华东师大版八年级下册数学18.2 平行四边形的判定

探
你还能想到其他的判定方法吗？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
一组对边平行，另一组对边相等的四边形 是平行四边形
探索1
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
已知：如图、在四边形ABCD中，AB∥CD、AB＝CD
求证：四边形ABCD是平行四边形
A 13
D
42
B
C
探索1结论
平行四边形的判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
已知： 如图，四边形ABCD中，已知∠A＝∠C， ∠B＝∠D．
求证： 四边形ABCD是平行四边形．
你有几种证明的方法？
图 20.1.8
分析：根据∠A= ∠C, ∠B= ∠D,可以证明四边形 ABCD的两组对边分别平行，从而根据定义可得四边形 ABCD是平行四边形.
A B
D
A
C
B
D C
得
平行四边形的判定方法：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） 2.两组对边分别相等的的四边形是平行四边形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
练
填空：
随堂演练
如图,四边形ABCD中
A
D
AD∥CB 或者AB=CD
B
C
(1)若AB∥CD,补充条件_____, 使四边形ABCD为平行四边形。
证明：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF， ∴OE=OF．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB， DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大 小关系和位置关系，并加以证明．
则四边形ABCD是平行四边形吗？
B
C
为什么？
⑵若∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝120°，∠D＝60°，则
四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
⑶若∠A＝x°,∠B＝y°,∠C=x°，∠D＝y°，则四边形
ABCD是平行四边形吗？为什么?
综上可知，当∠A与∠C，∠B与∠D分别满足什么关系时，四
边形ABCD是平行四边形？
证明：在四边形ABCD中， ∵∠A+ ∠ B + ∠C+ ∠ D=360°
∠ A = ∠C, ∠ B = ∠ D ∴2（ ∠A+ ∠ B）=360° ∵∠A+ ∠ B=180°，∴AD∥BC 同理可证AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对边分别平行的四边形是平行四图 2边0.1.8形）
证明 连结BD，交AC于点O
图 20.1.9
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OB＝OD， OA＝OC。
∵ AE＝FC，
∴ OE＝OF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相
平分的四边形是平行四边形）．
阅读思考题
如图，在四边形ABCD中 ⑴若∠A＝100°，∠B＝80°，
A
D
∠C＝100°，∠D＝80°，
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 2、对角线： 平行四边形对角线互相平分
平行四边形的判定方法1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
D
B
C
数学语言： ∵ AD∥CB，AB∥D C，
∴ 四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定
证
方法2
命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
求已证知：：四如边图形在A四B边C形AD是AB平C行D四中边，D 形AD. ＝AB1C、3AB＝DC
∴四边形EHFG为平行四边形．
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
必须记住我们学习的时间有限的。 时间有限，不只由于人生短促，更 由于人事纷繁。 —— 斯宾塞
第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
新课导入 你熟悉这些图形吗？
忆
你还记得吗？
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
进入新课
你能分别说出他们的逆命题吗？
说猜
这些逆命题成立吗？
平行四边形的主要性质: 平行四边形的判定
方法1
1、边： a.平行四边形两组对边分别平行. 两组对边b分.平别行平四行边的形四两边组形对是边平分行别四相边等形. （. 定义）
解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关 系是：平行且相等．
证明：∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∵OA=OC，∠AOD=∠COE ∴△ADO≌△CEO， ∴AD=CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴ CD ∥ AE．
1.如图所示，□AECF的对角线相交于点O， 随堂训练
DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边 形ABCD是平行四边形．
下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行 四边形的是（ D）
A.∠A=∠C，∠B=∠D B.∠A=∠B=∠C=900 C.∠A+∠B=1800 ，∠B+∠C=1800 D.∠A+∠B=1800 ，∠C+∠D=1800
A
D
B
C
典例解析
例1 如图，平行四边形ABCD，E、F 两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC， CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形AECF是平行四边形 ∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF， ∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO， ∴△FDO≌△EBO， ∴OD=OB，∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形．
2.已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB， CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中 点．求证：四边形EHFG是平行四边形．
证明：如图所示，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG=
1 2
OA，OH=
1 2
OC，∴OG=OH．
又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．
(2)若AD=CB,补充条件_____,使四边形ABCD为平行四边形。
AD∥CB 或者AB=CD
应用 例：
你还有其他 方法吗？
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD
上的两点，且AF＝CE。
求证：四边形AECF为平行四边形.
可证求明得：∵△四A边BE形≌AB△CDC是D平F行(S四.A边.形S)
∠C沿FN折叠使点C也落在点D上，则小明就说四边
形AEDF是平行四边形，请你帮他说明理由；
N
c
D M
B
E
F 提示：可由等腰及折叠，从
角度关系入手，由同旁内角
互补得出两对边互相平行，
A
从而得出四边形AEDF是平行
四边形.
课堂小结
平行四边形的判定方法
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
证明：∵OA=CO.∠AOD=∠COB(对顶角相等). ∴OB=OD.∴△AOD≌△COB. ∴AD=BC.同理△AOB≌△COD, ∴AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形
如图，在□ABCD中， 点E、F是对角线AC上的两点， 且AE＝CF， 求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析 连结BD，交AC于点O，由于OB＝OD 因此用“对角线互相平分的四边形是平行四 边形”来证明四边形BFDE是平行四边形最为 恰当，根据题意只需证明OE＝OF．
A FD
∴AE∴=CADF∥BC 又∵AF=CE
∴四边即A形F∥ACBECD是平行四边形 B
EC
（两组对又边∵分AF别＝相CE等的四边形是平行
四边形）∴四边形AECF是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
拓展
如图，小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，
其AB=AC，他把∠B沿EM折叠使点B落在点D上，把
对角线互相平分的四边形是平行 进入新课
四边形．它是真命题吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD 相交于点O，AO＝CO， BO＝DO． 求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：要证明四边形ABCD是平行四 边形，可以用定义，也可以用平行 四边形的两条判定方法，请你选择 一种方法完成证明．
方法3
一组对边平行且相等的
A
D
四边形是平行四边形.
B “平行且相等”常用符号＝“∥ ”来表示
C
AB∥CD且AB=CD，记作“AB＝∥ CD”
读作：“AB平行且等于CD”
数学语言：∵ AD∥CB，AD= BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形
命题： 探索2
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定（2）
复习导入
我们学习了哪些判定平行四边形的方法？ 1、平行四边形的定义： 2、两组对边相等的四边形是平行四边形； 3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 。
平行四边形的对角线具有什么性质？ 平行四边形的对角线互相平分。
这个命题的逆命题是什么？
证∵∴数明A△学D：A语=B连BC言C结≌，：A△ACBB∵C=DDACA（，BSA＝SCCS=CD)A，CADB= BC， 4
2 C
∴∠1= ∠2， ∠∴3=∠四4边(全形等A三B角C形D的是性平质)行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC(内错角相等，两直线平行)
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）