08--复合型断裂准则a@@@
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r 3 0 2 0
得到：
求导
0 2arctg
KI K II
G 0 1 K K K I0 I0 K II0 II0 0 0 4 0 0
由裂纹尖端的K场分布得：
最大能量释放率准则
该准则的基本思想与原始的Griffith断裂 理论是相通的，即裂纹的扩展，将引起 总体势能的释放，与此同时，新裂纹表 面的形成需要能量，当这两部分能量相 等时，裂纹即可以扩展。 复合型的最大能量释放率准则是Griffith 理论的发展，它不再假设裂纹沿原始的 裂纹面方向扩展，而是认为裂纹沿能量 释放率最大的方向0 扩展。
令 c0 为 2 时的临界应力，由 0 0 0 得 C K IC ，则上式变为：
πa
K II a sin cos
C 2 0 C cos 0 sin 1 cos sin 3sin cos 0 0
最大环向应力准则
1963年，Erdogan和 G.C.Sih(薛昌明)根据 中心斜裂纹承受均匀 拉伸的树脂玻璃板的 实验，提出以裂纹尖 端的最大环向应力作 为复合型裂纹扩展的 控制参数。 最大环向应力准则假 设： – 裂纹沿环向应力 取最大值的方向0 扩展； – 当此方向上的环向 应力 达到临界值 时，裂纹启裂。
第六讲· 复合型断裂准则
复合型裂纹ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ扩展
Griffith理论和Irwin理论主要是分析 I 型裂纹的 断裂问题，裂纹扩展沿原裂纹面方向进行，而 在工程实际中，裂纹大多处于复合型变形状态， 裂纹的扩展方向也往往会偏离原来的裂纹面方 向。因此，对于最一般的裂纹情况，就需要解 决以下两个问题： 复合型裂纹在什么条件下发生扩展？ 裂纹的扩展方向如何确定？
对于Ⅰ－Ⅱ复合型裂纹，裂 纹尖端的K场在极坐标系中表 示为：
1 K I 3 cos cos 2 K II 3cos 1 sin 2 2 2 r 1 K I 1 cos 3K II sin cos 2 2 2 r 1 r K I sin K II 3cos 1 cos 2 2 2 r
裂纹启裂的条件是：
2 G 0 GIC K IC 1 2 E
1 2 K IC 8 即最大能量释放率的断裂准则又
表示为：
KI0 KIC
用原裂纹的应力强度因子表 示，上式变为：
可见，利用Nuismer 建议的方法计算能量 释放率G时，最大能 量释放率准则与最大 环向应力准则是完全 一致的。 但利用其它方法计算 G时，这两种准则可 以有所差别。认为支 裂纹不改变应力场的 分布—假设一般讲是 不对的.
z ( ) A 1 ( 1 )1 ( 2 )2
1 1 ，2 1 ， 为偏折角
π π
I、II、III、复合型的分支裂纹扩展能量释放率
o 1 1 2 ( n1) / 2 π( 1) o π o G(0) ( 1 2 ) n ( f 1 KIn f 2 KIIn ) f3 KIIIn 4 n 1,3,5, 4 16
1
这意味着在Nuismer假设下, 由最大能量释放率准则确定 的启裂角与最大环向应力准 则得到的启裂角完全一致。
θθ θ=θ
0
K I0 K , rθ θ=θ II0 0 2 r 2 r
3
K 由于在这个方向上， II0 0 所 以裂纹是沿着纯I型的方向扩 展，对应的能量释放效率为： 1 2 G 0 K I0 8
o
k2 K IC
0.8
0.7 0.6
0.5
0.3
o
k3
o
0
k1
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2.6
1.4 1.0
0.6
o
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
k1 K IC
I、II、III全复合型的临界曲线
应变能密度准则(薛昌明
（G.C.Sih）,1973,简称S准则 )
2
得到在裂纹临界扩展时的应 力强度因子为：
K I C
cos 2 K IC sin
0
K II C
cos
0
1 cos 0 sin 3sin 0 cos 2 2 K IIC sin 1 cos 0 sin 3sin 0 cos 2
最大环向正应力准则实 际上是在以裂纹尖端为 圆心，半径为 r0 的一个 圆周上的最大环向应力 作为裂纹启裂的判据。
开裂角 KⅡ
80 60 40 20 20
KⅡc
40
60
80
90
裂纹角
o
KⅠc
KⅠ
最大环向应力准则的不足
没有区分广义的平面应力和平面应变问 题； 没有考虑其它应力分量的作用； 没有考虑裂尖塑性区的影响 由于该准则形式简单，应用比较方便， 误差不大，因而得到广泛的应用。
与最大环向应力准则 的结果仍然是一致的
1 cos 0 K I 1 cos 0 3K II sin 0 K IC 2 2
全复合型能量释放率断裂准则Hwang-Hua-Yu ,1981,黄-余-华, 1983 Hwang K. C.，Hua D. H. and Yu S. W.，ICF5 Preprints, 1， Cannes, France(1981),123-130 黄克智-余寿文-华达浩,全复合型能量释放率断裂准则固体力学学报,1983 .
