第六章-1变分法的基本概念
变分原理与变分法
变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。
它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。
变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。
变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。
它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。
作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。
换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。
在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。
通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。
变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。
泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。
在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。
这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。
变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。
这个变化就是变分，通常用符号δ表示。
然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。
最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。
在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。
它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。
总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。
它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。
变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。
变分法理论与应用
变分法理论与应用变分法是数学中的一个重要分支，通过对函数的变分求解，可以求出其最值或最优解，应用广泛，例如在物理学中经常用于研究粒子的运动，友情学中应用于最小能量曲线的求解，化学中应用于量子化学中分子的电子结构计算等等。
本篇文章将着重介绍变分法的理论基础以及其在各个领域中的应用。
一、变分法理论1.1 变分基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分中的一些基本概念。
函数是指把数域上的任意数 $x$ 映射到数域上的一个确定数$y$ 的规则，而变分则是指沿着某个函数进行微小的变化，并据此研究该函数的性质变化。
我们将一个函数 $y=f(x)$ 的变分记作$y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其中 $\varepsilon$ 是一个无穷小量，$g(x)$ 是一个任意函数。
1.2 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一种重要方程，它的本质是通过对泛函进行变分求解，求出泛函的最值或最优化解。
泛函是一类函数，它映射函数到实数集合，例如以 $y=f(x)$ 表示的函数 $f$，它的变分为 $y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其泛函表示为：$$J[f]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx$$其中 $L(x,y,y')$ 是 Lagrange 函数，$y'=\frac{dy}{dx}$。
对该泛函进行变分：$$\delta J=\delta\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx=\int_{a}^{b}\frac{\partialL}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'dx $$用分部积分法将第二项转换为：$$\delta J=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\deltaydx+\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y\right)\biggr|_{a}^{b} $$由于 $\delta y(x)$ 在 $x\in[a,b]$ 的端点 $a$ 和 $b$ 处任意，因此求解泛函的变分问题可以转化为求解边界条件。
