2020年浙江省台州市学院椒江附属中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2020年浙江省台州市学院椒江附属中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数定义在区间上且单调递减，则使得成立的实数的取值范围为（）
A． B. C. D.
参考答案：
B
2. 要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
参考答案：
A
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先根据诱导公式化简可得y=sin[2（x+）]，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．
【解答】解：∵ =sin（2x+）=sin[2（x+）]，
∴只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数的图象．
故选：A．
【点评】本题主要考查两角和与差的公式和三角函数的平移，三角函数平移时一定要遵循左加右减上加下减的原则．
3. 当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A． B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．
【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果
【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为
函数y=，其底数大于1，是增函数，
又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，
两个函数是一增一减，前增后减．
故选C．
4. 直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的图象与图象变化；函数模型的选择与应用．
【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l的
运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：然后分情况即可获得问题的解答．
【解答】解：由题意可知：当0＜t≤1时，，
当1＜t≤2 时，；
所以．
结合不同段上函数的性质，可知选项C符合．
故选C．
5. 设a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）
A．若a∥α，b?α，则a∥b B．若a∥b，a⊥α，则b⊥α
C．若a∥b，a∥α，则b∥αD．若a⊥b，a⊥α，则b∥α
参考答案：
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在A中，a与b平行或异面；在B中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在C中，b与α相交、平行或b?α；在D中，b∥α或b?α．
【解答】解：由a，b是两条不同的直线，α是一个平面，知：
在A中，若a∥α，b?α，则a与b平行或异面，故A错误；
在B中，若a∥b，a⊥α，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故B正确；
在C中，若a∥b，a∥α，则b与α相交、平行或b?α，故C错误；
在D中，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b?α，故D错误．
故选：B．
6. =（）
A. B. C. D. 参考答案：
A
略
7. 已知函数，若，则实数等于（）
A. B.
C.9
D.2 ks5u
参考答案：
D
略
8. 已知偶函数f(x)在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f(－)＜f(－3)<f(4) B．f(－3) ＜f(－)＜f(4)
C．f(4) ＜f(－3) ＜f(－) D．f(4) ＜f(－)＜f(－3)参考答案：
D
9. 已知均为锐角，满足，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
依题意，求cos（α+β），结合角的范围可求得α+β的值．
【详解】由已知α、β均为锐角，，
，
又cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，
∵0＜α+β＜π，
∴α+β＝．
故选：B．
【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．10. 若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0垂直，则a=（）
A．2 B．C．1 D．﹣2
参考答案：
B
【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【分析】根据直线l1与l2垂直，A1?A2+B1?B2=0，列出方程求出a的值．
【解答】解：直线l1：ax+2y+6=0，
l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，
且l1⊥l2，
∴a?1+2（a﹣1）=0；
解得：a=．
故选：B．
【点评】本题考查了直线方程的应用问题，考查了两条直线互相垂直的应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设为向量的夹角，且，，则的取值范围是_____.
参考答案：
[,1]
两个不共线的向量，的夹角为θ，且，可得：，
可得cosθ．
那么cosθ的取值范围：．
故答案为：．
12. 若2x+2y=5，则2﹣x+2﹣y的最小值为．
参考答案：
【考点】基本不等式．
【分析】求出2x+y的最大值，从而求出代数式2﹣x+2﹣y的最小值．
【解答】解：若2x+2y=5，则2≤5，
故2x+y≤，
则2﹣x+2﹣y=≥5×=，
当且仅当x=y时“=”成立，
故答案为：．
13. 在水流速度为4的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8的速度航
行，则船自身航行速度大小为____________。

参考答案：
略
14. 在等腰中，是的中点，则在 方向上的投
影是
．
参考答案：
略
15. 若A B ，A C ，B ＝｛0，1，2，3
｝，C ＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A
为
________．
参考答案：
，｛0｝，｛2｝，｛0，2｝ 16. 数列
的一个通项公式是 。

参考答案：
略
17. 如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D 是边BC 上一点，DC=2BD ，则
?
= ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】法一：选定基向量
，
将两向量
，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出
的值．
法二：由余弦定理得可得分别求得
，
又夹角大小为∠ADB，，
所以=
．
【解答】解：法一：选定基向量，
，由图及题意得，
=
∴
=（
）（
）
=
+=
=
法二：由题意可得
BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB?ACcosA=4+1+2=7， ∴BC=
，
∴cosB=
=
=
AD=
=
，
∵
，
∴
=
．
故答案为：﹣．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数
．
（1）用分段函数形式写出函数的解析式，（2）画出该函数的大致图象．
参考答案：
解：（1） 6分
（2）图象（略）---8分
19. 某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f （θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．
（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=时，f （θ）取最大值．
【解答】（本题满分16分）
解：（1）作AH⊥CF于H，
则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…
则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ
=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]
=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…
令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…
当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；
当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…
所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…
答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…
20. 已知集合A={x|2x﹣3≥x﹣2}，不等式log2（x+1）＜2的解集为B，求A∪B，（?R A）∩B．
参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出不等式log2（x+1）＜2的解集B，化简集合A，
再根据集合的定义求出A∪B与?R A、（?R A）∩B．
【解答】解：不等式log2（x+1）＜2等价于0＜x+1＜4，
解得﹣1＜x＜3，
所以B=（﹣1，3）；…
又因为A={x|2x﹣3≥x﹣2}={x|x≥1}=[1，+∞），
所以A∪B=（﹣1，+∞）；…
因为?R A=（﹣∞，1），
所以（?R A）∩B=（﹣1，1）．…
21. 已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x－，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若sin B＝2sin A，求a，b的值．
参考答案：
（1）－2 π（2）a＝1且b＝2
(2)f(C)＝sin(2C－)－1＝0，则sin(2C－)＝1．
∵0<C<π，
∴－<2C－<π，因此2C－＝，∴C＝．
∵sin B＝2sin A及正弦定理，得b＝2a．①
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos ，且c＝，
∴a2＋b2－ab＝3，②
由①②联立，得a＝1且b＝2．
22. 已知tanα=3，计算：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）sinα?cosα．
参考答案：
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（Ⅰ）分子、分母同除以cosα，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
（Ⅱ）将分母看成1，即两弦值的平方和，由已知，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵tanα=3，
∴===．…（6分）
（Ⅱ）∵tanα=3，
∴sinα?cosα====．…（12分）
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．。