2014年全国高考理数真题试卷(新课标II卷)及解析

○…………外…………○…………学校:_________○…………内…………○…………2014年全国高考理数真题试卷（新课标II 卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
12z 1=2+i ，则z 1z 2=（ ） A.﹣5 B.5 C.﹣4+i D.﹣4﹣i
2.设向量 a →
， b →
满足| a →
+ b →
|= √10 ，| a →
﹣ b →
|= √6 ，则 a →
• b →
=（ ） A.1 B.2 C.3 D.5
3.钝角三角形ABC 的面积是 12
，AB=1，BC= √2 ，则AC=（ ） A.5 B.√5
C.2
D.1 4.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
答案第2页，总12页
A.17
27 B.5
9 C.1027 D.13
5.设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.3√3
4 B.
9√3
8 C.6332 D.94
6.直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1 ， A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1 ， 则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A.1
10 B.2
5 C.√3010 D.√2
2
7.设函数f （x ）= √3 sin πx
m ，若存在f （x ）的极值点x 0满足x 02+[f （x 0）]2＜m 2 ， 则m 的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）
B.（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．
9.已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0，若f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是 ．
10.设点M （x 0 ， 1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则x 0的取值范围是 ．
○…………外…………○………订…………○…………学校________考号：___________
○…………内…………○………订…………○…………n 1n+1n （1）证明{a n + 1
2 }是等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）证明： 1a 1
+ 1a 2
+…+ 1a n
＜ 3
2 ．
12.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC ；
（2）设二面角D ﹣AE ﹣C 为60°，AP=1，AD= √3 ，求三棱锥E ﹣ACD 的体积． （1）求y 关于t 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ^
=
∑(t i −t ¯
)(y i −y ¯
)
n i=1∑(t i −t ¯)
2
n i=1 ， a ^ = y ¯
﹣
b ^ t ¯
．
14.设F 1 ， F 2分别是C ： x 2
a 2+
y 2b 2
=1 （a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x
轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．
答案第4页，总12页
（1）若直线MN 的斜率为 3
4 ，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．
15.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， π
2 ] （1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线l ：y= √3 x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．
○…………外…………○…………装………○…………线……学校:___________姓名__________
○…………内…………○…………装………○…………线……参数答案
1.A
【解析】1.解：z 1=2+i 对应的点的坐标为（2，1）， ∵复数z 1 ， z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， ∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1）， 则对应的复数，z 2=﹣2+i ，
则z 1z 2=（2+i ）（﹣2+i ）=i 2﹣4=﹣1﹣4=﹣5， 故选：A
【考点精析】本题主要考查了复数的乘法与除法的相关知识点，需要掌握设
则
；才
能正确解答此题． 2.A
【解析】2.解：∵| a →
+ b →
|= √10，| a →
﹣ b →
|= √6 ， ∴分别平方得 a →2
+2 a →
• b →
+ b →2
=10， a →2
﹣2 a →
• b →
+ b →2
=6， 两式相减得4 a →
• b →
=10﹣6=4， 即 a →
• b →
=1， 故选：A ． 3.B
【解析】3.解：∵钝角三角形ABC 的面积是 1
2 ，AB=c=1，BC=a= √2 ， ∴S= 12 acsinB= 12 ，即sinB= √2
2 ，
当B 为钝角时，cosB=﹣ √1−sin 2B =﹣ √2
2 ，
利用余弦定理得：AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC= √5 ， 当B 为锐角时，cosB= √1−sin 2B = √2
2 ，
利用余弦定理得：AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1， 此时AB 2+AC 2=BC 2 ， 即△ABC 为直角三角形，不合题意，舍去， 则AC= √5 ．
故选：B ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识，掌握余弦定理:
;
;
．
答案第6页，总12页
…………外………………○…………线………※※题※※
…………内………………○…………线………4.C
【解析】4.解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，