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分法求基态能量的步骤课件
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对非线性问题处理困难 对于非线性问题，变分法往往难以找到合适的变分形式来 逼近真实解，这使得变分法在处理非线性问题时具有一定 的局限性。
变分法的未来发展
结合其他方法
为了克服变分法的局限性，未来研究可以将变分法与其他方法（如有限元方法、有限差分 方法等）相结合，形成一种混合方法，以提高算法的稳定性和精度。
变分法求基态能量的 步骤课 件
目录
CONTENTS
• 变分法的基本概念
01
引言
变分法的定义
定义
变分法是数学的一个分支，主要研究泛函的极值问题，即寻找函数集合中使特 定泛函取得极值的函数。在量子力学中，变分法用于求解粒子在给定势能下的 基态能量。
公式表示
假设粒子在势能函数V(x)下运动，基态能量E0可以通过变分法求解的公式为： E0 = ∫ (dV/dx²) dx。
氢原子的基态能量求解
氢原子是原子物理中的基本模型，其基态能量的求解可以 通过变分法实现。
首先，我们需要确定氢原子的运动方程，即薛定谔方程。 然后，我们构造一个变分函数来近似描述氢原子的波函数。 接下来，将变分函数代入薛定谔方程，并求解得到基态能 量。最后，我们需要验证求解结果的正确性。
谐振子的基态能量求解
泛函的极值与变分法
泛函的极 值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的
应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
基态能量的物理意义
描述系统的基本性质和行为，是研究系统稳定性和相变等问题的关 键参数。
变分法基本引理
变分法基本引理变分法是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其基本引理为变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
本文将围绕变分法基本引理展开讨论，介绍其基本概念、原理和应用。
一、引言变分法是数学中研究变量函数的极值问题的一种方法。
其基本思想是通过将极值问题转化为一个函数的极值问题，从而求解原问题。
变分法的基本引理是变分法的基础，为后续的推导和应用提供了重要的理论支持。
二、变分法基本引理的概念变分法基本引理是对于函数的变分的一种数学表述。
它指出，如果函数在某一点处取得极值，那么在该点处的变分为零。
换言之，如果一个函数在某一点处的变分不为零，那么该点不是函数的极值点。
三、变分法基本引理的原理变分法基本引理可以通过泛函导数的概念来理解。
泛函导数是对函数的变分的一种推广，它表示函数在某一点处的变分相对于该点处的微小变动的比率。
根据变分法基本引理，如果一个函数在某一点处的泛函导数为零，那么该点是函数的极值点。
四、变分法基本引理的应用变分法基本引理在实际问题中有着广泛的应用。
以经济学为例，我们可以将经济系统的效用函数看作一个泛函，通过变分法求解该泛函的极值，得到最优的经济决策。
类似地，变分法在物理学中的应用也十分广泛，例如用于求解最短路径、最小作用量和最小曲面等问题。
五、变分法基本引理的思考虽然变分法基本引理在理论和应用上都具有重要的意义，但在实际问题中的应用也面临一定的挑战。
首先，变分法需要对变分进行严格的数学推导，这对于一些复杂的问题来说是一项困难的任务。
其次，变分法在求解极值问题时并不一定能得到全局最优解，而可能仅能得到局部最优解。
六、结论变分法基本引理是变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
通过对变分法基本引理的理论分析和应用示例的介绍，我们可以看到变分法在实际问题中的重要性和应用价值。
在今后的研究和应用中，我们应进一步深化对变分法的理解，不断拓展其应用领域，为解决复杂问题提供更有效的数学工具。
数学物理中的变分方法
数学物理中的变分方法在数学和物理学中，变分方法是一种重要的数学工具，用于研究函数的极值问题。
它的基本思想是将问题转化为求解某个泛函的极值，通过变分运算来找到泛函的极值条件。
变分方法在许多领域中都具有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、力学以及最优控制等。
本文将介绍数学物理中的变分方法的基本原理和应用。
1. 变分运算的基本概念变分运算是对函数进行微小改变，并计算这种改变对泛函的变化量。
我们考虑一个函数f(x)，其中x是自变量。
对函数f进行微小变化，可以表示为f(x+δx)，其中δx是一个无穷小量。
定义变分算子为∂/∂x，它表示对函数f进行微小的变化。
