新编：人教版八年级上册数学第十一章《三角形》小结与复习
初二上册第11章三角形总结
初二上册第11章三角形知识点总结归纳一、三角形的基本概念与性质三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形。
这三条线段分别称为三角形的三边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角。
三角形的分类：按角的大小分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
按边的长短分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）。
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
举例：若三角形的三边分别为a、b、c，则必须满足a + b > c, a + c > b, b + c > a，以及|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。
三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180°。
举例：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在其三边长度确定后就不会改变。
举例：建筑中的钢架结构、桥梁的支撑结构等常利用三角形的稳定性。
二、等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
举例：在等腰△ABC中，若AB = AC，则∠B = ∠C，且AD（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）重合。
等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
举例：若△ABC中，AB = AC或∠B = ∠C，则△ABC是等腰三角形。
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都为60°。
等边三角形的三条边都相等。
等边三角形的每条边上的中线、高线和对角的平分线三线合一。
举例：在等边△ABC中，AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°，且AD、BE、CF三线合一。
人教版八年级数学上册第11章知识总结与复习题11解析答案
例3如图，AB∥DE，∠ABC=120°，∠CDE=130°.求∠C的度数.
分析：本题有多种解法：①过点C作CF∥AB，利用平行线的性质解答；②过点D作DF∥BC，利用平行线的性质解答；③延长ED交CB于点F，构建△CDF利用三角形内角和定理的推论进行解答；④分别延长AB，CD，两延长线交于点F，构建△CDF利用三角形内角和定理的推论进行解答。
个三角形，九边形的内角和等于个三角形的内角和。
2.如果四边形的两个对角互补，那么另两个对角。
4.求出下列各图中的x值。
5.如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD。
(1)判断AC与BC的大小；
(2)若∠ADB=72°，∠C∶∠DBC=2∶1，求∠C的度数。
6.如图所示，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P。请你分析∠P与∠A的关系.
第十一章 《三角形》小结与复习
备课人： 备课日期： 年 月 日
课题
《三角形》小结与复习
课型
新授课
教学目标
知识与技能
1.掌握三角形的概念、分类，三边关系及三角形的高、中线与角平分线等概念；
2.掌握三角形内角和定理及推论；
3.掌握多边形的概念及内角和、外角和公式；
4.熟练掌握三角形的有关概念、定理、公式的应用，提高推理能力。
②这个多边形的每个外角都等于180°-108°=72°，根据多边形的外角和公式，得 72n=360，解得n=5。
【指点迷津】运用多边形的内角和、外角和公式有两种方法：直接运用与根据公式列方程求解。一般地，求多边形的边数，可根据多边形的内角和公式或外角和公式列方程求解。
四、巩固提升
1.从九边形的一个顶点出发，可以作条对角线，把九边形分成
第11章 三角形复习与小结-八年级数学上册(人教版)
课堂检测
人教版数学八年级上册
1、已知△ABC中，∠B=2（∠A+∠C），则∠B的度数是（ C ）
A.90°
B.100°
C.120° D.135°
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠B=2（∠A+∠C）， ∴∠A+2（∠A+∠C）+∠C=180°，即：3（∠A+∠C）=180°. ∴∠A+∠C=60°，则∠B=120°.
解：设∠1=x,根据题意得
A
∠2=x.因为∠3=∠1+ ∠2， ∠4=∠2，
)
所以∠3=2x, ∠4=x，
1
又因为∠3=∠C，所以∠C=2x. 在△ABC中，根据三角形内角和定理， 得x+2x+2x=180 °, 解得x=36°,
2 4 B
D 3
C
所以∠1=36 °.
拓展训练
人教版数学八年级上册
4.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
解：当底边为8cm，腰为3cm时，
∵3+3<8，
∴不能构成三角形；
当底边为3cm，腰为8cm时，
∵3+8>8，
∴能构成三角形.
周长为3+8+8=19（cm）.
拓展训练
人教版数学八年级上册
2.已知a，b，c是△ABC的三条边，化简∣a+b-c∣+∣a-b-c∣的
结果为（ B ）
A.2a+2b-2c
B.2b
C.2c
D.0
解：∵a，b，c为△ABC的三条边， ∴a+b>c，c-a<b，即a+b-c>0，a-b-c<0. ∴∣a+b-c∣+∣c-a-b∣=（a+b-c）+（-a+b+c） =2b.
