高一数学下期期末考试试题含解析

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二
零二壹第二学期期末考试试卷
高一数学
一：选择题。

1.假设sin 0α
<，且tan 0α>，那么α
是〔〕
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限
角 【答案】C 【解析】
sin 0α<，那么α
的终边在三、四象限；tan 0α
>那么α
的终边在三、一象限，
sin 0α<，tan 0α>，同时满足，那么α
的终边在三象限。

2.4sin()3
π
-
的值等于()
A.
12 B.－
12
D.【答案】C 【解析】 【分析】
利用诱导公式把4sin()3π
-
化简成sin 3
π.
【详解】44sin()sin()sin 333πππ-
=-==
【点睛】此题考察诱导公式的应用，即把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，考察根本运算求解才能. 3.
(3,0)AB =，那么AB
等于() A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B 【解析】 【详解】因为(3,0)AB =，
所以
93AB =+=，
应选B.
4.如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是() A. B.85和
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
去掉最低分79分，最高分93分，利用平均数的计算公式求得85x
=，利用方差公式求得2 1.6s =.
【详解】去掉最低分79分，最高分93分，得到数据84,84,84,86,87， 该组数据的平均数8484848687
855
x
++++=
=，
22222
2
(8485)(8485)(8485)(8685)(8785) 1.65
s -+-+-+-+-==.
【点睛】此题考察从茎叶图中提取信息，并对数据进展加工和处理，考察根本的运算求解和读图的才能. 5.函数y=2cos 1x -的最大值、最小值分别是() A.2，－2 B.1，－3
C.1，－1
D.2，－1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦函数有界性确定最值.
【详解】因为1cos 1x -≤≤，所以2cos 1[3,1]y x =-∈-，即最大值、最小值分别是
1，－3，选
B.
【点睛】此题考察余弦函数有界性以及函数最值，考察根本求解才能，属基此题. 6.sin 20︒cos 40︒＋cos20°sin40°的值等于
A.
14
B.
2
C.
12
D.
4
【答案】B 【解析】
由题可得，00000
2040+2040=60sin cos cos sin sin =
.应选B.
7.向量(4,2)a
=-，向量,)5(b x =，且//a b ，那么x 等于()
A.10
B.5
C.52
-
D.10-
【答案】D 【解析】 【分析】
由两向量平行，其向量坐标穿插相乘相等，得到452x ⨯=-. 【详解】因为/
/a b ，所以452x ⨯=-，解得：10x =-.
【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，考察根本运算，注意符号的正负. 8.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是() A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球
【答案】D 【解析】
【详解】试题分析：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况一共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球． 选项A 中，事件“都是红球〞是事件“至少有一个红球〞的子事件,不是互斥事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球〞与事件“都是白球〞是对立事件；
选项C 中，事件“至少有一个红球〞与事件“至少有一个白球〞的交事件为“2个红球1个白球〞与“1个红球2个白球〞,不是互斥事件；
选项D 中，事件“恰有一个红球〞与事件“恰有二个红球〞互斥不对立 考点：互斥事件与对立事件 9.函数
()y Asin x ωϕ=+的局部图象如以下图，那么〔〕
A.
2sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
B.
2sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C.
2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D.
2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． 【详解】根据函数
()y Asin x ωϕ=+的局部图象，可得2A =，
236
T πππ
ω==+，解得2w =，
再根据五点法作图，可得23
2
π
π
ϕ⨯
+=
，解得6
π
ϕ=-
，
故
()226f x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
应选：A ．
【点睛】此题主要考察由函数
()y Asin x ωϕ=+的局部图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点
坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．
10.设函数
()sin(2)2
f x x π
=-〔x ∈R 〕
，那么()f x 是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π
的奇函数 D.最小正周期为
2
π
的偶函数 【答案】B 【解析】
∵f (x )＝sin 22x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
＝－cos2x ， ∴f (x )为偶函数，周期T ＝π. 11.假设将一个质点随机投入长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，那么质点落在以AB 为直径的
半圆内的概率为〔〕
A.
8
π B.
6
π C.
4
π D.
2
π 【答案】C 【解析】 【分析】
质点落在以AB 为直径的半圆内的概率等于半圆面积与长方形面积比. 【详解】如以下图：
2,1AB BC ==，
2
1
12214
S P S ππ
⋅⋅=
==⋅半圆长方形
.
【点睛】此题考察几何概型的概率计算，注意概率值是半圆面积与长方形面积的比值，与单个图形面积的
12.[2021·沙期末]在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，其中a ，b 不一共线，那么四边形ABCD 为() A.平行四边形 B.矩形
C.梯形
D.菱形
【答案】C 【解析】 ∵
AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝－8a －2b ＝2BC ，AB 与CD 不平行，∴四边形ABCD 为梯形．
二、填空题． 13.角α的终边经过点()3,4P ，那么cos α的值是____________.
【答案】
35
【解析】 【分析】
由题意和任意角的三角函数的定义求出cos a 的值即可． 【详解】由题意得角α的终边经过点()3,4P
，那么5OP =，
所以3
cos 5x a OP =
=，故答案为35
． 【点睛】此题考察任意角的三角函数的定义，属于根底题． 14.向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是． 【答案】(3,5)-- 【解析】 试题分析：因为(3,2),(0,1)a
b ==-,所以33(0,1)(3,2)(3,5)b a -=--=--.
考点：向量坐标运算.
15.ABC ∆三个顶点的坐标分别为
(1,0),(1,2),(0,)A B C c -，假设AB ⊥BC ，那么c 的值是______．
【解析】 【分析】 求出
(2,2),(1,2)AB BC c ==--，再利用AB ⋅0BC =，求得3c =.
【详解】(2,2),(1,2)AB BC c ==--，
因为
AB ⊥BC ，所以2(1)2(2)0c ⨯-+⨯-=，解得：3c =.
【点睛】此题考察向量的坐标表示、数量积运算，要注意向量坐标与点坐标的区别.
16.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如以下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，那么在[1500，2000)(元)月收入段应抽出人. 【答案】16 【解析】
试题分析：由频率分布直方图知，收入在1500--2000元之间的概率为0．0004×500=0．2，所以在[1500，2000〕〔元〕月收入段应抽出80×0．2=16人。

