地板砖铺设问题的研究论文

地板砖铺设问题的研究
摘要
在工程实际中经常会遇到房屋地板砖的铺设问题，在此类为题中，我们需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面因素，来使成本最小化。

本文对地板砖铺设成本问题进行数学建模并设计算法求解。

问题一，我们对房间进行矩形切割，对此已分类的矩形进行地板砖的铺设，忽略掉因从新规划而造成的地板砖的破损损失。

可以得到，铺设地板砖所需的总费用W 为：
'''''180130807245n n n n n W A B C D E Q U =++++++
问题二，在问题一中我们得知，可以将模型的求解简化为在矩形区域内的求解。

由于本问要求用一种地板砖铺设，问题就转化成将五种地板砖分别在13块矩形区域内的求解问题，通过对求解的结果比较选取成本最低的模型。

我们可以将铺设块数、费用及利用率的问题的计算归结到地板砖铺设最低费用的问题中。

比较五种地板砖铺设总费用：
尺寸
800*800 600*600 400*400 300*300 600*300 300*600
42757元。

问题三，该问是在允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，实现地板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。

通过问题二可知800mm*800mm 规格的地板砖性价比最高，我们可以优先利用800*800的地板砖进行铺设，在不能铺设完整规格的800mm*800mm 的区域外，再用其他规格的地板砖进行切割填补。

我们可以得到，规格为 800mm*800mm 的地板砖铺设总块数为192，所需费用为38426.6元，利用率为0.7396；规格为600mm*600mm 的地板砖铺设总块数为2，所需费用为1588.6元，利用率为0.5；规格为600mm*300mm 的地板砖铺设总块数为33，所需总费用为3322.7元，利用率为0.9393；规格为400mm*400mm 的地板砖铺设总块数为57，所需总费用为3265元，利用率为0.9474；规格为300mm*300mm 的地板砖铺设总块数为2，所需费用为992.3元，利用率为0。

关键词：目标规划 最小成本 地板砖铺设方案 建议书
一、问题重述
在工程中经常会遇到将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的问题。

房屋地板砖的铺设就是其中的一种典型实例。

在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。

设工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示。

需要铺设的房屋地面结构如图1所示。

假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。

1.请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。

2.若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。

3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。

4.根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。

图1 户型结构图（单位mm）
(注：铺设地板砖时不需考虑家具等限制，只需考虑墙面限制，进行地面全铺设。

)
二、模型假设
1.假设门框底部地面不用铺地板砖。

2.每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。

3.假设每个房间用同一规格的地板砖来铺设，我们首先忽略墙宽度的限制。

4.地板砖的铺设没有缝隙间隔，相邻砖之间严格无缝连接。

三、符号说明
四、问题分析
对于问题一，要实现地板砖成本最小，我们要考虑到地板砖的选取以及怎样铺设这两个问题。

对于地板砖的选取，我们对问题所给表格进行处理，发现800mm*800mm地板砖的性价比最优，因此我们在选择地板砖铺设时，优先铺设该地板砖。

然后考虑性价比由高到低顺序另和切下的废料的整块铺设，优先使用废料进行铺设，然后进行总费用，总块数以及利用率的计算，得出最优结果。

对于问题二，在问题一中我们得知，可以将模型的求解简化为在矩形区域内的求解。

由于本问要求用一种地板砖铺设，问题就转化成将五种地板砖分别在13块矩形区域内的求解问题，通过对求解的结果比较选取成本最低的模型。

在本问中，除了要求设计出算法比较最低成本外，还要对地板砖的铺设块数、利用
率进行计算。

我们可以将对地板砖铺设的块数、利用率和总费用的求解，归结到对地板砖的最低费用求解一个大问题中。

对于问题三，该问是在允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，实现地板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。

问题一给出了普遍情况下地板砖的铺设方案，我们优先利用800*800的地板砖进行铺设，在不能铺设完整规格的800*800的区域外，我们使用较小规格的有与空隙规格合适的地板砖，则直接铺上，若空隙规格与所有地板砖规格不合适，则采取切割800*800的地板砖切割填补。

