广西高考数学一轮复习 考点规范练2 不等关系及简单不等式的解法 文-人教版高三全册数学试题

考点规范练2 不等关系及简单不等式的解法
一、基础巩固
1.设a ,b ,c ∈R ,且a>b ,则( )
A.ac>bc
B.1a <1
a
C.a 2>b 2
D.a 3>b 3
a>b ,当c<0时,ac<bc ,故A 错;
当a>0,b<0时,显然满足a>b , 此时1a >1
a ,故B 错; 当b<a<0时,a 2
<b 2
,故C 错;
∵幂函数y=x 3在R 上是增函数,∴当a>b 时,a 3>b 3.故选D .
2.若集合A={x|ax 2
-ax+1<0}=⌀,则实数a 的取值范围是( ) A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a ≤4} D.{a|0≤a ≤4}
a=0时,满足条件.
当a ≠0时,由集合A={x|ax 2
-ax+1<0}=⌀, 可知{
a >0,
a =a 2-4a ≤0,
得0<a ≤4.
综上,可知0≤a ≤4.
3.设a ,b ∈[0,+∞),A=√a +√a ,B=√a +a ,则A ,B 的大小关系是( ) A.A ≤B B.A ≥B
C.A<B
D.A>B
B 2-A 2
=-2√aa ≤0,且A ≥0,B ≥0,可得A ≥B ,故选B . 4.若1
a
<1
a <0,则在下列不等式:①
1
a +a
<
1
aa
;②|a|+b>0;③a-1a
>b-1
a
;④ln a 2>ln b 2
中,正确的不
等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析因为1a <1
a <0,故可取a=-1,b=-2.
因为|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;
因为ln a 2
=ln(-1)2
=0,ln b 2
=ln(-2)2
=ln4>0,所以④错误. 综上所述,②④错误,故选C .
5.已知α∈(0,π
2),β∈[0,π
2],则2α-a
3的取值范围是( ) A.(0,
5π6
) B.(-π6,
5π6
)
C.(0,π)
D.(-
π6
,π)
0<2α<π,0≤a 3≤π
6,
∴-π6≤-a 3≤0,∴-π6<2α-a
3<π.
6.(2018湖北荆州月考)已知不等式x 2
-3x<0的解集是A ,不等式x 2
+x-6<0的解集是B ,不等式
x 2+ax+b<0的解集是A ∩B ,则a=( )
A.-2
B.1
C.-1
D.2
x 2
-3x<0,得A={x|0<x<3}.解不等式x 2
+x-6<0,得B={x|-3<x<2}.又不等式x 2
+ax+b<0的解集是A ∩B={x|0<x<2},由根与系数的关系得-a=0+2,所以a=-2. 7.不等式a -2
a 2-1<0的解集为( )
A.{x|1<x<2}
B.{x|x<2,且x ≠1}
C.{x|-1<x<2,且x ≠1}
D.{x|x<-1或1<x<2}
解析因为不等式a -2
a 2-1<0等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0,
所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.
8.若对任意x ∈R ,不等式mx 2
+2mx-4<2x 2
+4x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.(-2,2]
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪[2,+∞)
D.(-∞,2]
(m-2)x 2
+2(m-2)x-4<0在x ∈R 上恒成立,
①当m=2时,对任意x ∈R ,不等式都成立;
②当m ≠2时,由不等式(m-2)x 2+2(m-2)x-4<0在x ∈R 上恒成立, 可知{a -2<0,4(a -2)2
+16(a -2)<0,
解得-2<m<2. 综上①②,得m ∈(-2,2].
9.若不等式f (x )=ax 2
-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f (-x )的图象为( )
方法一)由根与系数的关系知1a =-2+1,-a
a =-2,解得a=-1,c=-2.
所以f (x )=-x 2
-x+2.
所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.
(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.
又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,
所以y=f(-x)的图象如图.
10.函数y=√a2+a-12的定义域是.
-∞,-4]∪[3,+∞)
x2+x-12≥0得(x-3)(x+4)≥0,故x≤-4或x≥3.
11.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围
是.
-4
5
,+∞)
不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,
∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.
∴a2+b2-2b≥a2
4
+b2-2b
=5 4(a-4
5
)2−4
5
≥-4
5
.
