弧度制课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
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课堂精炼
【训练 3】 已知扇形 AOB 的周长为 10 cm. (1)若这个扇形的面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
解 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)， 弧长为 l，半径为 r，面积为 S，
l＋2r＝10，① (1)依题意有12lr＝4，② ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r＝1 或 r＝4.
5.1.2弧度制
题型二 用弧度制表示角的集合
数学
8
知识梳理
弧度数 (1)正角：正角的弧度数是一个正数. (2)负角：负角的弧度数是一个负数. (3)零角：零角的弧度数是 0. (4)如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α 的 弧度数的绝对值是|α|＝rl.
9
课堂精讲
【例 2】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负 半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图). 解 (1)以 OA 为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)， 以 OB 为终边的角为－23π＋2kπ(k∈Z)， 所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为 α|－23π＋2kπ<α<π6＋2kπ，k∈Z. (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是 α|23π＋2kπ<α<76π＋2kπ，k∈Z.
–1
2
S＝5r－r2
课堂小结
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学 运算素养. 2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公 式、面积公式解决有关计算问题.
21
本内容结束
22
13
先按 x2 项的系 数a的符号分类， 即a>0, a=0, a<0. 再按方程 ax2+bx+c=0的根 x1, x2的大小来分 类， 即x1<x2, x1=x2, x1>x2.
5.1.2弧度制
题型三 弧长公式与面积公式的应用
数学
14
知识梳理
扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角.
解
(1)2
010°＝2
π 010×180
＝676π＝5×2π＋76π，
又 π<76π<32π，
∴α 与76π终边相同，是第三象限角.
12
先按 x2 项的系 数a的符号分类， 即a>0, a=0, a<0. 再按方程 ax2+bx+c=0的根 x1, x2的大小来分 类， 即x1<x2, x1=x2, x1>x2.
解 OO1＝OA－O1C＝300－O1C， 又 O1C＝O1O·sin π6， 故 O1C＝(300－O1C)×12， 解得 O1C＝100 m.
这时⊙O1 的面积为 π×1002＝10 000 π(m2).
17
课堂精讲
扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法 首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积 公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图 形中研究的角，其范围是(0，2π)； 其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意： (1)看清角的度量制，选用相应的公式； (2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通 常转化为某个函数的最值问题.
5
充分利用 180°＝π rad，
1°＝1π80 rad， 1 rad＝1π80° 进行换算.
课堂精讲
角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad＝1π80°进行换 算. (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
4
课堂精讲
【例 1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－800°；(3)71π2 ； (4)－54π. 解 (1)20°＝20×1π80＝π9； (2)－800°＝－800×1π80＝－490π； (3)71π2＝71π2×1π80°＝105°； (4)－54π＝－45π×1π80°＝－144°.
度量单位类别 α 为角度制 α 为弧度制
扇形的弧长 l＝α1π8R0
l＝α·R
扇形的面积 S＝α3π6R02 S＝12l·R＝12α·R2
15
课堂精讲
【例 3】 如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形， 某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知 ∠AOB＝60°，A︵B的长度为 100π m.怎样设计能使广场的 占地面积最大？其值是多少？ 解 如图所示，∵∠AOB＝60°＝π3，A︵B的长度为 100π m， ∴OA＝10π0π＝300(m).
课堂精炼
【训练 2】 已知角 α＝2 010°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角. 解 (2)与 α 终边相同的角可以写成 γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ<0， ∴当 k＝－3 时，γ＝－269π； 当 k＝－2 时，γ＝－167π； 当 k＝－1 时，γ＝－56π.
3 根据题意可知，当⊙O1 是扇形 AOB 内切圆时， 广场的占地面积最大， 设⊙O1 与 OA 切于 C 点.连接 O1O，O1C.
则∠O1OC＝30°＝π6，
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课堂精讲
【例 3】 如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形， 某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知 ∠AOB＝60°，A︵B的长度为 100π m.怎样设计能使广场的 占地面积最大？其值是多少？
3
知识梳理
2.角度制与弧度制的换算 牢记 180°＝π rad， 1 rad＝1π80 °
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2πrad
2π rad＝360°
180°＝πrad
π rad＝180°
1°＝1π80rad≈0.017 45 rad 1 rad＝1π80°≈57.30°
度数×1π80＝弧度数 弧度数×1π80°＝度数
10
课堂精讲
根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形. (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围内的角. (4)按逆时针方向书写.
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课堂精炼
【训练 2】 已知角 α＝2 010°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第几象限角；
6
课堂精讲
【训练 1】 (1)把 112°30′化成弧度； (2)把－51π2化成度. 解 (1)112°30′＝2225°＝2225×1π80＝58π. (2)－51π2＝－51π2×1π80°＝－75°.
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充分利用 180°＝π rad，
1°＝1π80 rad， 1 rad＝1π80° 进行换算.
当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝21 rad.
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A
B
O
课堂精炼
【训练 3】 已知扇形 AOB 的周长为 10 cm. (1)若这个扇形的面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
5.1.2弧度制
数学Hale Waihona Puke 15.1.2弧度制
题型一 角度与弧度的互化及应用
数学
2
知识梳理
1.度量角的两种单位制
角度制 弧度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1 度的角 定义
周角的3610为 1 度的角，记作 1° 以弧度为单位来度量角的单位制
1 弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角.1 弧度记作 1 rad
解 (2)由 l＋2r＝10 得 l＝10－2r， S＝12lr＝21(10－2r)·r ＝5r－r2
＝－r－522＋245(0<r<5). 当 r＝52时，S 取得最大值245， 这时 l＝10－2×25＝5， ∴θ＝5r＝55＝2 rad.