考点： 频率分布直方图的应用； 分层抽样。

三、解答题.
17.计算：〔1〕00
000
sin 60sin 90cos 2702cos 4530cos30
-- 〔2〕11817sin
cos tan 63
4ππ
π⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
〔3〕0
0cos15cos75+
【答案】〔1〕；
〔2〕1-；〔3 【解析】
利用诱导公式，对每一道题目进展化简求值.
【详解】〔1
〕原式02=-
-+= 〔2〕原式1811cos tan(4)()1123422
πππ=
-+⋅+=-+-⋅=-. 〔3〕原式226
sin 75
cos752(
sin 75cos75)2sin120222
=+=+==
. 【点睛】在使用诱导公式时，注意“奇变偶不变，符号看象限〞法那么的应用，即辅助角为2
π
的奇数倍，函数名要改变；假设为
2
π
的偶数倍，函数名不改变. 18.求值：〔1〕一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数；
〔2〕sin cos 2sin cos αααα
+=-，计算
3sin cos 2sin 3cos αα
αα-+. 【答案】〔1〕2；〔2〕8
9
.
【解析】 【分析】
〔1〕设出扇形的半径为r ，弧长为l ，利用面积、周长的值，得到关于,l r 的方程； 〔2〕由条件得到sin 3cos α
α=，再代入所求的式子进展约分求值.
【详解】〔1〕设扇形的半径为r ，弧长为l ，那么1
1,
224,
l r l r ⎧⋅⋅=⎪⎨⎪+=⎩解得：2,1.l r =⎧⎨=⎩
所以圆心角的弧度数2
||21
l r α=
==. 〔2〕因为
sin cos 2sin cos αα
αα+=-，所以sin 3cos αα=，
所以3sin cos 8cos 82sin 3cos 9cos 9
αααααα-==+.
【点睛】假设sin ,cos ,tan ααα三个中，只要知道其中一个，那么另外两个都可求出，即知一求二.
19.02
πα<<
，4sin 5
α
． (1)求tan α及sin 2α的值；
(2)求cos 2sin 2πα
α⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭的值．
【答案】〔1〕4tan 3α
=
，24sin 225α=；〔2〕825
.
【解析】 【分析】 〔1〕由02
πα
<<
，4sin 5
α
，利用22sin cos 1αα+=，可得cos α的值，再利用sin tan cos ααα=
及二倍角公式，分别求得tan α及sin 2α的值；
〔2〕利用倍角公式、诱导公式，可得原式的值是
8
25
. 【详解】〔1〕因为02
π
α
<<
，4sin 5α
，所以3cos 5α=，所以sin 4tan cos 3ααα==，
4324
sin 22sin cos 25525
ααα=⋅=⋅⋅=
. 〔2〕原式2
23382cos 1cos 2()15525
αα=-+=⋅-+=
【点睛】假设sin ,cos ,tan ααα三个中，只要知道其中一个，那么另外两个都可求出，即知一求二. 20.||4,||3,(23)(2)61a b a b a b =
=-⋅+=.
(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求||a b +.
【答案】〔1〕23
π
θ=
；〔2〕
【解析】 【分析】 〔1〕由
(23)(2)61
a b a b -⋅+=得到
6
a b ⋅=-，又
||4,||3
a b ==代入夹角公式
cos ||||
a b
a b θ⋅=
，求出cos θ的值；
〔2〕利用公式2||()a b a b +=+进展模的求值.
【详解】〔1〕因为
2
2
(23)(2)6144361a b a b a a b b -⋅+=⇒-⋅-=，所以6a b ⋅=-，
因为61
cos 43
