数学_2011年浙江省高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

2011年浙江省高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 设f(x)={2x+1(x ≥0)
f(x +1)(x <0)，则f(−1)=( )
A 1
B 2
C 4
D 1
2
2. 设复数z ＝1+i （i 是虚数单位），则2
z +z 2＝（ ）
A −1−i
B −1+i
C 1−i
D 1+i
3. 在等差数列{a n }中，首项a 1=0，公差d ≠0，若a m =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5，则m =( )
A 11
B 12
C 10
D 13
4. 设m ，n 是不同的直线，a ，β是不同的平面，则下列四个命题： ①若α // β，m ⊂α，则m // β， ②若m // α，n ⊂α，则m // n ， ③若α⊥β，m // α，则m ⊥β， ④若m ⊥α，m // β，则α⊥β 其中正确的是（ ）
A ①③
B ②③
C ①④
D ②④
5. 计算机执行程序框图如图设计的程序语言后，输出的数据是55，则判断框内应填（ ）
A n <7
B n ≤7
C n ≤8
D n ≤9
6. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0
x −y +1≥0y ≥1 ，则z =2x +y 的最小值为（ ）
A +1
B 5
C 3
D 4
7. 已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的离心率为( ) A 2 B 2√2 C
√5+1
2
D √6 8. 在△ABC 中，设命题p:a
sinB =b
sinC =c
sinA ，命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题
q 的（ ）
A 充要条件
B 必要不充分条件
C 充分不必要条件
D 即不充分也不必要条件 9. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c 满足2a +c
2>b 且c <0，则含有f(x)零点的一个区间是（ ）
A (−2, 0)
B (−1, 0)
C (0, 1)
D (0, 2)
10. 设f(x)和g(x)是定义在同一区间[a, b]上的两个函数，若对任意的x ∈[a, b]，都有|f(x)−g(x)|≤1，则称f(x)和g(x)在[a, b]上是“密切函数”，[a, b]称为“密切区间”，设f(x)=x 2−3x +4与g(x)=2x −3在[a, b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A [1, 4]
B [2, 3]
C [3, 4]
D [2, 4]
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11. 某高中共有2100名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30，35名学生，则该校高三年级的学生数是________．
12. 经过点M(1, 2)的直线l 与圆(x −2)2+(y +3)2=3相交于A 、B 两点，当|AB|最大值等于________．
13. 已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P −ABCD 的体积为________，其外
接球的表面积为________．
14. 甲、乙、丙、三个人按任意次序站成一排，则甲站乙前面，丙不站在甲前面的概率为________．
15. 平面向量a →
、b →
满足(a →
+b →
)⋅(2a →
−b →
)=−4，且|a →
|＝2，|b →
|＝4，则a →
与b →
的夹角等于________．
16. 若实数x ，y 满足不等式组{3x −y ≤3x −y ≥−1
x ≥0y ≥0，且目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大
值为5，则2
a +3
b 的最小值为________．
17. 定义在R 上的偶函数y =f(x)满足：
①对任意x ∈R 都有f(x +2)=f(x)+f(1)成立；
②f(0)=−1；
③当x ∈(−1, 0)时，都有f ′(x)<0．
若方程f(x)=0在区间[a, 3]上恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18. 已知向量a →
=(2cosx, sinx)，b →
=(cosx, 2√3cosx)，函f(x)=a →
⋅b →
+1．
（1）求函数f(x)的单调递增区间．
（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =1且f(A)=3，求△ABC 面积S 的最大值．
19. 已知等差数列{a n }满足a 2+a 3=10，前6项的和为42． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和S n ，且1b n
=a 1+a 2+⋯+a n ，若S n <m 恒成立，求m 的最小
值．
20. 如图，在矩形ABC 中，AB =4，AD =2，E 为AB
的中点，现将△ADE 沿直线DE 翻折成△A′DE ，使A′在平面BCDE 的射影在DE 上，F 为线段A′D 的中点．
（1）求证：EF // 平面A′BC ；
（2）求直线A ′C 与平面A′DE 所成角的正切值．
21. 设函数f(x)=1
3x 3−ax 2−ax ，g(x)＝2x 2+4x +c ．
（1）试问函数f(x)能否在x ＝−1时取得极值？说明理由；