特例：纯III型问题：
平面应力 E ' E
'
KIIIC 1 KIC
2
平面应变 E E 1
特例：I型平面应变问题：
1 2 2 G K IC GC E
I-II复合型裂纹断裂准则
(K.Palaniswamy，1972 ) I-III复合型裂纹启裂角0 的判定：
1 I II III K I ij ( ) K II ij ( ) K III ij ( ) 2 r
裂纹的扩展准则表示为：
KI , KII ,0 C 即：
1 K I 1 cos 0 3K II sin 0 cos 0 2 2 2 r
C
r r0
r
为了求得 0，将上式中的第 二式对 求导，并令 0 ， 得：
对于纯I型问题，上述的最大 环向应力准则是与前文的 KI KIC 判断准则完全一致的。
得开裂角0与裂纹方向角 之间的关系 式： sin0 tg + 3cos0 1 0 也可以表示为：
cos 2 1 7 cos 2 cos 0 1 8cos 2
1 3
其中 在 70.5时取最小值， 在 70.5 时取最大值，即裂 纹沿 70.5的方向扩展。代 入裂纹启裂判定公式，得到 裂纹扩展的条件为：
KII 0.87 KIC
于是得到复合型裂纹的起裂 准则表示为：
1 K I 1 cos 0 3K II sin 0 cos 0 K IC 2 2
G
1 2 KI KII2 8
当 a 0时，认为支裂纹不改 变应力场的分布???，即：
1 2 2 KI0 KII0 8
可得：
r r 0 0
G 0
引入极坐标平衡方程后,该方 程有三个根： π
求原裂纹沿分支方向扩展时的能 量释放率(R.J.Nuismer)引入—— 若裂纹沿其延长线方向扩展，能 量释放率表示为： 1 2 1 G0 GI GII KI KII2 E KI2 KII2 8 类似地，沿分支方向扩展时的能 量释放率表示为：
讨论：
cos
K I sin K II 3cos 1 0 2
式中cos 2 0 的解对应于 0 π 。 因此裂纹扩展的方向0 由下式 确定：
KI sin KII 3cos 1 0
具有 r 2奇异性， 上式中由于 因此，需要指定一点如 r 处 的 值作为参考值。当 r0 0 时， ，而根据前面的小 范围屈服理论，在裂纹尖端 必然发生小范围的塑性变形， 使得在裂纹尖端 是有限的。 r0 因此认为 是在塑性区以外 的一个参考点。而实际上， r0 下面将要看到， 实际上并不 影响断裂的判断。
1
c由纯I型情况下的扩展准则
确定。 对于纯I型裂纹，由裂纹扩展 方向判定公式可知 0 0，这 与前面的结论是一致的，在 启裂时 KI KIC。 此时，裂纹 启裂的临界应力为：
1 K IC 2 r C
r r0
对于纯II型裂纹，得：
arccos 70.5
裂纹将沿着产生最大能量释放率 的方向扩展：
I-II复合型裂纹启裂准则：
2 K I2 K II G GC E 确定启裂角 和G 计算的方 0 0
当沿该方向的能量释放率达到 GC 时，该裂纹开始扩展，即：
G 2G 0, 0 2
法：
G 0 GC
假设裂纹沿 0 的方向扩展一个 很小的长度a，除了固定在原裂纹 尖端的坐标系外 o x1 , x2 ，在分支 裂纹尖端建立坐标系 o x1, x2
KI1 , KII2 (n 1) 表示当
r2
时分支裂纹尖端的长度r2趋于零时的应力强度因子。 按最大能量释放率断裂准则，分支裂纹扩展方向 应使 G (0) 为最大值。
按上式计算全复合型的能量释放率，问题归结为求解特征函数 级数的系数的无穷线性代数方程组。
0.3 时的全复合型临界曲线的数值计算结果见图。
I-III复合型裂纹断裂准则
纯I型和纯III裂纹都是沿裂纹 延长线的方向扩展，因此I-III 复合型裂纹必然沿原裂纹面 的方向向前扩展。最大能量 释放率准则表示为：