组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．
底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：
54π−34π54π = 10
27
． 故选：C ． 【考点精析】通过灵活运用由三视图求面积、体积，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积即可以解答此题． 5.D
【解析】5.解：由y 2=2px ，得2p=3，p= 3
2 ， 则F （ 3
4 ，0）．
∴过A ，B 的直线方程为y= √3
3 （x ﹣ 3
4 ）， 即x= √3 y+ 3
4 ． 联立 {
y 2=3x x =√3y +
34
，得4y 2﹣12 √3 y ﹣9=0．
设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2）， 则y 1+y 2=3 √3 ，y 1y 2=﹣ 9
4 ．
∴S △OAB =S △OAF +S △OFB = 12 × 34 |y 1﹣y 2|= 3
8 √(y 1
+y 2)2
+
4y 1y 2 = 38 × √(3√3)
2+9 = 9
4 ．
故选：D ．
6.C
【解析】6.解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1 ， A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，
，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC 1 ，
设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO= √5 ，AN= √5 ，MB=
=
= √6 ，
…外…………○…………装订…………○…………线…………○…学校:___________姓考号：___________
…内…………○…………装订…………○…………线…………○…在△ANO 中，由余弦定理可得：cos∠ANO= =
= √30
10 ．
故选：C ．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题． 7.C
【解析】7.解：由题意可得，f （x 0）=± √3 ，且 πx
0m =kπ+ π
2 ，k∈z，即 x 0= 2k+1
2
m ． 再由x 02+[f （x 0）]2＜m 2 ， 可得当m 2最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为 1
2 |m|， ∴m 2＞ 14
m 2+3，∴m 2＞4．
求得 m ＞2，或m ＜﹣2， 故选：C ． 8.1
【解析】8.解：函数f （x ）=sin （x+2φ）﹣2sinφcos （x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ） =sin （x+φ）cosφ+cos （x+φ）sinφ﹣2sinφcos （x+φ）=sin （x+φ）cosφ﹣cos （x+φ）sinφ
=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx， 故函数f （x ）的最大值为1， 所以答案是：1．
【考点精析】关于本题考查的两角和与差的余弦公式和两角和与差的正弦公式，需要了解两角和与差的余弦公式：
；两角和与差的正弦公式：
才能得出正确答案．
9.（﹣1，3）
【解析】9.解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0， ∴不等式f （x ﹣1）＞0等价为f （x ﹣1）＞f （2），
答案第8页，总12页
装…………○…………订…………○…※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
装…………○…………订…………○…∴|x﹣1|＜2， 解得﹣1＜x ＜3，
所以答案是：（﹣1，3）
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题． 10.[﹣1，1]
【解析】10.解：由题意画出图形如图：点M （x 0 ， 1）， 要使圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，
则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N ，使得∠OMN=45°， 而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值， 此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1， ∴x 0的取值范围是[﹣1，1]．
11.
（1）证明：
a n+1+1
2a n +12
=
3a n +1+1
2a n +1
2
=
3(a n +1
2)a n +1
2
=3，
∵ a 1+1
2=3
2 ≠0，
∴数列{a n + 1
2 }是以首项为 3
2 ，公比为3的等比数列；
∴a n + 12 = 3
2×
3
n−1
= 3n
2 ，即 a n
=
3n −1
2
；
（2）证明：由（1）知 1
a n
=2
3n −1 ，
当n≥2时，∵3n ﹣1＞3n ﹣3n ﹣1，∴ 1a n
=23n −1 ＜
23n −3
n−1 =
13n−1
，
∴当n=1时， 1a 1
=1＜3
2 成立，
订…………○…………线__考号：___________
订…………○…………线当n≥2时， 1a 1
+ 1a 2
+…+ 1a n
＜1+ 13+
13
2+ …+
1
3
n−1 =
1−(13)n
1−1
3
= 32(1−13n ) ＜ 3
2 ．
∴对n∈N +时， 1a 1
+ 1a 2
+…+ 1a n
＜ 3
2 ．
【解析】11.（1）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即
b n+1
b n
=常数，
又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n }的通项公式；（2）将 1
a n
进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n 项和(数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的
关系)，还要掌握等比数列的基本性质({a n}为等比数列，则下标成等差
数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {a n}是各项不为零的常数列)的相关知识才是答题的关键． 12.
