【配套K12】八年级数学重要知识点整理：三角形的三边关系
三角形三边定义及关系
三角形三边定义及关系三角形，作为几何学中最基础且最重要的图形之一，具有丰富的性质和内涵。
本文将深入探讨三角形三边的定义及关系，以期帮助读者更好地理解这一概念。
一、三角形的定义三角形是由三条边构成的闭合二维图形。
这三条边两两相交，且每条边的两个端点都在其他两条边的某一侧。
三角形是最简单的多边形之一，也是构建更复杂图形的基础。
二、三边定义1.边的长度三角形的每条边都有确定的长度。
在欧几里得平面几何中，边的长度是实数，且不同的边长对应不同的三角形。
2.边的方向三角形的三条边都有一定的方向性。
在几何图形中，方向由边的两个端点和其延伸方向共同决定。
三角形的三条边两两相交，形成了三个角，分别称为锐角、直角和钝角。
三、边与边之间的关系1.定量关系三角形的任意两边之和大于第三边。
这是三角形的一个重要性质，也是判断三条线段能否构成三角形的依据。
此外，任意两边之差小于第三边。
2.定性关系除了定量关系外，三角形各边之间还存在定性关系。
例如，三角形中的角平分线将对应边分为两段，这两段的比例与角的正弦值成正比。
四、应用场景三角形三边定义及关系在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，建筑学中经常用到三角形的稳定性，这是由于三角形的三条边可以互相支撑，形成一个稳定的结构。
此外，航海、测量和工程设计中也经常用到三角形的知识。
五、与其他几何图形的区别三角形是多边形中最简单的一种，其性质与其他多边形存在明显差异。
例如，四边形有四条边和四个角，其各边之间的关系与三角形不同。
此外，三角形各内角的和为180度，而四边形各内角的和为360度。
这些性质上的差异使得三角形在几何学中具有独特的地位。
六、学习方法与技巧1.实践与理论相结合：在学习三角形三边定义及关系时，应结合实际案例进行思考和实践，以便更好地理解和掌握知识。
2.注重基础概念：在学习过程中，要注重对基础概念的掌握和理解，如三角形的定义、边的长度和方向等。
只有掌握了这些基础概念，才能更好地理解后续的定理和性质。
三角形的三边关系(基础)知识讲解
三角形的三边关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：要点五、三角形的稳定性??? 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．?（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．??（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来； (2)线段AE 是哪些三角形的边?(3)∠B 是哪些三角形的角?【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考． 【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD ，△ABE ，△ABC ，△ADE ，△ADC ，△AEC ． (2)线段AE 分别为△ABE ，△ADE ，△ACE 的边． (3)∠B 分别为△ABD ，△ABE ，△ABC 的角．【总结升华】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重复、不遗漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A 、E 再找一个第三点，使这点不在AE 上，便可得到以AE 为边的三角形；(3)问的突破口是∠B 一定在以B 为一个顶点组成的三角形中．举一反三：【变式】如图，以A 为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形． 【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD. 类型二、三角形的三边关系2. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型三、三角形中重要线段4. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ． 【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部． 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高． 【答案】解：所画三角形的高如图所示．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________． 【答案】1类型四、三角形的稳定性6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。
三角形的相关概念及三边关系
三角形的相关概念及三边关系三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成，每两条线段的交点称为顶点。
三角形有许多重要的概念和性质，其中最为关键的是三边关系。
本文将介绍三角形的相关概念，并探讨三边关系的性质和应用。
一、三角形的相关概念1. 三角形的分类根据三条边的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三边长度相等，等腰三角形的两边长度相等，普通三角形的三边长度各不相等。
2. 三角形的内角和外角三角形的内角是指三个顶点所对应的角，分别用A、B、C表示。
三角形的外角是指在顶点所在直线延长线上的补角，分别用α、β、γ表示。
3. 三角形的内角和外角之和三角形的内角之和为180度，即A + B + C = 180度。
三角形的外角之和也为180度，即α + β + γ = 180度。