数学人教版八年级上册第11章三角形小结与(教案)
在本次教学活动中，我尝试了多种教学方法和策略，以帮助学生更好地理解和掌握三角形全等与相似的相关知识。回顾整个教学过程，我认为有几个方面值得反思和改进。
首先，关于导入新课环节，我意识到通过提出与生活相关的问题，能够激发学生的兴趣和好奇心。在今后的教学中，我应继续关注学生的生活经验，将更多实际案例融入课堂，使抽象的数学知识变得具体、生动。
其次，在新课讲授环节，我发现部分学生对全等三角形与相似三角形的判定方法掌握不够牢固。在今后的教学中，我需要更加关注这些学生的需求，通过增加典型例题和变式练习，帮助他们巩固知识点。
在实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果较好，大家都能积极参与其中。但我也注意到，部分小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象。为了提高讨论效果，我应在活动前给出明确的讨论要求和指导，确保学生的讨论更加高效。
2.提高学生的空间想象能力：通过分析三角形的几何特征，让学生在脑海中形成清晰的几何图形，提高空间想象力和图形感知能力。
3.培养学生的数据分析能力：在解决三角形相关问题时，学会运用数据分析和计算，培养数形结合的解题思维。
4.增强学生的应用意识：将三角形知识与实际生活中的问题相结合，让学生感受数学在现实生活中的应用，提高解决实际问题的能力。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸片制作全等或相似三角形，并观察其性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形全等与相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
此外，在学生小组讨论环节，我尝试扮演引导者的角色，鼓励学生提出自己的观点和想法。然而，我也发现部分学生在讨论中过于依赖同伴，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在后续教学中加强引导，培养学生独立思考和解决问题的能力。
初二数学八上第十一章三角形知识点总结复习和常考题型练习题
第十一章 三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边.任意两边的差小于第三边.注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线.顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的三条高是线段；②画三角形的高时.只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线.连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．4.中线：在三角形中.连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 注意：①三角形有三条中线.且它们相交三角形内部一点.交点叫重心．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交.这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的角平分线是一条线段.而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点.这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同.可以用量角器画.也可通过尺规作图来画．6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的.三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段.叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内.各个角都相等.各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖.叫做用 多边形覆盖平面.13.公式与性质：⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.过三角形的一个顶点有两个外角.这两个角为对顶角〔相等.可见一个三角形共有六个外角．⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线.把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例题精选1.<2015·XX中考>以下列各组线段为边.能组成三角形的是< >A.1 cm.2 cm.4 cmB.4 cm.6 cm.8 cmC.5 cm.6 cm.12 cmD.2 cm.3 cm.5 cm2.<2015·XX中考>如图.AB∥CD.直线EF交AB于点E.交CD于点F.EG平分∠BEF.交CD于点G.∠1=50°.则∠2等于< >A.50°B.60°C.65°D.90°3.<2015·来宾中考>如图.在△ABC中.已知∠A=80°.∠B=60°.DE∥BC.那么∠CED的大小是< >A.40°B.60°C.120°D.140°4.<2015·XX中考>正多边形的一个外角等于30°.则这个多边形的内角和为< >A.720B.1260C.1800D.23405.<2015·来宾中考>如果一个多边形的内角和是其外角和的一半.那么这个多边形是< >A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.<2015·XX中考>若一个多边形内角和等于1260°.则该多边形有条对角线.2．下列说法错误的是< >．A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B．钝角三角形有两条高线在三角形外部C．直角三角形只有一条高线D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线3．如果多边形的内角和是外角和的k倍.那么这个多边形的边数是< >．A．k B．2k＋1C．2k＋2 D．2k－24．四边形没有稳定性.当四边形形状改变时.发生变化的是< >．A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形的某些角的大小D．四边形的内角和5．如图.在△ABC中.D.E分别为BC上两点.且BD＝DE＝EC.则图中面积相等的三角形有< >对．A．4 B．5C．6 D．76．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C.②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3.③∠A＝90°－∠B.④∠A＝∠B－∠C中.能确定△ABC是直角三角形的条件有<>．A．1个B．2个C．3个 D．4个7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角.那么这个三角形为< >．A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．