通过计算变分算子作用在函数f上的结果，可以得到泛函的变化量。
2. 泛函的极值条件对于一个泛函J[f]，我们希望找到函数f的一个极值，使得J[f]取得最小或最大值。
为了得到这个极值条件，我们需要求解变分方程。
变分方程的一般形式为：δJ[f] = 0如果函数f满足这个方程，那么它就是泛函J的一个极值。
3. 单变量变分法单变量变分法是变分方法中最简单的一种形式。
它适用于只有一个自变量的函数。
假设我们有一个泛函J[f]，其中f=f(x)，x是自变量。
首先，我们引入辅助函数g(x)，其中g(x)在与f(x)相等的区域内任意变化，在其他区域内为零。
然后，考虑泛函J的一个线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)其中ε是一个无穷小量。
通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]现在，我们需要将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x)。
4. 多变量变分法多变量变分法适用于有多个自变量的函数。
假设我们有一个函数f=f(x1,x2,...,xn)，其中xi是自变量。
类似于单变量情况，我们引入辅助函数g(xi)，并考虑泛函J的线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)同样地，通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]类似于单变量情况，我们将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x1,x2,...,xn)。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
数学中的变分法
数学中的变分法数学中的变分法是一种重要的数学分析方法，它在各个领域具有广泛的应用。
本文将介绍变分法的基本概念、原理和应用，以及一些典型的例子。
一、基本概念1.1 变分问题在数学中，变分法主要用于研究变分问题。
所谓变分问题，是指要找到一个函数，使得特定的泛函取得极值。
泛函是一个对函数进行操作的函数，通常表示为一个积分形式。
1.2 泛函泛函是一个映射，它将一个函数空间中的每个函数映射到一个实数。
泛函的极值问题是变分法关注的核心内容。
二、原理与方法2.1 欧拉-拉格朗日方程变分法的核心思想是通过欧拉-拉格朗日方程来求得泛函的极值。
欧拉-拉格朗日方程是微分方程的一种形式，其推导基于变分学习中的一些基本假设。
2.2 性质与特点变分法具有以下性质和特点：（1）对连续问题和离散问题皆适用；（2）使用变分法可以简化求解过程；（3）可以应用于求解一些无法通过传统数学方法解决的问题。
2.3 常用方法常见的变分法方法包括变分法、极大极小值原理、最小二乘方法等。
这些方法在不同的数学问题中有不同的应用。
三、应用领域3.1 物理学中的应用变分法在物理学中有广泛的应用，例如，它可以用于解决力学、电磁学、量子力学等领域的问题。
其中，著名的费马原理和哈密顿原理就是基于变分法的。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法可以应用于结构力学、流体力学、电气工程等领域。
例如，通过应用变分法，可以得到最优化设计问题的解。
3.3 经济学中的应用变分法在经济学中也有一些应用。
例如，在经济学中，当我们面临一个最优决策问题时，可以把问题转化为一个泛函的极值问题，并使用变分法求解。
四、典型例子4.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题。
我们可以通过变分法来解决最短路径问题，其中泛函表示为路径长度的积分形式。
4.2 边值问题边值问题是微分方程中常见的问题。
通过应用变分法，我们可以将边值问题转化为泛函的极值问题，并进一步求解。
4.3 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要定理之一。
变分法与变分方程的基本概念与应用
变分法与变分方程的基本概念与应用变分法和变分方程是数学中重要的概念和工具，在科学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍变分法和变分方程的基本概念，探讨其原理和应用，并列举一些实际问题中的案例。
一、变分法的基本概念1.1 变分的定义变分是函数对输入参数微小改变的响应，用于描述函数在其定义域上的变化情况。
1.2 变分的原理变分原理是变分法的核心思想，它基于极值原理，寻找函数使得变分为零的条件。
也就是说，通过变分法可以找到使得泛函（函数之间的映射）取得极值（最大值或最小值）的函数。
1.3 变分的求解变分的求解可以通过欧拉方程来实现，欧拉方程是变分法的求解工具。
通过求解欧拉方程，可以得到函数的极值条件。
二、变分方程的基本概念2.1 变分方程的定义变分方程是函数的导数方程，其中函数可以是标量函数、矢量函数或函数的集合。