2||||a b a b θ⋅-=
==-⋅，因为0θπ
≤≤，所以23
π
θ
=
. 〔2〕2
2
2||()213a b a b a a b b +=+=+⋅+=.
【点睛】此题考察数量积的运算及其变形运用，特别注意2
2||a a =之间关系的运用与转化，考察根本运算才能.
21.函数
()sin .f x x x =
(1)求()f x 的最值、单调递减区间；
〔2〕先把
()y f x =的图象向左平移
π
3
个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到函数()y g x =的图象，求π
()6
g 的值.
【答案】〔1〕max ()2f x =，min ()2f x =-，单调递减区间为7[2,2],66
k k k Z ππ
ππ++∈；
〔2.
【解析】 【分析】
〔1〕函数
()sin 2sin()
3
f x x x x π
=+=+
，得最大值为
2
，并解不等式
3222
3
2
k x k π
π
π
ππ+
≤+
≤+
，得到函数的单调递减区间；
〔2〕由平移变换、伸缩变换得到函数2()2sin()23
x y g x π==+，再把6x π
=代入求值.
【详解】〔1〕因为()sin 2sin()3
f x x x x π
=+=+
，
所以当2,3
2
x k k Z π
π
π+=+
∈时，max ()2f x =，
当2,3
2
x k k Z π
π
π+
=-
∈时，min ()2f x =-.
由372222,23266
k x k k x k k Z πππππππππ+≤+≤+
⇒+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为7[2,2],66
k k k Z ππππ++∈. 〔2〕()y f x =的图象向左平移π3个单位得：22sin()3y x π=+，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕得：()y g x =22sin()23x π=+，
当6x π
=时，π()6g 232sin()2sin 212342
πππ=+==⋅= 【点睛】此题考察三角函数中的辅助角公式、三角函数的性质、图象变换等知识，对三角函数图象与性质进展综合考察. 22.(3sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =，()221,(,)f x a b m x m R =⋅+-∈．
(1)求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；
(2)假设当[0,
]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值． 【答案】〔1〕
()2sin(2)26f x x m π=++,T π=；〔2〕3m =. 【解析】
【分析】
〔1〕根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式得：
()2sin(2)26f x x m π=++，并求出最小正周期为π；
〔2〕由[0,]2x π∈，得到72666x πππ≤+≤，从而1sin(2)126
x π-≤+≤，再根据()f x 的最小值为5，求得3m =.
【详解】
〔1〕()2212cos222sin(2)26f x a b m x x m x m π=⋅+-=++=++， 所以22
T ππ==. 〔2〕当[0,
]2x π∈时，那么72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤， 所以min 1()2()252
f x m =⋅-+=，解得：3m =. 【点睛】此题考察向量与三角函数的交会，求函数()f x 的最值时，要注意整体思想的运用，即先求出
72666x π
π
π
≤+≤，再得到1sin(2)126x π-≤+≤.。