以上都不对8．如图.把△ABC纸片沿DE折叠.当点A落在四边形BCDE内部时.∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律.你发现的规律是<>．A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2D．3∠A＝2<∠1＋∠2>9．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边.那么这两个角之间的关系是< >．A．相等 B．互补C．相等或互补 D．互余10．如图.生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架.这是因为三角形具有_____________．11．已知a.b.c是三角形的三边长.化简：|a－b＋c|－|a－b－c|＝__________.12．等腰三角形的周长为20 cm.一边长为6 cm.则底边长为__________．13．如图.∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角.若∠A＝70°.则∠ABD＋∠ACE ＝__________.14．四边形ABCD的外角之比为1∶2∶3∶4.那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝__________.15．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍.那么这个多边形是__________边形．16．如图.∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________.17．如图.点D.B.C在同一直线上.∠A＝60°.∠C＝50°.∠D＝25°.则∠1＝__________.18．如图.小亮从A点出发.沿直线前进10米后向左转30°.再沿直线前进10米.又向左转30°.……照这样走下去.他第一次回到出发地A点时.一共走了__________米．19．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13.这个正多边形是几边形？20．如图所示.直线AD和BC相交于点O.AB∥CD.∠AOC＝95°.∠B＝50°.求∠A和∠D.21．如图.经测量.B处在A处的南偏西57°的方向.C处在A处的南偏东15°方向.C处在B处的北偏东82°方向.求∠C的度数．22．如图所示.分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪<图中阴影部分>．<1>图①中草坪的面积为__________；<2>图②中草坪的面积为__________；<3>图③中草坪的面积为__________；<4>如果多边形的边数为n.其余条件不变.那么.你认为草坪的面积为__________．7．如图.AD是△ABC的中线.CE是△ACD的中线.DF是△CDE的中线.若S△DEF 等于<>＝2.则S△ABCA．16 B．14 C．12 D．109．如图.四边形ABCD中.点M.N分别在AB.BC上.将△BMN沿MN翻折.得△FMN.若MF∥AD.FN∥DC.则∠D的度数为<>A．115°B．105°C．95°D．85°10．如图.∠1.∠2.∠3.∠4恒满足的关系是<>A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠314．若一个三角形的两边长是4和9.且周长是偶数.则第三边长为________．24．<1>如图.一个直角三角板XYZ放置在△ABC上.恰好三角板XYZ的两条直角边XY.XZ分别经过点 B.C.△ABC中.若∠A＝30°.则∠ABC＋∠ACB＝__________.∠XBC＋∠XCB＝__________；<2>若改变直角三角板XYZ的位置.但三角板XYZ的两条直角边XY.XZ仍然分别经过B.C.那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变化.请求出∠ABX＋∠ACX的大小．25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．<1>如图①.若AB∥CD.点P在AB.CD外部.则有∠B＝∠BOD.又因为∠BOD是△POD的外角.故∠BOD＝∠BPD＋∠D.得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB.CD内部.如图②.以上结论是否成立？若成立.说明理由；若不成立.则∠BPD.∠B.∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；<2>在如图②中.将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q.如图③.则∠BPD.∠B.∠D.∠BQD之间有何数量关系？<不需证明>；<3>根据<2>的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．。
八年级上册数学第十一章三角形知识点总结
八年级上册数学第十一章三角形知识点总结一、与三角形有关的线段1. 三角形的概念- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三条边、三个内角和三个顶点。
2. 三角形的分类- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角为直角的三角形。
直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形中，三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形。
3. 三角形的三边关系- 三角形两边之和大于第三边，即a + b>c，a + c>b，b + c>a。
- 三角形两边之差小于第三边，即| a - b|<c，| a - c|<b，| b - c|<a。
- 判断三条线段能否组成三角形，只需判断较短两条线段之和是否大于最长的线段。
4. 三角形的高、中线与角平分线- 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形有三条高，锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高即两条直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
- 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。
三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两个部分。
- 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点。
二、与三角形有关的角1. 三角形的内角- 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
人教版数学八年级上册第十一章复习小结：三角形