4. 三角形的高和中线三角形的高是指从顶点所在直线到底边的垂直线段，分别记为h1、h2、h3。
三角形的中线是连接顶点和底边中点的线段，分别记为m1、m2、m3。
二、三角形的三边关系1. 三角形的边长关系三角形的任意两边之和大于第三边，即a + b > c，b + c > a，c + a > b。
这是三角形存在的必要条件。
2. 三角形的等边关系等边三角形的三边长度相等，即a = b = c。
等边三角形的三个内角也相等，都为60度。
3. 三角形的等腰关系等腰三角形的两边长度相等，即a = b 或 b = c 或 c = a。
等腰三角形的两个内角也相等，分别为A = B 或 B = C 或 C = A。
3. 三角形的直角关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度。
直角三角形的斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。
4. 三角形的相似关系如果两个三角形的对应角相等，那么它们称为相似三角形。
相似三角形的对应边之间存在着等比关系。
三、三角形的应用1. 三角形的面积计算三角形的面积可以通过三角形的底边长度和高来计算，面积等于底边乘以高再除以2。
三角形的三边长度关系
三角形的三边长度关系三角形是几何学中的基本形状之一，由三条线段组成，每条线段称为边，而三条边之间的关系对于三角形的性质和特点有着重要影响。
本文将以三角形的三边长度关系为主题，探讨三角形的性质和特点，带领读者深入了解三角形。
一、三角形的定义及性质三角形是由三条线段组成的多边形，其中的每条线段称为边，而三条边的交点称为顶点。
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为三种类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，每个内角均为60度。
它是一种特殊的等腰三角形，具有对称美观的特点。
2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，另一条边长度不同。
等腰三角形的两个底角相等，而顶角则与底角不相等。
3. 普通三角形普通三角形的三条边长度都不相等，每个内角均不相等。
普通三角形是最常见的三角形类型，根据边长的不同，可以进一步分类为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
二、三边长度关系及其应用三角形的三边长度关系是研究三角形性质的基础，它可以帮助我们计算三角形的周长、面积和各个角的大小。
1. 三边之和根据三角形的定义，三角形的任意两边之和大于第三边。
即对于三角形的三条边a、b、c，有a+b>c、a+c>b、b+c>a。
这个关系被称为三边不等式，它是判断三条线段是否可以组成三角形的重要条件。
2. 等边三角形的边长关系等边三角形的三条边长度相等，即a=b=c。
等边三角形的周长可以通过边长乘以3来计算，即周长=3a。
3. 等腰三角形的边长关系等腰三角形的两条边长度相等，即a=b。
等腰三角形的周长可以通过边长乘以2再加上底边长来计算，即周长=2a+c。
4. 普通三角形的边长关系普通三角形的三条边长度都不相等，即a≠b≠c。
普通三角形的周长可以通过三条边长之和来计算，即周长=a+b+c。
5. 三角形的面积计算根据海伦公式，已知三角形的三边长a、b、c，可以通过以下公式计算三角形的面积S：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，p为半周长，即p=(a+b+c)/2。
三角形的三边关系(基础)知识讲解
三角形的三边关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言 过点A 作AD ⊥BC 于点D ． 取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°)1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线． 3．BD ＝DC ＝12BC4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC于点D ． 3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝12∠BAC ．90°)12BC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．要点五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重复、不遗漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定在以B 为一个顶点组成的三角形中．举一反三：【变式】如图，以A 为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD. 类型二、三角形的三边关系2. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型三、三角形中重要线段4.(江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB 、CD )，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。
三角形三边的三边关系
三角形三边的三边关系1. 引言：三角形的魅力说到三角形，大家一定不陌生吧？在我们的生活中，三角形无处不在。
它可能藏在你的餐桌上，或者在那把经典的吉他形状中。
三角形不仅仅是一个简单的几何图形，它还有一套自己的“法则”。
