高三数学-2018广东广州质检 精品

高三数学训练题
2018年2月12日15：00—17：00
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．
第 I 卷 （选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么
球的表面积公式
P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2
如果事件A 、B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）
球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .
33
4
R V π=
那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
其中R 表示球的半径
率k n k
k n n P P C k P --=)1()(
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）若U ＝｛1，2，3，4，5｝，M ＝｛1，2，4｝，N ＝｛3，4，5｝，则U （M ∩N ）＝
（A ）｛4｝ （B ）｛1，2，3｝ （C ）｛1，3，4｝ （D ）｛1，2，3，5｝
（2）2211lim 21
x x x x →-=--
（A ）12 （B ）2
3
（C ）0 （D ）2
（3）不等式 |x |≤|x ＋2| 的解集是 （A ）｛x |x ≥－1｝ （B ）｛x |x ≤－1｝ （C ）{x |－1≤x ＜1} （D ）{x |x ≥1} （4）直线y ＝m 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则m 的值是
（A ）1 （B ）3 （C ）1或3 （D ）2或4
（5）在△ABC 中，“A ＝
3π”是“sinA 2
（A ）充分而不必要条件 （B ）充分且必要条件
（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）在等差数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 28＋a 29＋a 30＝165，则此数列前30项和等于
（A ）810 （B ）840 （C ）870 （D ）900 （7）椭圆
229
1x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作PF 1⊥x 轴，交椭圆于点P ，则|PF 2|＝
（A ）173 （B ）53 （C ）1
3 （D ）83
（8）39(x
-
的展开式中常数项是
（A ）84 （B ）－84 （C ）36 （D ）－36
（9）已知球的表面积为4π，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为
2
π
，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A
（B
（C
（D
（10）函数22()sin 3cos f x x x =+的最小正周期是
（A ）
4π （B ）2
π
（C ）π （D ）2π （11）将4名医生分配到3间医院，每间医院至少1名医生，则不同的分配方案共有
（A ）48种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）36种
（12）如图，正方体ABCD －A 1B 1
C 1
D 1
的棱长为1，点M 在棱AB 上，
且AM ＝1
3，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1
的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是 （A ）圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）直线
_ B _1
_ A _1
_ D _
1 _ C _1 _ C _ B
_ A _ D
_ P _ M
高三数学训练题
第 Ⅱ 卷 （非选择题 共90分）
注意事项：
⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． ⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上.
（13）设复数12z =-
+，则2z z += （14）某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15∶3∶2.为了了解该单位职员的某种情况，采
用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n ＝
：______ ___________班别：___________姓名：_______ _______学号：_________
封 线 内 答 题
（15）设x ，y 满足约束条件1
0x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩
，则z ＝3x ＋y 的最大值是
（16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，
则a 、b 在α上的射影有可能是
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分12分）
如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关J A 、J B 、J C ，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工
作.假定在某段时间内开关J A 、J B 、J C 能够闭合的概率分别是4
5、35、25，计算：
（Ⅰ）在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率；
（Ⅱ）在这段时间内线路正常工作的概率.
（18）（本题满分12分）
已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =.
（Ⅰ）当a b ⊥时，求tan 2θ； （Ⅱ）求｜a b +｜的最大值.
（19）（本题满分12分）
如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝
1
2AA 1，点G 为CC 1上的点， 且114
CG CC . （Ⅰ）求证：C D 1⊥平面ADG ；
（Ⅱ）求二面角C －AG －D 的大小（结果用反余弦表示）
：_________________班别：____________姓名：______________学号：_____________
_ D
（20）（本题满分12分）
已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，3
(1)2
n n S a =-（n ∈N *）
（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；
（Ⅱ）求1
lim n n n S
S →∞+．
（21）（本题满分12分）
已知抛物线C 的顶点在原点，以双曲线2
2
115
y x -=的左准线为准线.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若直线:1(1)l y k x -=-（k ≠0）垂直平分抛物线C 的弦，求实数k 的取值范围.