第十一章三角形复习小结教学目标：1、回忆本章知识，形本钱章知识构造.2、总结本章解题规律，进展跟踪训练.重点：归纳本章知识构造，进展跟踪训练.难点：总结本章解题规律.教学过程：一、回忆本章知识，形本钱章知识构造二、双基训练：⒈在活动课上，小红有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，那么小红应取的第三根小木棒的长应为8 cm．⒉⊿ABC中，假设∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,那么△ABC是直角三角形.⒊三角形中至少有一个角不小于60 °；没有对角线的多边形是三角形；一个多边形中，锐角最多有三个；一个四边形截去一个角后可以得到的多边形是三角形或四边形或五边形.⒋一个多边形的每个外角都是30°，那么它是十二边形，其内角和是1800°.⒌一个多边形的每个内角都相等，且比它的一个外角大100°，那么边数n＝9 .⒍如图⑴，在直角△ABD中，∠D＝90°，C为BD上一点，那么x可能是〔B〕A、10B、20C、30D、40⒎如图⑵有两个正方形和一个等边三角形，那么图中度数为30°的角有〔D〕A、1个B、2个C、3个D、4个⒏一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为〔B〕A、正三边形B、正四边形C、正五边形D、正六边形三、例题解析：例1．等腰三角形一腰上的中线将周长分为6和15两局部，求此三角形的腰长. 解：如图等腰△ABC中，AB＝AC,BD是腰AC上的中线，x设AB＝AC＝x ,BC＝y 那么AD＝DC＝2①当AB＋AD＝6 , BC＋CD＝15时,即：x ＋2x ＝6，y ＋2x ＝15 解得x ＝4， y ＝13 ∵4＋4＜13∴此时不能组成三角形，故x ＝4， y ＝13不合题意，舍去.②当AB ＋AD ＝15 , BC ＋CD ＝6时,即：x ＋2x ＝15，y ＋2x ＝6 解得x ＝10， y ＝1∵10＋1＞10∴10、10、1能构成三角形.∴此三角形的腰长为10.例2.如图⑶一个四边形ABCD 模板，设计要求AD 与BC 的夹角应为30°，CD与BA 的夹角应为20°.现在已测得∠A ＝80°，∠B ＝70°，∠C ＝90°,请问：这块模板是否合格？并说明理由.解：这块模板合格.理由：延长AD 、BC 相交于点E,延长BA 、CD 相交于点F在△ABE 中∵∠EAB ＝80°，∠B ＝70°∴∠E ＝180°―∠EAB―∠B ＝30°在△CFB 中∵∠FCB ＝90°，∠B ＝70°∴∠F ＝180°―∠FCB―∠B ＝20°∴这块模板合格.例3. ⊿ABC 中，⑴如图⑷，∠DBC 和∠ECB 的角平分线相交于点O ；⑵如图⑸，∠ABC 的角平分线BD 和∠ACE 的角平分线相交于点O ；如图⑹，∠CBD 的角平分线BO 和∠BCE 的角平分线CO 相交于点0,试猜测∠A 与∠D 的关系，并选择其中一个进展证明.提示：⑴∠BOC ＝180°－〔∠2＋∠3〕＝180°－〔∠1＋∠4〕＝180°－〔∠5＋∠6＋∠7＋∠8〕＝180°－〔∠BAC ＋∠BOC 〕＝90°－2BAC ∠ ⑵∠A ＝322∠-∠＝2O ∠⑶∠BOC ＝180°－2ABC ACB ∠+∠ ＝180°－1802A -∠＝90°＋2A ∠．三、稳固练习： 1.有四条线段，长度分别是12cm,10cm,8cm,4cm,选其中的三条组成三角形，那么可组成 3 个不同的三角形.2.如果等腰三角形的两边长为5cm 和9cm ，那么三角形周长为19cm 或23cm .3.△ABC 中，假设∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶7,那么△ABC 是 直角 三角形.4.一个n 边形的每个内角都相等，且比它的一个外角大60°，那么边数n ＝ 6 .5..三角形最长边等于10，另两条边的长分别为x 和4，周长为C ，那么x 和C 的取值范围分别是 6＜x≤10 ，20＜C≤246.如图⑺，AB ∥CE, ∠C ＝37°，∠A ＝114°，那么∠F 的度数为 77°.7.如图⑻所示,△ABC 中AB ＝AC ，请你添加一个条件．．．．AD 平分∠EAC 〔不唯一〕，使得AD ∥BC.8.如图⑼，D 、E 是边AC 的三等分点假设△ABC 的面积为12㎝2，那么△BDC 的面积是8 ㎝2.9.如图⑽，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是300°.10.一个多边形的内角和是1980°，那么它的边数是_13 _，它的外角和是360 ° ，共有__65__条对角线.11.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的15，那么这个多边形是〔 D 〕A 、五边形B 、八边形C 、九边形D 、十二边形12.以下说法不正确的选项是〔 D 〕A 、任意形状的一些三角形可镶嵌地面B、用形状大小完全一样的六边形可镶嵌地面C、用形状大小完全一样的任意四边形可镶嵌地面D、用任意一种多边形可镶嵌地面13.用两个正三角形与下面的假设干个〔B〕可以进展平面镶嵌.A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形14.如图⑾，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，那么∠A、∠1、∠2之间的关系是〔B〕A、∠A＝∠1－∠2B、2∠A＝∠1－∠2C、3∠A＝2∠1－∠2D、3∠A＝2〔∠2－∠1〕15.如图⑿,∠1＋∠2＝180°，DG∥AC，求证：∠A＝∠DFE.证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°∴∠2＝∠DFE∴AB∥EF∴∠A＝∠3又∵DG∥AC∴∠3＝∠DFE ∴∠A＝∠DFE.16.如图⒀, △ABC中，点D在AC上，且∠ABC＝∠C＝∠BDC, ∠ABD＝∠A,求∠A的度数.解：设∠ABD＝∠A＝x°∵∠BDC＝∠ABD＋∠A∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°∴x°＋2x°＋2x°＝180°∴x＝36，∴∠A＝36°17.如图⒁,D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E,∠A＝35°,∠D＝42°,求∠ACD的度数.解：∵DF⊥AB∴∠AFE＝90°又∵∠CEF ＝∠AFE ＋∠A,∠CEF ＝∠ECD ＋∠D∴∠AFE ＋∠A ＝∠ECD ＋∠D又∵∠A ＝35°,∠D ＝42°∴90°＋35°＝∠ECD ＋42°∴∠ECD ＝83°,即∠ACD ＝83°.18.如图⒂,△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，AB ＝10cm,BC ＝8cm,AC ＝6cm.⑴求CD 的长；⑵求△ABE 的面积.解：⑴∵S △ABC ＝12(AC×BC)＝12(AB×CD) ∴12(6×8)＝12(10×CD) ∴CD ＝ 4.8(cm) .⑵∵BE 是AC 边上的中线∴S △ABE ＝12S △ABC ＝12 (682)＝12(cm 2). 19.如图⒂,∠xoy ＝90°,点A 、B 分别在射线ox,oy 上移动，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠C 的大小是否随点A 、B 的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C 的大小，如果随点A 、B 的移动而发生变化，请求出变化范围.解：∠C 的大小保持不变.∵BE 是∠ABy 的平分线∴∠3＝∠2＝12∠ABy 又∵AC 平分∠OAB∴∠1＝12∠OAB ∴∠C ＝∠3－∠1＝12∠ABy －12∠OAB ＝12 (∠ABy －∠OAB)＝12∠xoy 又∵∠xoy ＝90°∴∠C ＝45°.。