变分方程描述了泛函的最小化问题，即在给定的约束下，找到使得泛函取得极值的函数。
2.2 变分方程的原理变分方程的原理是利用变分法求解方程，通过求解约束条件下使得泛函取得极值的函数，可以得到变分方程的解。
2.3 变分方程的求解变分方程的求解需要将方程转化成一个变分问题，然后使用变分法进行求解。
具体求解方法与问题的性质和约束条件有关。
三、变分法与变分方程的应用3.1 物理学中的应用在物理学中，变分法和变分方程有着广泛的应用。
例如，在经典力学中，变分法被用来推导和求解拉格朗日方程，描述物体在给定约束下的最小作用量原理。
此外，变分法还应用于量子力学、电磁学和热力学等领域。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法和变分方程被广泛应用于结构力学、电子学和材料科学等领域。
例如，在结构力学中，变分法可以用于求解复杂结构下的应力和位移分布，以及优化设计问题。
3.3 经济学中的应用在经济学领域，变分法和变分方程也有一些应用。
例如，在经济学中，变分法可以用来优化生产函数和成本函数，以及求解最优控制问题。
四、变分法与变分方程的案例分析4.1 案例一：自然界的最小作用量原理自然界的很多现象都可以通过最小作用量原理进行解释。
力学中的数学方法-变分法
y
图
4
此时质点的速度是
ds = 2gy dt
从 A滑到B所需的时间为
∫ ∫ ∫ T = tB dt
B
=
ds
B 1+y′2
=
dx
tA
A 2gy
A 2gy
B 1+y′2
T[ y(x)] = ∫A
dx 2gy
5
x 式中 y′ 代表对 求一阶导数． 我们称上述的 T 为
y(x) 的泛函，而称 y(x) 为可取的函数类，为泛函 T[ y(x)]
J[ y(x) + εη(x)] 取极值． 17
于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数
Φ(ε ) 的极值问题．
由函数取极值的必要条件
dΦ
dε
|ε
=0
=
0
即有
∂J
∂ε
|ε =0 =
0
a) 泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式
∫ J[ y(x)] = b F (x, y, y′ )dx a
14
函数
微分：
Δz = f (x + Δx) − f (x)
变分：
泛函
δU = U[y(x) + δy(x)]−U[y(x)]
= A(x)Δx + ωΔx
当Δx→0时，ω →0，则 Δ z 可
用其线性主部表示其微分。即
= L[y(x)]δy + βmax δy L[y(x)] —— U 增量的线性主部
于求一条通过两点，长度固定为的曲线 y( x), 使面积
b
∫ S = y(x)dx 取极大值） a 25
其中 l, y0 , y1 为常数．此类问题可以仿照普通函数的
变分法的概念与应用
变分法的概念与应用变分法是数学分析的一个重要分支，它主要研究函数的极值问题。
变分法的概念和应用在物理学、工程学以及经济学等领域中都有广泛的运用。
本文将介绍变分法的基本概念、变分问题的一般形式以及变分法在不同领域中的应用。
一、变分法的基本概念变分法是数学中研究最值问题的一种方法，它主要依赖于变分和泛函的概念。
在变分法中，我们不仅仅研究函数的值，而是研究由函数组成的集合的性质。
1. 变分变分是指函数的微小改变。
在变分法中，我们考虑函数在其定义域内的某个小区间上的变化情况。
通过对函数进行微小的变化，我们可以得到函数的变分。
2. 泛函泛函是指由函数所组成的对象。
与函数不同，泛函是将函数映射到一个实数上的规则。
泛函可以被看作是函数的函数，它描述了函数集合中的某种性质。
二、变分问题的一般形式在变分法中，我们通常关注泛函的极值问题。
这类问题可以表示为：找到一个函数使得某个泛函取得最大或最小值。
1. 极小值问题极小值问题是变分问题中最常见的一类问题。
对于一个给定的泛函，我们希望找到一个函数使得该泛函取得最小值。
2. 极大值问题与极小值问题类似，极大值问题是指在给定的泛函下找到一个函数使得该泛函取得最大值。
三、变分法在不同领域中的应用变分法在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
以下将分别介绍其中的几个典型应用。
1. 物理学应用在物理学中，变分法被广泛用于描述自然界中的各种物理现象。
其中最著名的应用之一是费马原理，它描述了光的传播路径满足光程最短的原理。
通过使用变分法，可以导出折射定律和反射定律等光学定律。
2. 工程学应用在工程学领域，变分法被应用于结构力学、流体力学以及电磁学等问题的求解。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解桥梁和建筑物等结构的最小曲线和最小表面形状。
3. 经济学应用变分法在经济学中的应用主要集中在最优控制问题的求解上。
在经济学中，我们经常关注如何通过制定最优决策来达到特定的目标。
通过变分法，可以求解出最优控制策略，从而实现最大化利润或最小化成本等经济目标。
变分法简介剖析课件