2 K I2 K III G ' GC 2 E
对I-III复合型裂纹，断裂准则
为：
2 K III 2 K K IC 1 2 I
2a
对于给定的 角，可以得到裂纹扩展时 的临界应力为： 如图所示的无限大板中 含一中心穿透裂纹的问 题，裂纹与单向拉伸方 向的夹角为 。这个问 题的应力强度因子已在 前文给出，为：
K I a sin
2
C
a cos
0
2
π
2KIC sin 1 cos 0 sin 3sin 0 cos
全复合型能量释放率准则
Palaniswamy与Knauss(1976):
G(0)
π( 1) 2 2 ( K I1 K II1 ) 8
目前尚未严格证明
x
y
y
2
1
D
D
r
Z2
L1
o1 o2
x
Z1
1
×
2
以下列映射函数把物理平面z映射到单位圆外域D-， | | 1
考虑裂纹尖端附近六个应力 分量的综合效果，计算出裂 纹尖端附近的应变能密度分 布，并在以裂纹尖端为圆心 的周围上比较局部的应变能 密度，建立起裂纹失稳的断 裂判据。 在一般载荷作用下，裂纹尖 端附近的微元上，六个应力 分量都存在，故有：
ij
应变能密度度因子S： S W r
2 2 a11KI2 2a12 KI KII a22 KII a33 KIII
得到：
求导
0 2arctg
KI K II
G 0 1 K K K I0 I0 K II0 II0 0 0 4 0 0
由裂纹尖端的K场分布得：
最大能量释放率准则
该准则的基本思想与原始的Griffith断裂 理论是相通的，即裂纹的扩展，将引起 总体势能的释放，与此同时，新裂纹表 面的形成需要能量，当这两部分能量相 等时，裂纹即可以扩展。 复合型的最大能量释放率准则是Griffith 理论的发展，它不再假设裂纹沿原始的 裂纹面方向扩展，而是认为裂纹沿能量 释放率最大的方向0 扩展。
令 c0 为 2 时的临界应力，由 0 0 0 得 C K IC ，则上式变为：
πa
K II a sin cos
C 2 0 C cos 0 sin 1 cos sin 3sin cos 0 0
最大环向应力准则
1963年，Erdogan和 G.C.Sih(薛昌明)根据 中心斜裂纹承受均匀 拉伸的树脂玻璃板的 实验，提出以裂纹尖 端的最大环向应力作 为复合型裂纹扩展的 控制参数。 最大环向应力准则假 设： – 裂纹沿环向应力 取最大值的方向0 扩展； – 当此方向上的环向 应力 达到临界值 时，裂纹启裂。
第六讲· 复合型断裂准则
复合型裂纹ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ扩展
Griffith理论和Irwin理论主要是分析 I 型裂纹的 断裂问题，裂纹扩展沿原裂纹面方向进行，而 在工程实际中，裂纹大多处于复合型变形状态， 裂纹的扩展方向也往往会偏离原来的裂纹面方 向。因此，对于最一般的裂纹情况，就需要解 决以下两个问题： 复合型裂纹在什么条件下发生扩展？ 裂纹的扩展方向如何确定？
对于Ⅰ－Ⅱ复合型裂纹，裂 纹尖端的K场在极坐标系中表 示为：
1 K I 3 cos cos 2 K II 3cos 1 sin 2 2 2 r 1 K I 1 cos 3K II sin cos 2 2 2 r 1 r K I sin K II 3cos 1 cos 2 2 2 r
裂纹启裂的条件是：
2 G 0 GIC K IC 1 2 E
1 2 K IC 8 即最大能量释放率的断裂准则又
表示为：
KI0 KIC
用原裂纹的应力强度因子表 示，上式变为：
可见，利用Nuismer 建议的方法计算能量 释放率G时，最大能 量释放率准则与最大 环向应力准则是完全 一致的。 但利用其它方法计算 G时，这两种准则可 以有所差别。认为支 裂纹不改变应力场的 分布—假设一般讲是 不对的.