八年级数学上册 第十一章 三角形小结与复习 (新版)新
三角形【学习目标】1．让学生进一步理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念．2．让学生进一步掌握三角形的三边间的关系．3．让学生学会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度．【学习重点】熟练掌握三角形的三条重要线段．【学习难点】会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度．行为提示：知识结构图可让学生自主完成．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题知识结构图：自学互研生成能力知识模块根据具体问题中的数量关系列出方程(一)自主学习1．如图，三角形的个数是( B)A．4 B．5 C．6 D．72．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( B)A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm3．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是( C)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定4．下面各角能成为某多边形的内角和的是( C)A．430°B．4343°C．4320°D．4360°5．如图，一个任意的五角星，它的五个角的和为( C)A．50°B．100°C．180°D．200°第5题图第6题图6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是( D)A．110°B．108°C．105°D．100°方法指导：用多种方法进行解答，拓展学生思路进一步强化知识．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．(二)合作探究1．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．方法一：延长CD交AB于点F.∵∠1＝∠D＋∠E，∠2＝∠B＋∠C，∠1＋∠2＋∠A＝180°∴∠D＋∠E＋∠B＋∠C＋∠A＝180°方法二：连接AC.在△DOE和△AOC中，∵∠DOE＝∠AOC，∴∠D＋∠E＝∠OAC＋∠OCA.又∠BAC＝∠BAE＋∠OAC，∠BCA＝∠BCO＋∠OCA，而∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°，∴∠B＋∠BAE＋∠OAC＋∠BCO＋∠OCA＝180°.即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.2．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AB ＝13cm ，BC ＝12cm ，AC ＝5cm ，求(1)△ABC 的面积；(2)CD 的长；(3)若AE 是BC 边上的中线，求△ABE 是面积．解：(1)S △ABC ＝12×BC ×AC ＝12×12×5＝30cm 2，∴△ABC 面积为30cm 2；(2)S △ABC ＝12×AB ×CD ＝12×13×CD ＝30.∴CD＝6013cm .∴CD 的长为6013cm ；(3)∵AE 是BC 边上的中线，BC ＝12cm ，∴BE ＝12BC ＝6cm .∵∠ACB ＝90°，AC ＝5cm ，∴S △ABE ＝12×AC ×BE ＝12×5×6＝15cm 2.∴△ABE 的面积为15cm 2.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 根据具体问题中的数量关系列出方程．检测反馈 达成目标1．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝35°，则∠BDC 的度数为( A )A ．80°B ．60°C ．120°D ．45°2．在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越小，∠B 、∠C 越来越大，若∠A 减小α度，∠B 增加β度，∠C 增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是α＝β＋γ．3．AD 和BE 是△ABC 的高，H 是AD 与BE 的交点或它们延长线的交点，若BH ＝AC ，则∠ABC 为( D )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°4．把一副三角板按如图所示的方式放置，则两条斜边所形成的钝角∠α＝165°．5．等腰三角形一个外角等于80°，则这个三角形的内角分别为100°、40°、40°．课后反思查漏补缺1．本节课学到了什么知识？还有什么困惑？2．改进方法。
人教版八年级上册第十一章三角形知识点总结归纳
三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.AB CED7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.A BCD 12（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）BC的中线）（3）已知三角形中线（若AD是（5）其它。
八年级上册数学第十一章 小结与复习
归纳 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三 条线段能否组成三角形，在运用中可以直接检查较小 两边之和是否大于最长边即可. 三角形的三边关系在 求线段的取值范围以及证明线段的不等关系中有着重 要的作用.
↙ 由特殊推广到一般
O
C
B
D
例11 如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G
的度数.
A
解析：所求问题不是常见的求多边 形的内角和问题，但是我们发现，B G 只要连接 CD 便能转化为求五边形
E F
的内角和问题.
C
D
解：连接 CD. 由“8 字型”图可知∠F +∠G =∠FCD
+∠GDC，∴∠A +∠B +∠BCF +∠EDG +∠E +∠F
第十一章 三角形
本章小结与复习
要点梳理
1. 三角形的分类
三边都不相等的三角形
按边分
底边和腰不相等
等腰三角形
的等腰三角形
锐角三角形
等边三角形
按角分 直角三角形
钝角三角形
2. 三角形的三边关系： 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
3. 三角形的高、中线与角平分线
高：过顶点向其对边所在直线引垂线，所得垂线段 为高.三条高或其延长线相交于一点，如图①. 中线：连接顶点与其对边中点所得线段为中线.三条 中线相交于一点（重心），如图②. 角平分线：内角的平分线与其对边相交所得线段为 角平分线.三条角平分线相交于一点，如图③.
