＝14
时，上式不成立； 当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1
， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，
又k ≠0，所以k 2＝2－2m 2
4m 2－1
>0. 解得－1<m <－12或12
<m <1. 即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.。