高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则课件北师大版选修1_1

(2)因为 y=
2
1
2
1
1
2
= x2 ln x,
1
1
'=2(x2 )'ln x+2x2 (ln x)'=xln x+2x.
3 - 5+ 7
2
3
=x-x
+x
,

所以 y'=(x-x2 +x3 )'=1-2x+3x2 .
(3)因为 y=e2 x=ex·ex,所以
y'=(ex·ex)'=(ex)'·ex+ex·(ex)'=e2 x+e2 x=2e2 x.
(3)(方法一)y'=
=
2
=
=
(+1)
(+1)-(-1)
(+1)
2
2
.
(+1)
-1
+1
(方法二)因为 y=
2
所以 y'= 1- +1 '=
=-
2'(+1)-2(+1)'
(+1)
2
=
+1-2
2
=1,
+1
+1
2
- +1 '
2
=
(+1)
2.


(4)因为 y=-sin2 1-2cos 2 4


1
1
1
1
1
= − 2 ln2 = + 2 ln 2.
'
(5)因为 y=(x+1)(x-1)(x2 +1)=(x2 -1)(x2 +1)=x4 -1,所以
y'=(x4 -1)'=4x3 .
变式训练 1 求下列函数的导数:
1
3π
;(2)y=sin - 2 ;
-1
1
(3)y=( +1) -1 .
1
2
(1)y=4cos 2;(2)y=ln2 x.
解(1)因为
1
2
y= cos
4
2
=
1
(1+cos
8
1
x)=
8
(2)因为 y=ln2x=ln x·ln x,所以 y'=(ln
1
1
+ cos x,所以 y'=- sin x.
8
8
1
1
2ln
x·ln x)'= ·ln x+ln x· =
.



探究三
2 -4, ≤ 0,
1 1
- ,0 <
2
≤ 0,
因为 f'(a)=12,所以 2
或
-4 = 12
1 2
ln
· -ln·(2)
'=
2
4
< 1,
0 < < 1,
1 1
2
= 12,
1
解得 a=4或 a=-4.
1-2ln
,由导数的几何意义知,
3
1
1-2ln
cos
,

cos π 1
于是 f'(π)=-sin π·ln π+ π =-π.
1
答案:-π
所以 f'(x)=-sin x·ln x+
1.函数
cos
y= 的导数是(
)
sin
A.- 2
B.-sin x

sin+cos
cos+cos
C.D.2
2
cos
(cos)'·-cos·
'
解析:y'= '=
2
-sin-cos sin+cos
=
=.
2
2
A.
π
2
B.0
C.钝角
D.锐角
sin
4.设 y=1+cos ,-π<x<π,当 y'=2 时,x 等于
.
sin
,
1+cos
解析:因为 y=
cos(1+cos)-sin(-sin)
所以 y'=
导数运算法则的简单应用
【例 1】 求下列函数的导数:
2+1
;
-1
(1)y=x3 sin x;(2)y=
(3)y=cos x+x ;
(4)y=ln x-
1
2

;
(5)y=(x+1)(x-1)(x2 +1).
解(1)y'=(x3 sin x)'=(x3 )'sin x+x3 (sin x)'=3x2 sin x+x3 cos x.


1
=-sin2 -cos 2 = 2sin x,
所以 y'=
1
sin
2
1
1
'=2(sin x)'=2cos x.
1
1
解(1)y'= sin'=cos x-1
-1
-1
1
(1)y=sin x-
=cos x-
(-1)
2=cos
(2)y'= sin -
x+
3π
2
(-1)
2.
'=(cos x)'=-sin x.
1
-1

1
-1· -(1-)·2
所以 y'=

1
1
=-2 1 + .
(3)因为 y=( +1)
导数运算的应用
【例 3】 (1)已知 f(x)=
的值等于
若 f'(a)=12,则实数 a
1,
பைடு நூலகம்
.
ln
(2)若曲线 f(x)= 2 在点
则实数 k 的值等于
1 3
-4, ≤ 0,
3
1
- -ln,0 < <
1
2
,-e
e
.
处的切线与直线 kx+2y-1=0 平行,
解析:(1)由已知得 f'(x)=
ln
1
1
e
3
曲线 f(x)= 2 在点 e ,-e2 处的切线的斜率 k=f' e =
3 =3e ,而该
1
e

切线与直线 kx+2y-1=0 平行,所以其斜率相等,因此-2=3e3 ,故 k=-6e3.
(2)由于 f'(x)=
1
答案:(1)4或-4 (2)-6e3
=
0
解设 P(x0 ,y0 )为切点,则切线的斜率为 f'(x0 )=3 20 -2,所以切线方
1
=2,
1+cos
(1+cos)
1
2
=
2π
即 cos x=-2,又-π<x<π,故 x=± 3 .
2π
答案:± 3
1+cos
(1+cos)
2 =
1
,因为
1+cos
y'=2,所以
-1
(3)y=+1 ;


(4)y=-sin2 1-2cos 2 4 .
-1
'
+1
(-1)'(+1)-(-1)(+1)'



(4)因为 y=sin4 4+cos 4 4 = sin2 4 +
2

1 2
1 1-cos
2
2
2
cos 4 -2sin 4cos 4=1-2sin 2=1-2 · 2
3 1
1
y'= + cos '=- sin x.
4 4
4
=
3
4
1
+ 4 cos
x,所以
变式训练 2 求下列函数的导数:
程为 y-y0 =(3 20 -2)(x-x0 ).
又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,
得-1-( 30 -2x0 )=(3 20 -2)(1-x0 ),
整理,得(x0 -1)2 (2x0 +1)=0,
1
解得 x0 =1 或 x0 =-2.
所以过点(1,-1)的切线方程为 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
'
=1- +
1
-1=
+
1

=
1-
,

探究二
求复杂函数的导数
【例 2】 求下列函数的导数:
(1)y=x ln ;(2)y=
2

4

4
(4)y=sin4 +cos 4 .
3 - 5 + 7
2x
;(3)y=e
;

解(1)因为 y=x ln =x ln
2
所以 y'=
1 2
ln
2
学 习 目 标
1.掌握导数的四则运算法则,并
清楚四则运算法则的适用条件.
2.会运用运算法则求简单函数
的导数.
3.初步使用转化的方法,并利用
四则运算法则求导.
思 维 脉 络
()
()
'()()-()'()
(g(x)≠0).
2 ()
'=
(4)
1
2
1
'=2.
(
)
探究一
2+1
'
-1
(2 +1)'(-1)-(2+1)(-1)'
(2)y'=
=
2
(-1)
2-2-2-1
3
=
(-1)
2
=-
(-1)
2.
(3)y'=(cos x+x )'=(cos
3
x)'+( 2 )'
3 1
3
=-sin x+ 2 =-sin x+ .
2
2


1
1
(4)y'= ln- 2 '=(ln x)'- 2