最新新编八年级数学上册第十一章三角形知识点总结新版新人教
第十一章 三角形一、知识框架：二、知识清单：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形. 三角形用符号“△”加顶点字母表示，如“△ABC ”（读作“三角形ABC ”）.2.三角形（按边）分类⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形腰与底边不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形 3. 三角形三边关系（定理）：三角形任意两边的和大于第三边；（推论）三角形任意两边的差小于第三边.4.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的连线段叫做三角形的高.（三角形三条高或高所在直线相交于一点，交点称为三角形的垂心） （锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角三角形的直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外）5.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三角形的三条中线交于一点，交点叫三角形的重心）6.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的连线段叫做三角形的角平分线.（三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心）7.三角形的稳定性：三边长度固定的三角形的形状、大小固定不变，这个性质叫三角形的稳定性.（在所有的多边形中，只有三角形具有稳定性）8. 三角形的内角：三角形中，相邻两边组成的角称为三角形的内角，也称为三角形的角. 三角形内角和（定理）：三角形的三个内角和为180°.（推论）：直角三角形的两个锐角互余.9. 三角形的外角：由三角形的一条边和相邻边的延长线组成的角称为三角形的外角. 三角形外角和（定理）：三角形三个外角的和为360°.三角形外角性质（定理）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和.（推论）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.10. 多边形：在平面内，由不在同一条直线上的n 条线段首尾顺次连接组成的图形叫做n 边形.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.11.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形内角和定理：n 边形的内角和为.1802n ︒⨯-）（12.多边形的外角：由多边形的一条边和它的相邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形外角和定理：n 边形的n 个外角的和为360°.13. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.多边形对角线的条数：①.从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把n 边形分成(2)n -个三角形. ②.n 边形共有(3)2n n -条对角线. 14..平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面.也称为平面的密铺.附：百度文库的资料为什么齐全“百度文库”是百度为网友提供的信息存储空间，是供网友在线分享文档的开放平台。
人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形面积或判断三角形类型的情况？”（如房屋建筑中的三角形结构等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形的奥秘。
1.讨论主题：学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-海伦公式的应用：计算不规则图形的面积。
6.三角形的应用
-在生活中的应用：建筑、桥梁、航海等领域。
-在数学中的应用：解析几何、平面几何、立体几何等。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过探究三角形的性质和分类，使学生能够理解和运用几何图形描述现实世界中的问题。
2.强化学生的逻辑推理和数学思维能力，通过证明三角形的相关定理，让学生掌握严谨的数学论证方法，提高分析和解决问题的能力。
人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结
一、教学内容
人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结
数学人教版八年级上册第11章三角形小结与(教案)
羽绒服广告宣传文案羽绒服广告宣传文案在平平淡淡的学习、工作、生活中，越来越多人钟情于在社交平台上发布文案，文案用于分享自己的生活态度和人生感悟。
那么都有哪些类型的文案呢？下面是店铺整理的羽绒服广告宣传文案，欢迎大家分享。
羽绒服广告宣传文案11、雪斯登，彰显男人魅力。
2、席卷冬魅力，成就心感觉。
3、时尚冬天，一步领鲜。
4、雪斯登，男人的标志。
5、雪斯登，当下的强烈。
6、型选雪斯登，魅力暖冬情。
7、男人的选择——雪斯登。
8、雪斯登，不繁亦不凡。
9、一年四季，穿雪斯登。
10、雪斯登，非凡男人装。
11、雪斯登，伴你跨越巅峰。
12、展现冬魅力，成就心感觉。
13、穿出冬魅力，成就心感觉。
14、献给男人的温暖——雪斯登。
15、一年四季——雪斯登。
16、悦（阅）从容，行有我。
17、男人也芬芳——雪斯登。
18、雪斯登，让男人更高。
19、穿雪斯登，做非凡男人。
20、塑造暖男的标志——雪斯登。
21、雪斯登――男人的御衣。
22、雪地里的保暖服——雪斯登。
23、温暖见真情，魅力更有型。
24、雪斯登，男人登峰造极的`伙伴。
25、魅力不可挡，穿出心感觉。
26、魅力服饰，雪斯登专属。
27、雪斯登，英雄的品质。
28、穿了雪斯登，敢上珠穆朗玛峰。
29、雪斯登——最懂男人的衣服。
30、男人冬天更美丽（时尚）——雪斯登。
31、雪斯登，我们是真芯的。
32、雪斯登——温暖冬季，融化严寒。
33、把温暖穿在身上——雪斯登。
34、穿出男人美——雪斯登。
35、这个冬季为男人保暖——雪斯登。
36、身暖了，心也暖了——雪斯登，让男人的冬天不再寂寞。
37、登峰戏雪——雪斯登。