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
(完整版)变分法简介(简单明了易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分法的基本原理
变分法的基本原理
变分法是一个数学和物理学中的基本原理，用于解决求极值的问题。
它的基本思想是将要求解的函数表示为一个参数化的函数形式，然后根据极值的必要条件，通过对函数进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，进而求解该方程来确定极值。
具体来说，假设我们要求解一个函数f(x)，其中x是一个变量，而f(x)是一个依赖于x的函数。
我们将f(x)写成x的函数形式：f(x) = F[x(x)]，其中F[x(x)]是一个关于函数x的函数。
现在，
我们希望找到使函数f(x)取得极值的函数x(x)，即要找到满足
条件δf(x) = 0的函数x(x)。
在变分法中，我们引入一个待定函数z(x)作为近似解，称为变
分函数。
我们可以写成x(x) = z(x) + εη(x)，其中ε是一个无穷
小量，η是一个任意函数。
将近似解代入到δf(x) = 0的表达式中，并保留到一阶无穷小量，得到一个关于η(x)的方程。
然后，我们要求满足边界条件的η(x)，以唯一确定满足条件δf(x) = 0
的近似解z(x)。
最后，我们解决这个方程，得到满足条件δf(x) = 0的函数z(x)，即原始问题的近似解。
然后，我们可以通过适当的数值计算或者分析来确定z(x)的特征和性质，从而得到原始问题的极值解
或最优解。
总的来说，变分法通过引入一个待定函数作为近似解，将原问题转化为求解方程的问题。
通过对近似解进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，并通过解决这个方程来确定极值解。
这种方法在数学和物理学的许多领域中都有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、泛函分析等。
理解变分法-概述说明以及解释
理解变分法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学和物理学领域中，变分法是一种重要的数学工具和方法，用于解决极值问题。
变分法通过构建一个泛函，对其中的函数进行变分，来求解函数在给定条件下使得泛函取得极值的问题。
变分法的核心思想是在一个函数空间中寻找函数的极值点，这使得它在科学和工程领域中具有广泛的应用。
在现代物理学中，变分法被广泛应用于解决复杂的动力学问题。
例如，在经典力学中，变分法可以用于推导出作用量原理，从而得到运动方程。
在量子力学中，变分法则可以用于计算量子态的能量最小值，从而研究原子结构和分子动力学。
在工程领域中，变分法也被广泛应用于结构力学、热传导等领域。
通过变分法，工程师可以求解各种复杂的边值问题，优化结构设计，提高工程效率。
总的来说，变分法是一种强大的数学工具，它在解决各种科学和工程问题中都发挥着重要作用。
本文将通过深入探讨变分法的基本原理及其在物理学和工程领域的应用，来帮助读者更好地理解和应用这一方法。
1.2 文章结构文章结构部分将介绍整篇文章的组织架构和内容安排。
首先，我们将从引言部分入手，包括概述、文章结构和目的。
在引言中，我们将简单介绍变分法的概念和背景，以及本文的目的和重要性。
随后，我们将进入正文部分，主要讨论变分法的基本原理、在物理学中的应用以及在工程领域中的应用。
这一部分将详细阐述变分法的基本概念和数学原理，并举例说明在不同领域中如何应用变分法来解决问题以及取得成就。
最后，我们将进行结论部分的总结，强调变分法在各个领域中的重要性和价值，并展望未来变分法的发展方向和应用前景。
通过本文的阐述，读者将对变分法有更深入的理解，并认识到其在科学研究和工程实践中的重要作用。
1.3 目的本文的主要目的是帮助读者更深入地理解变分法的基本原理以及在物理学和工程领域中的应用。
通过对变分法的概念进行解释和举例，我们将阐明其在不同领域中的重要性和实际应用，希望能够帮助读者更好地理解这一重要的数学工具。
高考数学冲刺复习变分法考点速记
高考数学冲刺复习变分法考点速记在高考数学的复习中，变分法是一个较为复杂但又重要的考点。
对于即将参加高考的同学们来说，掌握好这个考点，能够在考试中多一份把握，提升成绩。
接下来，让我们一起深入了解变分法的相关知识。
一、变分法的基本概念变分法是研究泛函极值的数学分支。
所谓泛函，就是以函数为自变量的函数。
比如，我们常见的函数是输入一个数，输出一个数；而泛函是输入一个函数，输出一个数。
在变分法中，我们要找到一个函数，使得对应的泛函取得极值。
这个极值可能是最大值，也可能是最小值。
为了更好地理解变分法，我们先来看一个简单的例子。
假设我们要找到一条曲线，使得它连接两个给定的点，并且曲线的长度最短。
这就是一个典型的变分问题。
二、变分法的基本原理变分法的基本原理基于欧拉拉格朗日方程。
这个方程是判断一个泛函是否取得极值的重要工具。