今天就来聊聊三角形三边之间的那些事儿，保证让你听了之后心里乐开花！2. 三角形的基本特征2.1 三边关系的基本原则首先，我们得搞明白三角形的三边关系。
简单来说，三角形的任意两边的和一定要大于第三边。
听起来简单吧？可别小看这条原则，这可是三角形的“生存法则”！假如你试图用三根棍子拼出一个三角形，但有一根棍子比另外两根的和还要长，那你就只能面对失败的尴尬了。
这就好比你要参加一个聚会，却发现自己没有带任何饮料，那可真是“干巴巴”的局面。
2.2 生活中的应用而且，三角形的这些特性在我们的生活中可有大用处了。
比如，在建筑设计中，三角形的稳定性使得很多结构都采用了三角形的形状。
你想想，房子的屋顶就是个经典的三角形结构，它能抵抗风的压力，保证我们安全舒适地生活在里面。
真是“得天独厚”，对吧？3. 三角形的类型3.1 根据边的长短分类接下来，咱们得看看三角形的种类。
三角形主要分为三种：等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
等边三角形就像一位“富二代”，三条边都一模一样，真是让人羡慕！而等腰三角形就像是个“二十多岁的小年轻”，有两个边一样长，给人一种稳重又不失活泼的感觉。
不等边三角形就像是生活中的那些“特立独行”的人，三条边各自有各自的风格，真是让人刮目相看。
3.2 根据角的大小分类除了边的长度，三角形还可以根据角的大小来分类。
锐角三角形就像是个活力四射的小年轻，三个角都小于90度；直角三角形则是成熟稳重的代表，有一个角恰好是90度；而钝角三角形就像是一个“大叔”，有一个角超过90度，给人一种沉稳的感觉。
这些不同的三角形，不仅形状各异，还各自有各自的特点，真是丰富多彩。
4. 三边关系的深层次4.1 为什么三边关系如此重要？那么，为什么说三边关系那么重要呢？这就牵涉到三角形的内在稳定性。
三角形三边关系
三角形三边关系在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的三边关系，则是理解和研究三角形性质的关键所在。
首先，让我们来明确一下什么是三角形。
三角形，就是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
这三条线段就是三角形的三条边。
那三角形的三边之间到底存在着怎样的关系呢？最基本的一点，三角形任意两边之和大于第三边。
这是一个至关重要的定理。
咱们来想想，如果两条边的长度之和等于或者小于第三条边的长度，那这三条线段能围成一个三角形吗？答案是不能。
比如说，有三条线段，长度分别是 2 厘米、3 厘米和 5 厘米。
因为 2 ＋ 3 ＝ 5，两边之和等于第三边，所以它们无法构成三角形。
那为什么会有这样的关系呢？我们可以通过一个简单的生活例子来理解。
假设你要从 A 点走到 C 点，中间经过 B 点。
那么从 A 到 C 的距离一定小于（或者等于，当 A、B、C 三点共线时）从 A 经过 B 到C 的距离。
这就好比三角形的三边，如果两边之和小于或者等于第三边，那就无法形成一个封闭的图形，也就构不成三角形。
这个定理在实际解题中有着广泛的应用。
比如，已知三角形的两条边分别是 3 厘米和 4 厘米，那么第三边的长度范围是多少呢？我们可以先算出两边之和 3 ＋ 4 ＝ 7 厘米，两边之差 4 3 ＝ 1 厘米。
所以第三边的长度应该大于 1 厘米且小于 7 厘米。
反过来，三角形任意两边之差小于第三边。
这也是由两边之和大于第三边推导出来的。
还是上面那个例子，第三边大于两边之差1 厘米，小于两边之和 7 厘米，所以两边之差一定小于第三边。
三角形三边关系的应用不仅仅局限于数学解题，在我们的日常生活中也有不少体现。
比如在建筑设计中，如果要搭建一个三角形的架子，工人师傅就需要根据三边关系来选择合适长度的材料，以确保架子能够稳定地搭建起来。
在测量领域，如果我们要测量一个三角形区域的边长，但是只能测量其中的两条边，那么通过三边关系，我们就可以大致估算出第三条边的长度范围。
三角形三边关系定理是什么
三角形是数学考试的重点图形之一，很多同学对于三角形的一些知识了解的并不扎实，那么我们一起来看看三角形三边关系都有哪些知识点？
三角形三边关系
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
直角三角形三边关系：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
数学学习方法
每一节的数学单元里面都有数学定义，这些数学定义一定要把握住才行，因为
好多的数学错题基本上都是由于自己对定义了解程度不够。
很多家长都信奉题海战术，总是会给孩子布置很多题目，但这样的效率是很低的。
做题也是要有技巧地做，做到举一反三。
很多孩子在做错题的时候，都只是简单改正，没有去思考背后的原因。
因此，如果孩子做错题，要引导他们进行总结方法，从而从根源上解决错题。
以上就是有关于三角形三边关系和数学学习的相关知识，供大家参考。
三角形的三边关系定理
三角形的三边关系定理
三角形的三边关系定理：三角形第三边小于两边之和，大于两边之差。
可以表示为两边之差＜第三边＜两边之和。
设三边为a,b,c,则有
a+b>c
a+c>b
b+c>a
三边关系推论：a>b-c c>b-a b>a-c
①判断三条已知线段能否组成三角形；
②当已知两边时，可确定第三边的范围；
③证明线段不等关系。
直角三角形
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
等腰直角三角形
等腰直角三角形三边之比：1：1：根号二。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
三角形三边关系 定义
三角形三边关系定义三角形是初中数学中一个重要的概念，它是由三条线段连接起来的几何图形。
在三角形中，三条边之间有着复杂的关系，而这些关系在数学中被称为“三角形三边关系”。