38、要风度，也要温度。
39、穿上雪斯登，才有男人味。
40、雪斯登，男人一生的追求。
41、雪斯登，男人的品味。
42、雪山情怀，天然至爱——雪斯登。
43、雪斯登，冬暖夏凉就靠它。
44、穿上雪斯登，帅出心感觉。
45、雪斯登：你的冬日必需品。
46、雪斯登，敢触暖男的界限。
47、席卷冬之美，成就心感觉。
新人教版八年级上册数学 第11章：三角形 小结与复习
新人教版八年级数学上册第11章：三角形小结与复习（1）【教学目标】把全章的知识点作整理、回顾。
【教学重点】应用全章的知识点解决问题。
【教学难点】熟练应用全章的知识点解决问题。
【教学过程】一、选择题 1．如图图中三角形的个数是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．122．有4根木条长度分别为12cm 、10cm 、8cm 、4cm ，选择其中三根首尾相接，组成三角形，则（ ）选择的种数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．一个三角形三条高（或延长线）的交点恰好是该三角形 的某个顶点，该三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能4.三角形一边上的中线将原三角形分成两个（ ） A ．周长相等的三角形 B ．面积相等的三角形 C ．形状相同的三角形 D ．直角三角形 5．△ABC 中，∠A ＝55°，∠B 比∠C 大25°， 则∠B 的度数为 （ ）A ．125°B ．100°C ．75°D ．50°6.下列度数中，不可能是某多边形的内角和的是（ ） A ．180° B ．400° C ．1080° D ．1800° 7．某人到瓷砖商店去购买一种正多边形的瓷砖，镶嵌无缝地板,他购买的瓷砖形状不可以是（ ） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正六边形 D ．正八边形8.把一个正方形切去一个角后，余下的多边形的内角和（ ） A ．540° B ．360° C ．540°或360°或180°D ．180° 二、填空题9． 等腰三角形的两边长为5和11，则此三角形的周长 为________．10．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=4∶5∶6，则∠C ＝＿＿． 11．n 边形的每个内角是144°，则边数n ＝_____． 12．若一个多边形的内角和是这个多边形外角和的5倍 则这个多边形是____边形. 13．过四边形一个顶点的对角线，把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点的对角线，把五边形分成3个三角形；个案（师）或纠错（生）个案（师）或纠错（生） （第1A B C FD E过六边形的一个顶点的对角线，把六边形分成_____个三角形；……；过n 边形的一个顶点的对角线，把n 边形分成______个三角形． 14．有三条线段，其中两条线段长5和8，第三条线段长为2x -1，如果以这三条线段为边能构成三角形，则x 的取值范围是_____________． 三、解答题15．如图，已知∠CBE =95°，∠A =28°，∠C =30°， 求∠ADE 的度数．16．已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，求这个多边形的边数.17．等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分，求此三角形的底边长．18．如图，AD ，CE 为△ABC 的两条高，已知AD =10，CE =9，AB =12，求B C 的长．19．如图，已知E 是△ABC 内一点，试说明ABCD F E（第15题）ABCED（第18题）∠AEB =∠1+∠2+∠C 成立的原因．20．一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为 1125°；当发现错了之后，重新检查发现少了一个内角，问 这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？21．阅读下面材料:“在三角形中相等的边所对的角相等，简 称等边对等角”．如图1，△ABC 中，如果AB ＝AC ，那么 ∠B =∠C ．试根据材料内容解答下列各题： （1）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°，则∠C ＝_____． （2）如图2，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，且AD =CD =BC ， 求∠A 的度数．22．在△ABC 中，∠A =30°． （1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 分别经过点B ，C ，E A B C 2 1（第19题） C DAB 图2C AB 图1 （第21题）个案（师）或纠错（生）则∠ABC+∠ACB= ，∠XBC ＋∠XCB ＝ °． ∠ABX ＋∠ACX ＝ °（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 仍然分别经过点B ，C ，则∠ABX ＋∠ACX 的大小是否发生变化？若发生变化，举例说明；若不发生变化，求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．（第22题）X YZCAB 图1XYZCAB 图2。
人教版八年级数学上册第11章三角形知识点总结复习
人教版八年级数学上册第11章三角形知识点总结复习第11章三角形知识点总结复习1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的角关系三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
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【例4】如图在Δ ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2,∠3=∠4, ∠BAC=63°,求∠DAC的度数。 ∵∠3=∠1+∠2,∠1=∠2 解： 解法二： 设∠1= ∠2=x, 则∠4=∠3=2x ∴∠3=2∠1=2∠2 ∵∠3=°,∠2+∠4+∠BAC=180° ∠4 ∵∠BAC=63 ∴∠ 3=∠4=2∠1=2∠2 ∴∠2+∠ 4=117 °