在此铺设方案的基础上，在满足切割块数最小的基础上，以铺设费用最小为目标函数，建立目标规划模型，对此模型进行求解得到各类地板砖的块数、利用率和总费用。

五模型一的建立与求解
5.1问题一的分析
地板砖的成本包括地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本这三个方面。

我们分别对这三个方面进行分析，建立计算地板砖铺设总成本的模型。

要实现地板砖成本最小，我们要考虑到地板砖的选取以及怎样铺设这两个问题。

对于地板砖的选取，我们对问题所给表格进行处理，发现800mm*800mm地板砖的性价比最优，因此我们在选择地板砖铺设时，优先铺设该地板砖。

而对于地板砖的铺设，我们优先考虑尽可能多的铺设完整的相同规格的地板砖，然后，在剩余不能铺设完整相同规格地板砖的区域外，我们使用较小规格的地板砖，若有与空隙规格合适的地板砖，则直接铺上，若空隙规格与所有地板砖规格不合适，则采取切割填补。

对于铺设人工费用，我们通过查阅相关资料，人工费用不受铺设地板砖种类的影响，只受人数和天数的影响，对于铺设一定面积的地板砖其天数和人数可以看成是一定的，因此我们用定义一个常量Q，表示人工总费用。

从问题所给图可以看出，户型结构图形状是一个多边形，直接计算其需要切割的地板砖以及完整地板砖的块数难度比较大，我们这里将之看成多个矩形的组合。

按此思路，我们将户型结构划分为大小不等的十二个矩形，然后在每个大小不等的矩形形状的房屋里铺设瓷砖。

5.2问题一的模型建立
5.2.1 对户型结构图的处理
通过对问题一的分析，我们将图一房间的区域进行矩形切割，切割后的图形如图一。

图一 房间俯视尺寸图
我们对此已分类的矩形进行地板砖的铺设，忽略掉因从新规划而造成的地板砖的破损损失。

5.2.2 地板砖的选取
由表一可知，若选用“n A ”规格与“n D ”规格的铺设相比较，用“n A ”规格的铺设总价格优于“n D ”规格。

若选用“n B ”规格与“n E ”规格的铺设相比较，用“n B ”规格的铺设总价格优于“n E ”规格。

同理：若选用“n A ”规格与“n B ”规格的铺设相比较，“n A ”规格的铺设总价格优于“n B ”规格。

所以可以得出，我们采用的瓷砖规格越大，越省钱。

所以，在允许使用不同规格的瓷砖铺设时，我们优先考虑尽可能多的铺设完整的大规格的地板砖。

5.2.3 铺设方案的实现
1、计算得第i 个房间我们所用地板砖数为N i 则：
i i i i N n m p =++； （1） 又可得出第i 个房间所用地板砖未切割的块数为n i 则：
i i i n a *b =； （2） 若第i 个房间所用地板砖被切割的块数为m i .由于房间纵向与横向边长不一定是
大规格的整数倍，则：
i i i m a b =+或 i i m a =或 i i m b =或i m 0=；
又有第i 个房间横向铺设未切割的地板砖数为a i 则；
i i ix a X /L =； （3） 得第i 个房间总想铺设未切割的地板砖数为b i 则；
i i iy b Y /L =； （4）
2、计算得第i 个房间所用地板砖的总块数N i ；
但是由于地板砖的边长都是有一定的规格，矩形房间边长不一定就是最大规格地板砖变长的整数倍，所以需要讨论。