对于一个泛函＼（Jy ＝＼int_{a}＾｛b} F(x, y, y'） dx\），其中＼（y ＝ y(x)＼）是未知函数，＼（y'＼）是＼（y\）对＼（x\）的导数，＼（F(x, y, y'）＼）是给定的函数。
如果＼（y(x)＼）使得＼（Jy\）取得极值，那么＼（y(x)＼）必须满足欧拉拉格朗日方程：＼（＼frac{＼partial F}｛＼partial y} ＼frac{d}｛dx}（＼frac{＼partial F}｛＼partial y'｝）＝ 0\）这个方程的求解往往需要一定的数学技巧和运算。
三、常见的变分问题类型1、最速降线问题这是一个经典的变分问题。
假设一个小球在重力作用下，从一个点无摩擦地滑到另一个点，问小球走过的路径是什么形状才能使下滑时间最短。
2、等周问题在给定周长的情况下，求所围成面积最大的曲线。
四、变分法的解题步骤1、写出泛函表达式首先，根据问题的条件，写出对应的泛函表达式。
2、应用欧拉拉格朗日方程将泛函表达式代入欧拉拉格朗日方程，得到一个关于未知函数的微分方程。
第六章 变分法模型讲解
第六章变分法模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。
当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又简化为求普通函数的极值。
求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。
§1 变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。
下面先介绍变分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。
1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函设 S 为一函数集合,若对于每一个函数 S t x ∈(有一个实数 J 与之对应,则称 J 是对应在 S 上的泛函,记作 ((t x J 。
S 称为 J 的容许函数集。
通俗地说,泛函就是“函数的函数”。
例如对于 xy 平面上过定点 , (11y x A 和 , (22y x B 的每一条光滑曲线 (x y ,绕 x 轴旋转得一旋转体,旋转体的侧面积是曲线(x y 的泛函 ((x y J 。
由微积分知识不难写出 1 容许函数集可表示为}y y(x , (],, [ (| ({2211211==∈=y x y x x C x y x y S (2 最简单的一类泛函表为∫=21 , , ( ((t t dt x x t F t x J (3 被积函数 F 包含自变量 t ,未知函数 x 及导数 x。
(1式是最简泛函。
1.1.2泛函的极值泛函 ((t x J 在 S t x ∈ (0取得极小值是指 , 对于任意一个与 (0t x 接近的 S t x ∈ (,都有(( ((0t x J t x J ≥。
所谓接近,可以用距离ε< (, ((0t x t x d 来度量,而距离定义为|} ( (||, ( ({|max (, ((00021t x t x t x t x t x t x d t t t −−=≤≤泛函的极大值可以类似地定义。
(0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。
变分法的基本思想
变分法的基本思想
变分法是一种非常有用的数学方法，它通常用于构建一个函数的一个变化版本，以期求解某个问题。
它依赖于原函数的变分，通过与原函数的近似度对变分的大小进行比较来优化原函数。
变分法在分析数学中应用非常广泛，它可以用来确定某个未知函数的正确形式，或者用来估计函数的极值。
此外，变分法还可以用来求解特殊的微分方程，特别是非线性非定常的微分方程。
变分法的原理是用一个广义函数来逼近并优化另一个函数的极值，因此，变分
法可以求解那些无法用普通数学方法求解的问题。
在金融领域，变分法可以用来解决最优投资配置问题，在人工智能领域，变分法可以用于求解复杂的逻辑谜题，在认知研究领域，变分法也可以用来探索人类语言和行为背后的隐藏机制等等。
变分法是一种非常具有创新性和强大技术性能的数学工具，也是一种计算复杂
度非常低的方法。
它可以使函数更容易被精确地估算及表示，有更多可利用的交互性强、代价低的技术。
其应用的范围也非常普遍，可以应用于日常生活中的很多娱乐项目中，比如说游戏和大家喜欢的歌曲等，都可以用变分法来创造更精彩的作品。
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(C1 (t 0 )=1.0) (C2 (t 0 )=0)
实例2：间歇化学反应器的最大产量问题(续)
初始状态(t0时刻)：C1(t0)=1.0, C2(t0)=0
约束：反应器内温度T(t)满足
Tmin T (t ) Tmax
(t0 t t f )
目标：确定温度T(t)的变化 ，使得时刻tf时B物质 的产量C2(tf)为最大，即在约束条件下求J= C2(tf)的 最大的问题
M x(t f ) : x(t f ) R n , g1[ x(t f ), t f ] 0; g 2[ x(t f ), t f ] 0