∵∠2+∠4+ 即x+2x=117 ° ∠BAC=180°,∠BAC=63° ∴∠2+2∠2+63° =180° ∴x=39 ° ∴∠ 2=39 ∴∠3=∠ 4=78 °° ∴∠3=∠4=78° ∵∠3+∠4+∠DAC=180° ∵∠3+∠4+∠DAC=180° ∴∠DAC=24 ° ∴∠DAC=180° -78°-78° =24°
; 3、等腰三角形一边的长是5 ,另一边的长是8，则它的周长
2cm＜x＜12cm
是 18或21 。 4、若 (a 1)2 b 2 0 ，则以 a , b 为边长的等腰三角形的周长 为 5 。
归纳
等腰三角形的底边长不ห้องสมุดไป่ตู้定时，要分两种情况
讨论，还要注意三边是否构成三角形。
考点二：三角形中的重要线段
直角三角形
钝角三角形
3.三角形的高、中线与角平分线： 高：顶点与对边垂足间的线段；三条高或其延 长线相交于一点。如图① 中线：顶点与对边中点间的线段；三条中线相 交于一点（重心）。如图②
角平分线：顶点与角平分线与对边交点之间
的线段；三条角平分线相交于一点。如图③
图①
图②
图③
4.三角形的内角和与外角：
求∠A,∠B,∠C中未知角的度数。
（1）∠A-∠B=16°,∠C=54°； （2）∠A:∠B:∠C=2:3:4 解：(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=54° ∴∠A+∠B=126° ∵∠A-∠B=16° ∴∠A=71°,∠B=55° (2) 设∠A=2x, 则∠B=3x,∠C=4x 根据三角形内角和为180°，得 2x+3x+4x=180° 解得， x=20° ∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=80°
【例2】 如图，CD为Δ ABC的AB边上的中线，Δ BCD的周长
比Δ ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长。
解：∵CD为Δ ABC的AB边上的中线， ∴AD=BD ∵Δ BCD的周长比Δ ACD的周长大3cm ∴(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3 ∴BC-AC=3 ∵BC=8, ∴AC=5.
8-3<a<8+3 ∴ 5<a<11 ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为7cm或9cm。
针对训练
1、下列条件中能组成三角形的是（ C ）
A、 5cm, 13cm, 7cm C、 14cm, 9cm, 6cm B、 3cm, 5cm, 9cm D、 5cm, 6cm, 11cm
2、三角形的两边为7cm和5cm，则第三边x的范围是
（1）三角形的内角和等于180°； （2）三角形的一个外角等于与它相邻的两个内角 的和； （3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一 个内角。
5.多边形及其内角和：
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封
闭图形叫做多边形。正多边形是各个角相等，各条边
都相等的多边形。
n边形内角和等于（n-2)×180°(n≥3的整数）。
4.如图，①AD是Δ ABC的角平分线，
1 则∠ BAD =∠ CAD = ∠ CAB ，
②AE是Δ ABC的中线，则CE = BE = 1 BC，
2
③AF是Δ ABC的高线，则∠AFB =∠ AFC =90°。
2
考点三：有关三角形内、外角的计算
【例3】∠A,∠B,∠C是Δ ABC的三个内角，且分别满足下列条件，
针对训练
1、如图，AD,AF分别是△ABC的高
和角平线，∠C=76°,
则 ∠DAF=_____ 20 度.
∠B=36°，
A
1 2 E D C
2.如右图，AD是BC边上的高，BE是 △ ABD的角平分线，∠1=40°， ∠2=30°，则∠C= ____,∠BED= 。 B 60° 65°
3.下列四个图形中，线段BE是Δ ABC的高的是（ C ）
人 教 版 八 年 级 数 学 上 册
第十一章 三角形
要点梳理
考点讲练
针对训练
课堂小结
达标测试
学而不思则惘，思而不学则殆。
要点梳理 1.三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2.三角形的分类：
不等边三角形 按边分 等腰三角形
腰和底不等的 等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
按角分
n边形的外角和等于360°。
（n-2）×180° 正多边形的每个内角的度数是： n
° 正多边形的每个外角的度数是： 360 n
考点讲练
考点一：三角形三边的关系
【例1】已知两条线段的长分别是3cm,8cm，要想拼成一个三
角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 解：由 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”， 得
归纳
若题中没有给出任
意角的度数，仅给出数量 关系，常用方程思想设未 知数列方程求角。
针对训练
1、在Δ ABC中，三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B,
则∠B= 60° .
2.如图，在Δ ABC中，CE,BF是两条高，
若∠A=70°，∠BCE°=30,则∠EBF的度
数是 20° ，∠FBC的度数是 40° 。 3.如图，在Δ ABC中，两条角平分线BD 和CE相交于点O，若∠BOC=132°, 那么
程，进而再求得边数。
【例6】如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2， ∠3=∠4.求∠CAD的度数。 解： ∵五边形的内角和是540°
∴每个内角为540°÷5=108° ∴∠E=∠B=∠BAE=108°
又∵∠1=∠2,∠3=4 由三角形内角和定理可知 ∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36° ∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3 =108°-36°-36° =36°
∠A的度数是 84° 。
考点四：多边形的内角和与外角和
1 【例5】已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ， 4 求这个多边形的边数。
解： 设些多边形的外角的度数为x， 则内角的度数为4x 列方程，得 x+4x=180°
解得， x=36° ∴边数n =360°÷36°=10
归纳
在求边数的问题中，常常利用定理列出方