∴a2+b2-2b的取值范围是[-4
5
,+∞).
12.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.
-∞,1)
f(x)=x2+(k-4)x+4-2k图象的对称轴方程为x=-a-4
2=4-a
2
.
①当
4-a 2
<-1,即k>6时,f (x )的值恒大于零等价于f (-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k
不存在.
②当-1≤
4-a 2
≤1,即2≤k ≤6时,
f (x )的值恒大于零等价于f (4-a 2
)=(
4-a 2
)2+(a -4)×
4-a 2
+4-2k>0,即k 2<0,故k 不存在.
③当
4-a 2
>1,即k<2时,f (x )的值恒大于零等价于f (1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.
综上可知,当k<1时,对任意x ∈[-1,1],函数f (x )=x 2
+(k-4)x+4-2k 的值恒大于零.
二、能力提升
13.已知函数f (x )=(ax-1)(x+b ),如果不等式f (x )>0的解集是(-1,3),那么不等式f (-2x )<0的解集是( )
A.(-∞,-3
2)∪(1
2,+∞) B.(-32,1
2) C.(-∞,-1
2)∪(3
2,+∞) D.(-1
2,3
2)
f (x )=0的两个解是x 1=-1,x 2=3,且a<0.
由f (-2x )<0得-2x>3或-2x<-1, 解得x<-3
2
或x>1
2
.
14.已知关于x 的不等式(a 2-1)x 2
-(a-1)x-1<0的解集是R ,则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞,-3
5)∪(1,+∞)
B.(-3
5
,1)
C.[-3
5,1] D.(-3
5,1]
a=1时,满足题意;当a=-1时,不满足题意;
当a ≠±1时,由(a 2-1)x 2
-(a-1)x-1<0的解集为R ,
可知{a 2-1<0,(a -1)2+4(a 2-1)<0,
解得-3
5<a<1. 综上可知-3
5<a ≤1.
15.已知实数x ,y 满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy ,则x ,y 的取值范围是( ) A.x>2,且y>2
B.x<2,且y<2
C.0<x<2,且0<y<2
D.x>2,且0<y<2
{
aa >0,a +a >0⇒{a >0,
a >0.
由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y )<0, 得{
a >2,a >2
或{0<a <2,0<a <2,
又xy<4,可得{0<a <2,
0<a <2.
故选C .
16.若关于x 的不等式x 2
+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为 .
-235
,+∞)
2
+ax-2>0在[1,5]上有解可转化为a>2
a
-x 在[1,5]上有解.
令f (x )=2a -x ,可得f'(x )=-2
a 2-1.
当x ∈[1,5]时,f'(x )<0,即f (x )在[1,5]上是减函数. 所以f (x )在[1,5]上的最小值为f (5)=2
5
-5=-23
5
.
所以a>-23
5.
17.若对一切x ∈(0,2],不等式(a-a 2
)(x 2
+1)+x ≤0恒成立,则a 的取值范围是 .
-∞,
1-√32
]∪[
1+√32
,+∞)
x ∈(0,2],∴a 2
-a ≥
a a 2+1
=
1
a +1
a
.
要使a 2
-a ≥
1
a +1
a 在x ∈(0,2]时恒成立,
则a 2
-a ≥(
1
a +1
a
)
max
.
由基本不等式得x+1
a ≥2,当且仅当x=1时,等号成立, 即(
1
a +1
a
)
max =1
2
,故a 2
-a ≥1
2
,
解得a ≤1-√32
或a ≥
1+√32
.
三、高考预测
18.已知函数f (x )=-x 2+ax+b 2
-b+1(a ,b ∈R ),对任意实数x 都有f (1-x )=f (1+x )成立,当x ∈[-1,1]时,f (x )>0恒成立,则b 的取值范围是( ) A.-1<b<0 B.b>2 C.b<-1或b>2 D.不能确定
f (1-x )=f (1+x )知f (x )的图象的对称轴为直线x=1,即a
2=1,故a=2.
又可知f (x )在[-1,1]上为增函数,故当x ∈[-1,1]时,f (x )min =f (-1)=-1-2+b 2
-b+1=b 2
-b-2. 当x ∈[-1,1]时,f (x )>0恒成立等价于b 2
-b-2>0,解得b<-1或b>2.。