_______班别：____________姓名：________ ______学号：_________
不 要 在 密 封 线 内 答 题
（22）（本题满分14分）
f x a x（a∈R）
设()ln
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）证明ln x<
高三数学训练题参考答案
一、DBACA BAADC DB 二、（13）－1 （14）40 （15）3 （16）①、②、④ 三、（17）解：（Ⅰ）记这段时间内开关J A 能够闭合为事件A ，开关J B 能够闭合为事件B ，开关J C 能够闭合为事件C ，
则4()5P A =，3()5P B =，2
()5
P C = … … … … … 3分
根据相互独立事件同时发生的概率公式，在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是
43224
()()()()555125
P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=
… … … … … 5分 答：在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是24
125
… … … … 6分
（Ⅱ）依题意在这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合. 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
1236
()()()()[1()][1()][1()]555125P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=⨯⨯=
… 9分 因此，这段时间内线路正常工作的概率是119
1()125
P A B C -⋅⋅= … … … …11分
答：在这段时间内线路正常工作的概率是119
125
… … … … … 12分
（18）解：（Ⅰ）3cos sin 0a b θθ⊥⇔+= … … … … … 2分
tan 0tan θθ+=⇔= … … 4分
∴2
2tan tan 21tan θθθ=
=- … … … … … 6分
（Ⅱ）(cos ,sin ))(cos 1)a b θθθθ+=+=+ … … … … 7分 ｜a b +
｜ … … 8分
=
= … … … … … 9分
2
= … … 10分
当0sin(60)1θ+=时，max ||53a b += … … 12分 （19）解法1（空间向量法）设AB ＝1，11
,
,
2
DA i DC j DD k ===，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz … … … … … 1分
则D （0,0,0），A （1,0,0），C （0,1,0），D 1（0,0,2），B （1,1,0），G （0,1,12
）…… 2分
（Ⅰ）∵DA ＝（1，0，0），DG ＝（0，1，12
）， 1CD ＝（0，－1，2）
∴DA ·1CD ＝0， 10DG CD ⋅= ∴1CD DA ⊥，1CD DG ⊥ … … … … 4分 由线面垂直判定定理知CD 1⊥平面ADG
（Ⅱ）∵BD ＝（－1，－1,0），AG ＝（－1,1，1
2），
CG ＝（0,0，1
2） ∴BD ·AG ＝0，BD ·CG ＝0 ∴BD ⊥AG ，BD ⊥CG
∴BD ⊥平面CAG ，即BD 为平面CAG 的法向量
… … … … 8分 又C D 1⊥平面ADG ，即1CD 为平面AGD 的法向量
∴〈BD ，1CD 〉是二面角C －AG －D 的平面角 … … … … 9分 且cos 〈BD ，1CD
〉11||||
2BD CD BD CD ⋅=
=
=
…
… … 11分 故二面角C －AG －D 的大小为 … … … … 12分 解法2（综合推理法）
（Ⅰ）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AD ⊥平面CDD 1，D 1C ⊂平面CDD 1 ∴CD 1⊥AD … … … … 1分
在Rt △CDD 1与Rt △GCD 中，1112CD AB DD AA ==，1
1142
CC GC CD AB ==
∴1CD GC DD CD
= ∴Rt △CDD 1∽Rt △GCD … … … … 3分 ∴∠CD 1D ＝∠GDC ，∠CDG ＋∠DCD 1＝900 ∴CD 1⊥DG … … … … 4分
又AD ∩DG ＝D ，AD ⊂平面ADG ，DG ⊂平面ADG ， ∴CD 1⊥平面ADG … … … … 6分
（Ⅱ）记DG ∩CD 1＝E ，在平面ACG 中，作CH ⊥AG ，交AG 于H ，连结HE . …7分 又CD ⊥平面ADG ，由三垂线定理的逆定理知，EH ⊥AG
∴∠CHE 是二面角C －AG －D 的平面角 … … … 9分
设CG ＝1，则CC 1＝4CG ＝4，AB ＝AD ＝12AA 1＝1
2
CC 1＝2
在Rt △GCD 中，
CD CG CE DG ⋅===
在Rt △ACG 中，AC CG CH AG ⋅=
在Rt △CEH 中，
EH
∴cos
EH CHE CH ∠==
CHE ∠=为所求 … … … 12分 （20）解（Ⅰ）方法1．由113(1)2S a =-，得113
(1)2a a =-，∴13a = … … … 1分
当n ≥2时，1133
(1)(1)22
n n n n n a S S a a --=-=---
13n n a a -= … … … … … … 4分 ∴数列｛a n ｝是首项为3，公比为3的等比数列 … … … … 6分 ∴a n ＝3n … … … … … … 8分
方法2．由1113
(1)2
a S a ==-，得13a = … … … … … … 1分
由21223
(1)2S a a a =+=-，得29a = … … … … … … 2分
猜想a n ＝3n
（n ∈N ＊） … … … … … … 3分 用数学归纳法证明之（略） … … … … … … 8分
（Ⅱ）∵a n ＝3n ，∴33
(1)(31)22
n n n S a =-=- … … … … … … 9分
∴1111()311013lim lim lim
1313313()3
n
n
n n n n n n
n S S +→∞→∞→∞+---====--- … … … … 12分 （21）解（Ⅰ）双曲线2
2115
y
x -=的左准线方程是14x =- … 2分
故抛物线C 的方程为2y x = … 4分
（Ⅱ）设抛物线C 被直线l 垂直平分的弦PQ 的方程为
0x ky c ++= … 5分 22
00
y x y ky c x ky c ⎧=⇒++=⎨++=⎩ … … 6分 ∴△＝2
40k c -> … … ① … … 7分 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则
2121212,()()2y y k x x ky c ky c k c +=-+=-+-+=-
又PQ 中点G 22(,)22
k c k
--在直线1(1)y k x -=-上
∴221(1)22
k k c k ---=- 即 322k k c k -+=
… … … … 9分 代入①得3
22(2)
0k k k k
-+-> … … … … 10分
即 32240,(2)(22)0k k k k k k k
-+<+-+<
解之得 20k -<<. 故k 的取值范围是（－2,0）. … … … … 12分
（22） 解（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞） … … … … 1分
()
a
f x x
' （x ＞0） … … … … 3分
①若0a ≤，则()
a f x x
'=-＞0对一切x ∈（0，＋∞）恒成立 … … 4分 ②若a ＞0，则当x ＞0时，
()0
a
f x x
'>⇔> 2x ⇔>
2
2
2
440x a x a ⇔--> … … … … 5分
∴ 222x a >+ … … … … 6分
222()0440f x x a x a '<⇔--<
∴ 2022x a <<+ … … … … 7分 综上所述，当0a ≤时，f (x )在（0，＋∞)内单调递增；
当a ＞0时，f (x )在（0，222a +）内单调递减，在（222a +，＋∞)内单调递增. … … … 8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x )＝ln x 在（0，2+）内单调递减，在（2+，＋∞)内单调递增. … … … 9分
min ()(2ln(2g x g =+=+
1ln(2=+ … … … 10分
∴
ln 1ln(2x ≥+. … … … 11分
又 2+5＜2
e ，
∴ 21ln(21ln 10e +>=> … … … 13分
∴ ln x > … … … 14分。