2025高考数学一轮复习-9.1.2-线性回归方程【课件】

(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出). 根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概 率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千 件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料 成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选 择100元还是90元，请说明理由.
因为 y ＝3860＝45，
8
uiyi－8 u y
i＝1
所以b^ ＝
8
u2i －8 u 2
i＝1
＝1831..45－ 3－8×8×0.03.411×545＝06.611＝100，
则a^ ＝ y －b^ u ＝45－100×0.34＝11， 所以y^ ＝11＋100u， 所以 y 关于 x 的回归方程为y^＝11＋10x0.
三、非线性回归问题
知识梳理
解非线性回归分析问题的一般步骤 有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知数据 画出散点图，与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图 象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量 进行变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决.
n
v2i －n
v
2
i＝1
i＝1
解 ①当产品单价为100元，设订单数为m千件，因为签订9千件订单的 概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2， 所以E(m)＝9×0.8＋10×0.2＝9.2， 所以企业利润为 100×9.2－9.2×190.20＋21＝626.8(千元). ②当产品单价为90元，设订单数为n千件， 因为签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7， 所以E(n)＝10×0.3＋11×0.7＝10.7，
解 ∵ x ＝2＋3＋45＋5＋6＝4，
y ＝2.2＋3.8＋55.5＋6.5＋7.0＝5.
5
xiyi－5 x y ＝112.3－5×4×5＝12.3，
i＝1
5
x2i －5 x 2＝90－5×42＝10，
i＝1
5
y2i －5 y 2＝140.8－125＝15.8，
i＝1
所以 r＝ 101×2.315.8＝ 1125.38＝ 21×2.379≈1.41×2.38.9≈0.987.
x1 2 3 4 5 678 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
根据以上数据，绘制了散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 y＝ a＋bx和指数函数模型 y＝cedx 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数 函数模型拟合的回归方程为y^＝96.54e－0.2x，ln y 与 x 的相关系数 r1＝－0.94.
5
x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以b^ ＝
5
＝25
054－5×73.2×67.8 27 174－5×73.22
x2i －5 x 2
i＝1
≈0.625，
a^ ＝ y －b^ x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
所以所求线性回归方程是y^ ＝0.625x＋22.05.
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并 用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
解 y 与1x的相关系数为
8
uiyi－8 u y
r2＝
i＝1
8
u2i －8
u
2
8
y2i －8
y
2
i＝1
i＝1
＝
61 0.61×6
≈0.99. 185.5
因为|r1|<|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 当 x＝10 时，y＝11000＋11＝21(元)， 所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元.
内容索引
一、线性回归模型 二、利用线性回归方程对总体进行估计 三、非线性回归问题
随堂练习
对点练习
一、线性回归模型
问题 如果散点图中的样本点大体分布在一条直线附近，怎样选择恰当 的直线反映两个变量之间的线性相关关系？ 提示 可以用y＝a＋bx＋ε来反映两个变量之间的线性关系.
知识梳理
1.随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x完全确定，它 们之间是统计相关关系，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其 中 a＋bx 是确定性函数， ε 称为随机误差. 2.随机误差产生的主要原因 (1)所用的 确定性函数 不恰当引起的误差； (2)忽略了 某些因素的影响 ； (3)存在 观测 误差.
参考数据其中ui＝x1i：
8
uiyi u
i＝1
8
8
u 2 u2i yi
i＝1
i＝1
8
y2i
i＝1
0.61×6 185.5 e－2
183.4 0.34 0.115 1.53 360 22 385.5
61.4
0.135
(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
解 令 u＝1x，
则 y＝a＋bx可转化为 y＝a＋bu，
5
xiyi－5 x y
i＝1
则b^ ＝
5
＝1 318405－－55××55×2 50＝6.5，
x2i －5 x 2
i＝1
a^ ＝ y －b^ x ＝50－6.5×5＝17.5.
故所求的线性回归方程是y^ ＝6.5x＋17.5.
跟踪训练1 某班5名学生的数学和物理成绩如表：
学科
学生
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(y)
78
65
71
64
61
求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程.
解 x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
5
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61
i＝1
＝25 054.
一般步骤为：
说明：由于涉及的数据比较多，考虑到可操作性，考试时往往会给出 散点图，或将画散点图这一步骤省略，只需要选一些数据，画一下草 图，作出判断即可，并且相关数据都会直接给出.
例3 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费 用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年 投入的年研发费用xi与年销售量yi(i＝1,2，…，10)的数据，得到散点图 如图所示.
二、利用线性回归方程对总体进行估计
例2 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如 表数据：
x 6 8 10 12 y23 5 6 (1)请画出上表数据的散点图；
解 散点图如图所示.
x 6 8 10 12 y23 5 6
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y^＝b^ x＋a^ ；
n
ui－ u vi－ v
i＝1
的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^ ＝
，α^ ＝ v －β^ u .
n
ui－ u 2
i＝1
解 对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，
即v＝ln c＋du.