（1）证明：连接BD 交AC 于O 点，连接EO ， ∵O 为BD 中点，E 为PD 中点， ∴EO∥PB，（2分）
EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB∥平面AEC ；（6分）
（2）解：延长AE 至M 连结DM ，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ， ∴CD⊥平面AMD ，
∵二面角D ﹣AE ﹣C 为60°， ∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD= √3 ，∠ADP=30°， ∴PD=2，
E 为PD 的中点．AE=1， ∴DM= √3
2 ，
CD= √32×tan600 = 3
2 ．
三棱锥E ﹣ACD 的体积为： 1
3×1
2AD ⋅CD ⋅1
2PA = 1
3×1
2×√3×3
2×1
2×1 = √3
8 ．
答案第10页，总12页
…………○…………线…………○※※答※※题※※
…………○…………线…………○
【解析】12.（1）连接BD 交AC 于O 点，连接EO ，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC ；（2）延长AE 至M 连结DM ，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD ，即可三棱锥E ﹣ACD 的体积．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题． 13.
（1）解：由题意， t ¯
= 1
7 ×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
y ¯
= 1
7 ×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴ b ^
=
(−3)×(−1.4)+(−2)×(−1)+(−1)×(−0.7)+0.1+1×0.5+2×0.9+3×19+4+1+0+1+4+9 = 14
28
=0.5，
a ^
= y ¯ ﹣ b ^ t ¯
=4.3﹣0.5×4=2.3．
∴y 关于t 的线性回归方程为 y ^
=0.5t+2.3；
（2）解：由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入 y ^ =0.5t+2.3，得：
y ^
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
第11页，总12页
【解析】13.（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值． 14.
（1）解：∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直， ∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y= b 2
a ，即M （c ，
b 2
a ），
若直线MN 的斜率为 3
4 ， 即tan∠MF 1F 2= b 2a
2c =
b 22ac
=3
4 ，
即b 2
= 32ac =a 2
﹣c 2
，
即c 2+ 3
2ac ﹣a 2=0， 则 e 2+3
2e −1=0 ， 即2e 2+3e ﹣2=0
解得e= 12 或e=﹣2（舍去）， 即e= 12
（2）解：由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点，
设M （c ，y ），（y ＞0），
则 c 2a 2
+
y 2b 2
=1 ，即 y 2=
b 4
a 2 ，解得y=
b 2
a ，
∵OD 是△MF 1F 2的中位线，
∴ b 2
a =4，即
b 2=4a ，
由|MN|=5|F 1N|， 则|MF 1|=4|F 1N|， 解得|DF 1|=2|F 1N|， 即 DF →
1=2F 1N →
设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0， 则（﹣c ，﹣2）=2（x 1+c ，y 1）．
即 {2(x 1+c)=−c 2y 1=−2 ，即 {x 1
=−3
2c
y 1=−1
代入椭圆方程得 9c 2
4a 2
+
1b 2
=1 ，
将b 2
=4a
代入得 9(a 2−4a)4a 2+1
4a
=1 ，
答案第12页，总12页
解得a=7，b= 2√7 ．
【解析】14.（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为 3
4 ，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率；（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论． 15.
（1）解：由半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， π
2 ]，即ρ2=2ρcosθ，可得C 的普通方程为（x ﹣1）2+y 2=1（0≤y≤1）． 可得C 的参数方程为 {
x =1+cost
y =sint
（t 为参数，0≤t≤π）．
（2）解：设D （1+cos t ，sin t ），由（1）知C 是以C （1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，∴tant= √3 ，t= π
3 ． 故D 的直角坐标为 (1+cos π
3
,sin π
3
) ，即（ 3
2 ， √3
2 ）
【解析】15.（1）利用 {ρ2=x 2+y 2
x =ρcosθ
即可得出直角坐标方程，利用cos 2t+sin 2t=1进而
得出参数方程．（2）利用半圆C 在D 处的切线与直线l ：y= √3垂直，则直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，即可得出直线CD 的倾斜角及D 的坐标．。