本文将介绍三角形三边关系的定义及其相关概念。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接起来的几何图形，其中任意两条线段之间的夹角都小于180度。
三角形有三个顶点和三条边，可以根据三边的长度、三个角的大小、三个顶点的位置等不同特征进行分类。
二、三角形三边关系的定义三角形三边关系是指三角形中任意两条边的长度之和大于第三条边的长度。
换言之，如果三角形的三条边分别为a、b、c，则有以下关系式：a+b>ca+c>bb+c>a这些关系式是三角形三边关系的基本定义，也是数学中最基本的几何定理之一。
在实际应用中，三角形三边关系可以帮助我们判断三角形是否存在，从而避免出现错误的计算结果。
三、三角形三边关系的相关概念除了基本的三角形三边关系之外，还有一些相关的概念需要了解： 1. 等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个角的大小都是60度。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角的大小相等。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角的大小为90度的三角形。
在直角三角形中，另外两个角的大小分别为30度和60度。
4. 锐角三角形锐角三角形是指所有角的大小都小于90度的三角形。
在锐角三角形中，三条边的长度之间的关系式为：a+b>cb+c>ac+a>b5. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角的大小大于90度的三角形。
在钝角三角形中，另外两个角的大小分别为小于90度的锐角。
四、三角形三边关系的应用三角形三边关系在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要根据三角形三边关系来计算建筑物的结构和支撑力；在地图制作中，制图人员需要根据三角形三边关系来计算地球上不同地区的距离和方位；在物理学中，科学家们需要根据三角形三边关系来计算力的大小和方向等。
八年级数学十三章知识点
八年级数学十三章知识点数学作为一门重要的自然科学，其应用范围越来越广泛，对我们的学习生活产生着重要影响。
而在八年级的数学学习中，第十三章是一个比较重要的章节，其中包含着许多重要的知识点。
本文将针对八年级数学第十三章知识点进行详细论述。
一、三角形的性质三角形是一种非常基本的几何图形，它的性质也是我们在数学中掌握的一个重点。
在八年级数学第十三章中，我们需要学习三角形的三边关系、内角和、三角形分类、相似三角形和勾股定理等知识。
1. 三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，而任意两边之差小于第三边的性质，是三角形最基本的性质之一。
2. 内角和三角形的三个内角和为180°，这也是我们在八年级必须掌握的知识。
3. 三角形分类三角形可以根据各边长度和内角的不同进行分类。
平面内的三角形按照其各边长度的相对大小可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
4. 相似三角形相似三角形具有对应角度相等和对应边比例相等两个基本特性，这也是我们掌握的必备知识之一。
5. 勾股定理勾股定理是三角形中比较重要的定理之一，它是一种特殊的三角形关系，可以在很多数学问题中得到应用。
二、圆的性质圆是我们在学习几何时常接触的几何图形之一，而圆的性质也是我们必须要掌握的。
本章中我们需要学习到圆的周长、面积、圆心角、弧长以及扇形和交角等知识。
1. 周长和面积圆的周长和面积是我们必须要掌握的基本知识之一。
2. 圆心角和弧长圆心角是圆心所对的角，而弧长是圆上一段弧长的长度。
学习圆心角和弧长的知识，更有助于我们对数学知识的进一步理解和应用。
3. 扇形和交角扇形和交角是圆的另外两个基本性质，在数学问题中也有着重要的应用。
三、几何变换几何变换在数学中也是一个有着重要地位的知识点，包括平移、旋转、对称和放缩等几种基本变换。
在本章中我们需要学习这些变换的相关知识，如平移的向量、旋转的中心和角度、对称的轴等。
四、数轴与数线段数轴和数线段也是本章重点之一，其中我们需要学习到数轴上的点与实数、数学绝对值和解不等式等知识。
三角形三个边长的关系
三角形三个边长的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成，其中每条线段都是三角形的一条边。
三角形的三个顶点和三条边之间有着密切的关系，其中最基本的关系就是三角形三个边长之间的关系。
三角形三个边长的关系可以用三角形的三边定理来描述。
三边定理指出，对于任意一个三角形，其任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这个定理可以用数学公式来表示为：a +b > ca + c > bb +c > aa -b < ca - c < bb -c < a其中a、b、c分别表示三角形的三个边长。
这个定理的意义在于，如果三角形的任意两边之和小于或等于第三边，那么这个三角形就无法存在，因为它的两条边无法连接成一个封闭的图形。
同样地，如果三角形的任意两边之差大于第三边，那么这个三角形也无法存在，因为它的两条边无法连接成一个封闭的图形。
三角形三个边长之间还有一个重要的关系，就是勾股定理。
勾股定理指出，对于一个直角三角形，其两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用数学公式来表示为：a² + b² = c²其中a、b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
勾股定理不仅适用于直角三角形，也适用于非直角三角形。
对于非直角三角形，勾股定理可以用余弦定理和正弦定理来表示。