10
ui
由表中数据求得
u
＝
v
i＝1
＝ 10
＝1150＝32，
n
ui－ u vi－ v
跟踪训练2 假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维 修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
x2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
5
5
5
已知x2i ＝90，y2i ≈140.8，xiyi＝112.3， 79≈8.9， 2≈1.4.
i＝1
i＝1
i＝1
(1)计算y与x之间的相关系数(精确到0.001)，并求出线性回归方程；
3.线性回归模型中 a，b 值的求法 y＝ a＋bx＋ε 称为线性回归模型. a，b 的估计值为a^ ，b^ ，则
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
b^ ＝i＝1
i＝1
＝
，
n
n
xi－ x 2
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
a^ ＝___y_－__b_^ _x___.
4.回归直线和线性回归方程 直线y^＝a^ ＋b^ x 称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a^ 称为_回__归__
截距 ，b^ 称为 回归系数 ，y^称为 回归值 . 注意点：
n
xi－ x yi－ y
i＝1
(1)线性回归方程的系数b^ 的计算，有时利用公式b^ ＝
；
n
xi－ x 2
i＝1
(2)线性回归方程y^＝b^ x＋a^ 必经过样本点的中心( x ， y ).
例1 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元) 之间有如下对应数据：
第9章 9.1 线性回归分析
学习目标
1.能结合实例，根据散点图，判断两个变量是否具有相关关系. 2.了解最小二乘法原理，会求线性回归方程，并能根据线性回归
方程进行预测.
导语
恩格尔系数(Engel’s Coefficient)是根据恩格 尔定律得出的比例数，指居民家庭中食物支 出占消费总支出的比重，是衡量生活水平高 低的一个指标.其计算公式：恩格尔系数＝食 物支出金额÷总支出金额. 一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所占 的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买 食物的支出所占比例将会下降. 恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时， 我们如何对样本数据建立一个模型进行预测？
x2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 求线性回归方程.
解 列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
x2i
4
16
25
36
64
5
5
x ＝5， y ＝50，x2i ＝145，xiyi＝1 380
i＝1
i＝1
10
vii＝1Fra bibliotek1010
ui (ui－ u )(vi－ v )
i＝1
i＝1
10
(ui－ u )2
i＝1
15 15
28.25
56.5
根据第(1)问的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程. 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v^ ＝α^ ＋β^ u
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线
n
uivi－n u v
i＝1
v^ ＝α^ ＋β^ u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^ ＝
，α^ ＝
n
u2i －n u 2
i＝1
v －β^ u ，相关系数 r＝
n
uivi－n u v
i＝1
n
u2i －n
u
2
5
xiyi－5 x y
i＝1
又b^ ＝
5
＝112.3－150×4×5＝1.23.
x2i －5 x 2
i＝1
a^ ＝ y －b^ x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y^ ＝1.23x＋0.08.
(2)根据线性回归方程，预测假设使用年限为10年时，维修费用约是多 少万元？
解 当 x＝10 时，y^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即假设使用10年时，维修费用约为12.38万元.
解 x ＝6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，
4
x2i ＝62＋82＋102＋122＝344，
i＝1
4
xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
i＝1
b^ ＝15384－4－4×4×9×924＝2104＝0.7，
a^ ＝ y －b^ x ＝4－0.7×9＝－2.3，
②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a， 再根据线性回归模型的方法求出a，b. (3)y＝bx2＋a型 处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模 型的方法求出a，b.
跟踪训练3 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原 料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有 关，经统计得到如下数据：
i＝1
d^ ＝ n ui－ u 2
＝2586..255＝12.
i＝1
令 ln c＝m，则m^ ＝ v －d^ u ＝32－12×32＝34，
3
即c＝ e 4 .
3
所以年销售量y与年研发费用x的回归方程为y＝ e4 x.
(2)对数函数型y＝bln x＋a ①函数y＝bln x＋a的图象，如图所示.
故线性回归方程为y^ ＝0.7x－2.3.
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.
n
xiyi－n x y
i＝1
参考公式：b^ ＝
，a^ ＝ y －b^ x .
n
x2i －n x 2
i＝1
解 由(2)中线性回归方程可知，当 x＝9 时，y^＝0.7×9－2.3＝4，即预测 记忆力为 9 的同学的判断力为 4.
(1)利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd(其中c，d均为大于0的常数)哪一 个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型(只要给出判断 即可，不必说明理由)；
解 由散点图可知，选择回归类型y＝c·xd更适合.
(2)对数据作出如下处理，令μ1＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如下表：