z ( ) A 1 ( 1 )1 ( 2 )2
1 1 ，2 1 ， 为偏折角
π π
I、II、III、复合型的分支裂纹扩展能量释放率
o 1 1 2 ( n1) / 2 π( 1) o π o G(0) ( 1 2 ) n ( f 1 KIn f 2 KIIn ) f3 KIIIn 4 n 1,3,5, 4 16
1
这意味着在Nuismer假设下, 由最大能量释放率准则确定 的启裂角与最大环向应力准 则得到的启裂角完全一致。
θθ θ=θ
0
K I0 K , rθ θ=θ II0 0 2 r 2 r
3
K 由于在这个方向上， II0 0 所 以裂纹是沿着纯I型的方向扩 展，对应的能量释放效率为： 1 2 G 0 K I0 8
o
k2 K IC
0.8
0.7 0.6
0.5
0.3
o
k3
o
0
k1
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2.6
1.4 1.0
0.6
o
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
k1 K IC
I、II、III全复合型的临界曲线
应变能密度准则(薛昌明
（G.C.Sih）,1973,简称S准则 )
2
得到在裂纹临界扩展时的应 力强度因子为：
K I C
cos 2 K IC sin
0
K II C
cos
0
1 cos 0 sin 3sin 0 cos 2 2 K IIC sin 1 cos 0 sin 3sin 0 cos 2
最大环向正应力准则实 际上是在以裂纹尖端为 圆心，半径为 r0 的一个 圆周上的最大环向应力 作为裂纹启裂的判据。
开裂角 KⅡ
80 60 40 20 20
KⅡc
40
60
80
90
裂纹角
o
KⅠc
KⅠ
最大环向应力准则的不足
没有区分广义的平面应力和平面应变问 题； 没有考虑其它应力分量的作用； 没有考虑裂尖塑性区的影响 由于该准则形式简单，应用比较方便， 误差不大，因而得到广泛的应用。
与最大环向应力准则 的结果仍然是一致的
1 cos 0 K I 1 cos 0 3K II sin 0 K IC 2 2
全复合型能量释放率断裂准则Hwang-Hua-Yu ,1981,黄-余-华, 1983 Hwang K. C.，Hua D. H. and Yu S. W.，ICF5 Preprints, 1， Cannes, France(1981),123-130 黄克智-余寿文-华达浩,全复合型能量释放率断裂准则固体力学学报,1983 .