2
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S
25 7 46
5 4 3 2 1
–10 1 2 5 3 4 5 6 r
课堂精炼
【训练 3】 已知扇形 AOB 的周长为 10 cm. (1)若这个扇形的面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
解 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)， 弧长为 l，半径为 r，面积为 S，
l＋2r＝10，① (1)依题意有12lr＝4，② ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r＝1 或 r＝4.
5.1.2弧度制
题型二 用弧度制表示角的集合
数学
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知识梳理
弧度数 (1)正角：正角的弧度数是一个正数. (2)负角：负角的弧度数是一个负数. (3)零角：零角的弧度数是 0. (4)如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α 的 弧度数的绝对值是|α|＝rl.
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课堂精讲
【例 2】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负 半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图). 解 (1)以 OA 为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)， 以 OB 为终边的角为－23π＋2kπ(k∈Z)， 所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为 α|－23π＋2kπ<α<π6＋2kπ，k∈Z. (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是 α|23π＋2kπ<α<76π＋2kπ，k∈Z.
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2
S＝5r－r2
课堂小结
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学 运算素养. 2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公 式、面积公式解决有关计算问题.
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本内容结束
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13
先按 x2 项的系 数a的符号分类， 即a>0, a=0, a<0. 再按方程 ax2+bx+c=0的根 x1, x2的大小来分 类， 即x1<x2, x1=x2, x1>x2.
5.1.2弧度制
题型三 弧长公式与面积公式的应用
数学
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知识梳理
扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角.
解
(1)2
010°＝2
π 010×180
＝676π＝5×2π＋76π，
又 π<76π<32π，
∴α 与76π终边相同，是第三象限角.
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先按 x2 项的系 数a的符号分类， 即a>0, a=0, a<0. 再按方程 ax2+bx+c=0的根 x1, x2的大小来分 类， 即x1<x2, x1=x2, x1>x2.
解 OO1＝OA－O1C＝300－O1C， 又 O1C＝O1O·sin π6， 故 O1C＝(300－O1C)×12， 解得 O1C＝100 m.
这时⊙O1 的面积为 π×1002＝10 000 π(m2).
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课堂精讲
扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法 首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积 公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图 形中研究的角，其范围是(0，2π)； 其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意： (1)看清角的度量制，选用相应的公式； (2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通 常转化为某个函数的最值问题.
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充分利用 180°＝π rad，
1°＝1π80 rad， 1 rad＝1π80° 进行换算.
课堂精讲
角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad＝1π80°进行换 算. (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
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课堂精讲
【例 1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－800°；(3)71π2 ； (4)－54π. 解 (1)20°＝20×1π80＝π9； (2)－800°＝－800×1π80＝－490π； (3)71π2＝71π2×1π80°＝105°； (4)－54π＝－45π×1π80°＝－144°.
度量单位类别 α 为角度制 α 为弧度制
扇形的弧长 l＝α1π8R0
l＝α·R
扇形的面积 S＝α3π6R02 S＝12l·R＝12α·R2
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课堂精讲
【例 3】 如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形， 某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知 ∠AOB＝60°，A︵B的长度为 100π m.怎样设计能使广场的 占地面积最大？其值是多少？ 解 如图所示，∵∠AOB＝60°＝π3，A︵B的长度为 100π m， ∴OA＝10π0π＝300(m).
课堂精炼
【训练 2】 已知角 α＝2 010°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角. 解 (2)与 α 终边相同的角可以写成 γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ<0， ∴当 k＝－3 时，γ＝－269π； 当 k＝－2 时，γ＝－167π； 当 k＝－1 时，γ＝－56π.
3 根据题意可知，当⊙O1 是扇形 AOB 内切圆时， 广场的占地面积最大， 设⊙O1 与 OA 切于 C 点.连接 O1O，O1C.
则∠O1OC＝30°＝π6，
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课堂精讲
【例 3】 如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形， 某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知 ∠AOB＝60°，A︵B的长度为 100π m.怎样设计能使广场的 占地面积最大？其值是多少？
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知识梳理
2.角度制与弧度制的换算 牢记 180°＝π rad， 1 rad＝1π80 °
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2πrad
2π rad＝360°
180°＝πrad
π rad＝180°
1°＝1π80rad≈0.017 45 rad 1 rad＝1π80°≈57.30°
度数×1π80＝弧度数 弧度数×1π80°＝度数
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课堂精讲
根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形. (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围内的角. (4)按逆时针方向书写.
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课堂精炼
【训练 2】 已知角 α＝2 010°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第几象限角；
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课堂精讲
【训练 1】 (1)把 112°30′化成弧度； (2)把－51π2化成度. 解 (1)112°30′＝2225°＝2225×1π80＝58π. (2)－51π2＝－51π2×1π80°＝－75°.
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充分利用 180°＝π rad，
1°＝1π80 rad， 1 rad＝1π80° 进行换算.
当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝21 rad.
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A
B
O
课堂精炼
【训练 3】 已知扇形 AOB 的周长为 10 cm. (1)若这个扇形的面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
5.1.2弧度制
数学Hale Waihona Puke 15.1.2弧度制
题型一 角度与弧度的互化及应用
数学
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知识梳理
1.度量角的两种单位制
角度制 弧度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1 度的角 定义
周角的3610为 1 度的角，记作 1° 以弧度为单位来度量角的单位制
1 弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角.1 弧度记作 1 rad
解 (2)由 l＋2r＝10 得 l＝10－2r， S＝12lr＝21(10－2r)·r ＝5r－r2
＝－r－522＋245(0<r<5). 当 r＝52时，S 取得最大值245， 这时 l＝10－2×25＝5， ∴θ＝5r＝55＝2 rad.
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