（2）若a ＝−1，当x ∈[−3, 4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c 的取值范围． 22. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，F 为抛物线C 的焦点，A 为抛物线C 上的动点，过A 作抛物线准线l 的垂线，垂足为Q ．
（1）若点P(0, 4)与点F 的连线恰好过点A ，且∠PQF =90∘，求抛物线方程； （2）设点M(m, 0)在x 轴上，若要使∠MAF 总为锐角，求m 的取值范围．
2011年浙江省高考数学模拟试卷（文科）答案
1. B
2. D
3. A
4. C
5. C
6. A
7. A
8. A 9. A 10. B 11. 735 12. 2√3 13. 2
3,6π
14. 13 15. π
3
16. 5
17. (−3, −1]
18. （本题满分14分）
解：（1）因为 f(x)=a →
⋅b →
=2cosx 2+2√3sinx ．cosx +1 =cos2x +√3sin2x +2−−−−−−
=2sin(2x +π
6
)+2−−−−−−−−
∴ 2kπ−π
2
≤2x +π
6
≤2kπ+π
2
，(k ∈Z)−−−−−−−−
解得：kπ−π3≤x ≤kπ+π
6
所以f(x)的单调增区间为[kπ−π
3，kπ+π
6](k ∈Z)−−−−−−− （2）f(A)=3，∴ sin(2A +π6)=10<A <π，
∴ 2A +π6=
5π
6
，∴ A =π
6−−−−−−−−−−− a 2=b 2+c 2−2bccosA ，b 2+c 2≥2bc∴ bc ≤1−−−−−−−−−−−−− ∴ S =1
2bcsinA ≤
√34∴ S 的最大值为√3
4
−−−−−−−−−
19. 解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
则2a 1+3d =10， 6a 1+
6×5
d =42 解得{a 1=2d =2
∴ a n =a 1+(n −1)d =2n （2）因为1
b n
=a 1+a 2++a n =
∴ b n =1n(n+1)=1n −1
n+1
∴ S n =(1−1
2)+(1
2−1
3)++(1
n −1
n+1)=1−1
n+1
因为S n<m恒成立，∴ m>(S n)max∴ m≥1
所以m的最小值为1
20. 解：（1）证明：取A′C的中点M，连接MF，MB，则MF // DC，
且FM=1
2DC，又EB // DC，且EB=1
2
DC，从而有
FM // EB，FM=EB所以四边形EBMF为平行四边形，
故有EF // MB，
又EF⊈平面A′BC，MB⊂平面A′BC，
所以EF // 平面A′BC，．
（2）过C作CO⊥DE，O为垂足，连接A′O，
因为A′在平面BCDE的射影在DE上，所以平面A′DE⊥平面BCDE，
且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以CO⊥平面A′DE
所以∠CA′O就是直线A′B与平面A′DE所成的角．
因为E为AB中点，∴ CE⊥DE
因为平面A′DE⊥平面BCDE，且面A′DE∩平面BCDE=DE，
所以O与E重合
因为A′E=2,CE=2√2
所以tan∠EA′C=CE
A′E
=√2，
故直线A′C与平面A′DE所成角的正切值√2．
21. 由题意f′(x)＝x2−2ax−a，
假设在x＝−1时f(x)取得极值，则有f′(−1)＝1+2a−a＝0，∴ a＝−1，
而此时，f′(x)＝x2+2x+1＝(x+1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值．这与f(x)在x＝−1有极值矛盾，所以f(x)在x＝−1处无极值；
令f(x)＝g(x)，则有1
3x3−x2−3x−c＝0，∴ c=1
3
x3−x2−3x，
设F(x)=1
3
x3−x2−3x，G(x)＝c，令F′(x)＝x2−2x−3＝0，解得x1＝−1或x＝3．列表如下：
由此可知：F(x)在(−3, −1)、(3, 4)上是增函数，在(−1, 3)上是减函数．
当x＝−1时，F(x)取得极大值F(−1)=5
3
；当x＝3时，F(x)取得极小值
F(−3)＝F(3)＝−9，而F(4)=−20
3
．
如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，
所以−20
3<c<5
3
或c＝−9．
22. 解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|，∵ ∠PQF=90∘，
∴ A 为PF 的中点，∵ F(p 2
，0)，∴ A(p
4
,2)，
且点A 在抛物线上，代入得2=2p ⋅p
4⇒p =2√2 所以抛物线方程为y 2=4√2x ． （2）设A(x, y)，y 2=2px ，
根据题意：∠MAF 为锐角⇒AM →
⋅AF →
>0且m ≠p 2AM →
=(m −x,−y)，AF →
=(p
2−x,−y)，AM →
⋅AF →
>0⇒(x −m)(x −p
2
)+y 2>0⇒x 2−(p
2
+m)x +
pm 2
+y 2>0
∵ y 2=2px ，所以得x 2+(3p 2
−m)x +pm 2
>0对x ≥0都成立
令f(x)=x 2+(3p
2−m)x +pm 2
=(x +
3p 4
−m
2)2+mp 2
−(3p 4−m
2)2>0
对x ≥0都成立 (I)若m
2−
3p 4
≥0，即m ≥
3p 2
时，只要使
mp 2
−(
3p 4
−m
2
)2>0成立，
整理得：4m 2−20mp +9p 2<0⇒p
2<m <9p
2
，且m ≥3p 2
，
所以
3p 2
≤m <
9p 2
．
(II)若m
2
−
3p 4
<0，即m <
3p 2
，只要使
mp 2
>0成立，得m >0
所以0<m <3p 2
由(I)(II)得m 的取值范围是0<m <
9p
2
且m ≠p
2．。