特例：纯III型问题：
平面应力 E ' E
'
KIIIC 1 KIC
2
平面应变 E E 1
特例：I型平面应变问题：
1 2 2 G K IC GC E
I-II复合型裂纹断裂准则
(K.Palaniswamy，1972 ) I-III复合型裂纹启裂角0 的判定：
1 I II III K I ij ( ) K II ij ( ) K III ij ( ) 2 r
裂纹的扩展准则表示为：
KI , KII ,0 C 即：
1 K I 1 cos 0 3K II sin 0 cos 0 2 2 2 r
C
r r0
r
为了求得 0，将上式中的第 二式对 求导，并令 0 ， 得：
对于纯I型问题，上述的最大 环向应力准则是与前文的 KI KIC 判断准则完全一致的。
得开裂角0与裂纹方向角 之间的关系 式： sin0 tg + 3cos0 1 0 也可以表示为：
cos 2 1 7 cos 2 cos 0 1 8cos 2
1 3
其中 在 70.5时取最小值， 在 70.5 时取最大值，即裂 纹沿 70.5的方向扩展。代 入裂纹启裂判定公式，得到 裂纹扩展的条件为：
KII 0.87 KIC
于是得到复合型裂纹的起裂 准则表示为：
1 K I 1 cos 0 3K II sin 0 cos 0 K IC 2 2
G
1 2 KI KII2 8
当 a 0时，认为支裂纹不改 变应力场的分布???，即：
1 2 2 KI0 KII0 8
可得：
r r 0 0
G 0
引入极坐标平衡方程后,该方 程有三个根： π
求原裂纹沿分支方向扩展时的能 量释放率(R.J.Nuismer)引入—— 若裂纹沿其延长线方向扩展，能 量释放率表示为： 1 2 1 G0 GI GII KI KII2 E KI2 KII2 8 类似地，沿分支方向扩展时的能 量释放率表示为：
讨论：
cos
K I sin K II 3cos 1 0 2
式中cos 2 0 的解对应于 0 π 。 因此裂纹扩展的方向0 由下式 确定：
KI sin KII 3cos 1 0
具有 r 2奇异性， 上式中由于 因此，需要指定一点如 r 处 的 值作为参考值。当 r0 0 时， ，而根据前面的小 范围屈服理论，在裂纹尖端 必然发生小范围的塑性变形， 使得在裂纹尖端 是有限的。 r0 因此认为 是在塑性区以外 的一个参考点。而实际上， r0 下面将要看到， 实际上并不 影响断裂的判断。
1
c由纯I型情况下的扩展准则
确定。 对于纯I型裂纹，由裂纹扩展 方向判定公式可知 0 0，这 与前面的结论是一致的，在 启裂时 KI KIC。 此时，裂纹 启裂的临界应力为：
1 K IC 2 r C
r r0
对于纯II型裂纹，得：
arccos 70.5
裂纹将沿着产生最大能量释放率 的方向扩展：
I-II复合型裂纹启裂准则：
2 K I2 K II G GC E 确定启裂角 和G 计算的方 0 0
当沿该方向的能量释放率达到 GC 时，该裂纹开始扩展，即：
G 2G 0, 0 2
法：
G 0 GC
假设裂纹沿 0 的方向扩展一个 很小的长度a，除了固定在原裂纹 尖端的坐标系外 o x1 , x2 ，在分支 裂纹尖端建立坐标系 o x1, x2
KI1 , KII2 (n 1) 表示当
r2
时分支裂纹尖端的长度r2趋于零时的应力强度因子。 按最大能量释放率断裂准则，分支裂纹扩展方向 应使 G (0) 为最大值。
按上式计算全复合型的能量释放率，问题归结为求解特征函数 级数的系数的无穷线性代数方程组。
0.3 时的全复合型临界曲线的数值计算结果见图。
I-III复合型裂纹断裂准则
纯I型和纯III裂纹都是沿裂纹 延长线的方向扩展，因此I-III 复合型裂纹必然沿原裂纹面 的方向向前扩展。最大能量 释放率准则表示为：
2 K I2 K III G ' GC 2 E
对I-III复合型裂纹，断裂准则
为：
2 K III 2 K K IC 1 2 I
2a
对于给定的 角，可以得到裂纹扩展时 的临界应力为： 如图所示的无限大板中 含一中心穿透裂纹的问 题，裂纹与单向拉伸方 向的夹角为 。这个问 题的应力强度因子已在 前文给出，为：
K I a sin
2
C
a cos
0
2
π
2KIC sin 1 cos 0 sin 3sin 0 cos
全复合型能量释放率准则
Palaniswamy与Knauss(1976):
G(0)
π( 1) 2 2 ( K I1 K II1 ) 8
目前尚未严格证明
x
y
y
2
1
D
D
r
Z2
L1
o1 o2
x
Z1
1
×
2
以下列映射函数把物理平面z映射到单位圆外域D-， | | 1
考虑裂纹尖端附近六个应力 分量的综合效果，计算出裂 纹尖端附近的应变能密度分 布，并在以裂纹尖端为圆心 的周围上比较局部的应变能 密度，建立起裂纹失稳的断 裂判据。 在一般载荷作用下，裂纹尖 端附近的微元上，六个应力 分量都存在，故有：
ij
应变能密度度因子S： S W r
2 2 a11KI2 2a12 KI KII a22 KII a33 KIII