余弦定理指出，对于任意一个三角形，其任意一条边的平方等于另外两条边的平方和减去这两条边的乘积与这条边对应的角的余弦值的两倍的积。
这个定理可以用数学公式来表示为：c² = a² + b² - 2ab cos Ca² = b² + c² - 2bc cos Ab² = a² + c² - 2ac cos B其中a、b、c分别表示三角形的三个边长，A、B、C分别表示三角形的三个内角的度数，cos表示余弦函数。
三角形三遍关系
三角形三遍关系
三角形三边关系，即三条相互组成一个三角形的边的相互关系，也叫三角形三边定理，即任何一个三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
二、原理
三角形三边关系是最基本的一条定理，它有古希腊数学家笛卡尔在其著作《几何原本》中所阐述的定理：任意一个三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小与第三边。
例1：若a>b>c,则
a +
b > c
b +
c > a
c + a > b
a -
b < c
b -
c < a
c - a < b
三、应用
三角形三边关系在数学中有着重要的应用，比如求解三角形的面积、角度等，在锐角三角形中，特别是直角三角形中，可以使用三角形三边关系求出其他边的长度。
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人教版初中八年级数学上册知识点总结
八年级上册数学知识点总结（精华）第十一章三角形1、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
2、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
3、公式与性质（1）三角形的内角和：三角形的内角和为180°（2）三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（3）多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°（4）多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
（5）多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
②n边形共有23)-n(n条对角线。
第十二章全等三角形1、全等三角形：两个三角形的形状、大小都一样时称为全等三角形。
一个图形经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）后得到另一个图形，变换前后的图形全等。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3、三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”：（2）“角边角”简称“ASA”：（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”：（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
4、（1）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等（2）角平分线推论（或称判定）：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
第十三章轴对称1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
初中三角形三边关系
初中三角形三边关系三角形是初中数学中的重要概念，它由三条线段构成，而这三条线段之间有着一定的关系。
本文将探讨初中三角形三边关系的相关内容。
我们来讨论三角形的边的关系。
对于任意一个三角形来说，它的任意两边之和都要大于第三边。
这是因为如果两边之和小于第三边，那么这两边无法连接成一个三角形，反之则可以。
这个结论被称为三角形的三边关系。
接下来，我们来具体分析三角形的三边关系。
假设有一个三角形ABC，其中AB为底边，而AC和BC为两边。
根据三边关系，我们可以得到以下结论：1. AB < AC + BC2. AC < AB + BC3. BC < AB + AC这三个不等式表达了三角形三边之间的关系，可以通过比较三边的长度来判断是否构成一个三角形。
如果其中任意一个不等式不成立，那么这三条线段无法构成一个三角形。
除了三边关系，我们还可以通过三角形的边来判断三角形的类型。
根据三边的长度关系，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
首先是等边三角形，它的三条边的长度相等。
这意味着三角形的三个顶点之间的距离都相等，三条边都相互等长。
等边三角形的特点是所有的内角都是60度。
其次是等腰三角形，它的两条边的长度相等。
等腰三角形的特点是两边相等的两个内角也相等。
这意味着等腰三角形的底边中点到顶点的线段和底边平行。
最后是普通三角形，它的三条边的长度都不相等。
普通三角形是最常见的三角形类型，它的三个内角都不相等。
除了三角形的边之间的关系，我们还可以通过三角形的边和角之间的关系来解决问题。
例如，根据正弦定理，我们可以得到以下关系：$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}}$其中a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示三角形的三个内角的度数。
这个定理可以帮助我们在已知三条边或两条边和一个角的情况下求解三角形的其他信息。
八年级数学重要知识点整理：三角形的三边关系