(6.1.2)
3）容许控制
输入向量u(t)的各个分量(控制量)具有不同的物理含义
在实际系统中，大多数的控制量受到客观条件的限制，只 能在一定范围内取值
同时使得性能指标最小
J [ x(t f ), t f ] [ x(t ), u (t ), t ]dt
t0
tf
(6.1.9)
5）最优控制问题的描述(续)
如果上述问题有解u*(t)，
，则 t [t0 , t fu ] *(t)叫做
最优控制，相应的状态轨线x*(t)叫做最优轨线，
Hale Waihona Puke 控制域：由控制量约束条件所规定的集合，记U0
容许控制：在闭区间[t0,tf]上有定义，且在控制域U内取值 的控制函数u(t)，记为 u (t ) U
4）性能指标
性能指标：衡量控制效果好坏或评价控制品质的函数
一般形式：
J [ x(t f ), t f ] [ x(t ), u(t ), t ]dt
(6.1.4)
J ( x) [ x(t f ), t f ] [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
(6.1.5)
Mayer形式
J ( x) [ x(t f ), t f ]
"
(6.1.6)
5）最优控制问题的描述
已知被控系统的状态方程及初始条件为
x(t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x(t0 ) x0
t0
tf
(6.1.3)
式中，右边第一项为末端性能指标，是对末端状态的要求；
第二项为积分形式指标，是对系统状态变化过程中的
状态和控制的要求
4）性能指标(续) 性能指标的三种形式
Lagrange形式
Bolza形式
'
J ( x) [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
tf
最优控制的基本概念
被控系统的数学模型
目标集 容许控制 性能指标 最优控制问题的描述
1）被控系统的数学模型
将最优控制问题抽象为数学问题
用非线性时变系统的状态空间模型描述最优控制问题
x f ( x, u , t ) y h ( x, u , t )
主要内容
变分法的基本概念
连续系统的动态最优化 连续系统的最优控制 离散线性系统最优控制
5.1 最优控制的基本 概念
实例1：飞船的月球软着陆问题
飞船的总质量m，高度h，垂直速度v，月球重力加速度g， 飞船自重M, 燃料重量F，推力u(t)
飞船的运动方程：
h v u g v m m Ku
y=f(x)，
x—自变量，y—函数
2 x1
x2
1 2
泛函与函数的对比
• 泛函的定义 对于某一类函数集合中 的每一个函数 y(x)，均 有一个确定的数 J 与之 对应，那么就称 J为依 赖于函数 y(x)的泛函， 记作 J=J[y(x)] x—自变量 y—宗量 J—泛函
•函数的定义
设有一变量x，它的取 值范围是一数集X，如 果在X内所取的每一数 值 x ，根据一确定的法 则f( )，有另一变量y的 唯一确定的数值与它相 对应，则称 y是x 的函 数，记作
其中,
(6.1.1)
h R l1 为系统的控制(输 入)向量； f R n1为系统的输出向量； u R m1 、y R l1 分
x R n1 系统的状态向量;
别为关于状态想力量、输入向量和时间t的非线性函数向量
2）目标集
动态系统(6.1.1)在输入u(t)的作用下，总会从一个状态 转移到另一个状态 在最优控制中，动态系统的初始状态通常是已知的， 即x(t0)=x0已知，而所要达到的末端状态是控制要达到 的目标，它可以是状态空间中的一个点，也可以是预 先规定的某个范围 末端状态的集合称为目标集，记为M
实例2：间歇化学反应器的最大产量问题
) 反应器内化学反应： Ak (T ) Bk (T， C 其中反应速率 常数 k1(T),k2(T)与温度相关
1 2
反应器内的物料平衡方程：
2 C1 (t ) k1 (T )C1 (t ) 2 C ( t ) k (T)C 1 1 (t) k 2 (T)C 2 (t) 2
而性能指标J*=J[u*(t)]则为最优性能指标。
5.2 变分法的基本概念
变分法是研究泛函极值的一种经典方法， 从十七世纪末开始逐渐发展成一门独立的 数学分支。
例、求连接平面上A, B两点间的最短弧长
y ( x)
B
A
0
y
x
x1
x2
x
( x)] dx S[ y ( x)] [1 y
(K 0)
实例1：飞船的月球软着陆问题(续)
初始状态(0时刻)：h(0)=h0, v(0)=v0,m(0)=M+F
终点条件(tf时刻) ：h(tf)=0, v(tf)=0 约束：推力u(t)满足
0 u(t ) umax
目标：选择推力u(t)，使J=m(tf)达到最小，即燃料 最省
(6.1.7)
目标集为 M x(t f ) : x(t f ) R n , g1[ x(t f ), t f ] 0; g 2[ x(t f ), t f ] 0 (6.1.8)
] 求一容许控制 u (t ) U、 t [t0 , t f ，使系统由初始状态 x0 出发，在时刻tf>t0时刻转移到目标集M