八年级数学重要知识点整理：三角形的三边关系八年级数学重要知识点整理：三角形的三边关系三角形的三边关系：在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
设三角形三边为a,b,c则a+b>ca+c>bb+c>aa-ba-cb-c在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
则两直角边的平方和等于斜边平方。
在等边三角形中，a=b=c在等腰三角形中，a,b为两腰，则a=b在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2-2abcosc三角形的三边关系定理及推论：（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
典型例题为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是()A.5mB.15mC.20mD.28m答案：D解析:首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．解：∵PA、PB、AB能构成三角形，∴PA-PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m．故选D．1.若(a-1)2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为()．2.有两根5cm、9cm的木棒，要以这两根木棒做一个三角形，可选第三根木棒的长为()A.4cmB.9cmC.14cmD.19cm3.以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是_____个．4.△ABC中，AB=AC，且知两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是_____．5.已知线段AB=2，AC=5，则线段BC的长x的取值范围是()A.x＜7B.3＜x＜7C.3≤x≤7D.x＞36.现有8根木棍，它们的长分别是1，2，3，4，5，6，7，8，若从8根木棍中抽取3根拼三角形，要求三角形的最长边为8，另两边之差大于2(以上单位：厘米)．那么可以拼成的不同的三角形的种数为_____．7.小明家与学校相距2千米，与少年宫相距3千米，那么学校与少年宫相距一定是5千米吗？请说明理由．8.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是()A.24B.24或8C.48D.89.(2009•滨州)已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是()．10.下列各组线段中，能组成三角形的是()A.a=2，b=3，c=8B.a=7，b=6，c=13C.a=4，b=5，c=6D.a=，b=，c=。
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八年级数学重要知识点整理：三角形的三边
关系
三角形的三边关系：
在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
设三角形三边为a,b,c
则
a+b>c
a+c>b
b+c>a
a-b<c
a-c<b
b-c<a
在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
则两直角边的平方和等于斜边平方。
在等边三角形中，a=b=c
在等腰三角形中，a,b为两腰，则a=b
在三角形ABc的内角A、B、c所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2-2abcosc
三角形的三边关系定理及推论：
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；
②当已知两边时，可确定第三边的范围；
③证明线段不等关系。
典型例题
为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16，PB=12，那么AB间的距离不可能是
A.5
B.15
c.20
D.28
答案：D
解析:首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA-PB＜AB＜PA+PB，即4＜AB＜28．
故选D．
若2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．有两根5c、9c的木棒，要以这两根木棒做一个三角形，可选第三根木棒的长为
A.4c
c.14c
D.19c
以长为13c、10c、5c、7c的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是_____个．
△ABc中，AB=Ac，且知两边长分别为3c和8c，则它的周长是_____．
已知线段AB=2，Ac=5，则线段Bc的长x的取值范围是
A.x＜7
B.3＜x＜7
c.3≤x≤7
D.x＞3
现有8根木棍，它们的长分别是1，2，3，4，5，6，7，8，若从8根木棍中抽取3根拼三角形，要求三角形的最长边为8，另两边之差大于2．那么可以拼成的不同的三角形的种数为_____．
小明家与学校相距2千米，与少年宫相距3千米，那么学校与少年宫相距一定是5千米吗？请说明理由．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是
A.24
B.24或8
D.8
已知等腰△ABc的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．
0.下列各组线段中，能组成三角形的是
A.a=2，b=3，c=8
B.a=7，b=6，c=13
c.a=4，b=5，c=6
D.a=
b=
c=。