若纵向与横向边长都不是最大规格地板砖整数倍a i ⨯L ix <X i ,b i ⨯L iy <Y i 则：
i i i i i i i ix i iy i ix i iy i N a *b a b p X /L *Y /L X /L Y /L p =+++=+++（）（）（）（）（）； 若横向边长是最大规格地板砖整数倍，纵向边长不是最大规格地板砖整数倍a i ⨯L ix =X i ,b i ⨯L iy <Y i 则：
i i i i i i ix i iy i ix i N a *b a p X /L *Y /L X /L p =++=++（）（）（）；
若横向边长不是最大规格地板砖整数倍，纵向边长是最大规格地板砖整数倍a i ⨯L ix <X i ,bi ⨯Liy=Yi 则：
i i i i i i ix i iy i iy i N a *b b p X /L *Y /L Y /L p =++=++（）（）（）i ；
若横向与纵向边长都是最大规格地板砖整数倍
i ix i a L X ⨯= , i iy i b L Y ⨯=则： i i i N a b = ；
5.2.4 铺设费用模型的建立
为了方便表示各类地板砖，我们按地板砖的大小，分别定义为A 、B 、C 、D 、E 类，第i 个房间所用各类地板砖数为i i i i i A B C D E 、、、、，因此我们可以得到所用各类地板砖的总数：
1231312313123131231312313
n n n n
n A A A A A B B B B B C C C C C D D D D D E E E E E =++=++=++=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪++=+⎩+⎪
用i L 表示第i 个房间需要切割地板砖的长度，则总需要切割的长度为：
12313n L L L L L =++ （5）
则切割总费用为：
n U aL =（a 为常数） （6）
考虑到地板砖本身的破损率，因此各类地板砖实际购买数为：
'
A =92%n n A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、'
B B =93%n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、'
C C =94%n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、'
D D =95%n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、
'
E E =97%n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
定义[]X 为大于X 的最小正整数。

因此我们可以得到铺设地板砖所需的总费用W 为：
'''''180130807245n n n n n W A B C D E Q U =++++++ （7）
六 模型二的建立与求解
6.1问题二的分析
对于问题二，要求仅使用一种尺寸的地砖进行铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。

在问题一中我们得知，可以将模型的求解简化为在矩形区域内的求解。

由于本问要求用一种地板砖铺设，问题就转化成将五种地板砖分别在13块矩形区域内的求解问题，通过对求解的结果比较选取成本最低的模型。

在本问中，除了要求设计出算法比较最低成本外，还要对地板砖的铺设块数、利用率进行计算。

我们可以将对地板砖铺设的块数、利用率和总费用的求解，归结到对地板砖的最低费用求解一个大问题中。

首先，我们可以通过matlap 设计出算法算出利用五种地板砖的六种方式（600mm*300mm 按两种方式铺设）铺设13块矩形区域所需块数。

其次，为了减少切割费用，尽量将地板砖切割次数最少铺设，为了达到铺设效果地板砖切割两次即可满足，并且在一个矩形区域内最多有一块地板砖切割两次。

对铺设地板砖的形式进行分类，铺设块数中的地板砖铺设形式有三种，分别为不需切割整块铺，沿平行地板砖边缘切割一次铺和沿平行地板砖边缘切割两次铺。

再次，通过编程计算可以得出地板砖三种形式铺设的块数，由于每种形式的块数和切割费用的不同，我们可以分别求出三种形式所需费用，相加即可得到使用一种地板砖所需的总费用。

最后，利用房间总面积和所使用地板砖总面积的比值即可得到地板砖的利用率。

6.2问题二的模型建立
6.2.1各种地板砖铺设时三种形式块数的模型
利用问题一中将房间划分13个区域的图形，我们定义第i 块矩形区域所需第j 种地板砖的块数为(,)j i n ，i l 表示第i 块矩形区域的边长，i k 表示第i 块矩形区域的边宽，j u 表示第j 种地板砖的长，j m 表示第j 种地板砖的宽。

求解可以通过求解矩形区域的长度上需要的块数和宽度上所需的块数进行计算。

定义
(,)()()()j i l i a floor u j =和(,)()()()
j i k i b floor m j =分别表示第i 个矩形边的长度上所需的第j 中地板砖块数和第i 个矩形边的宽度上所需的第j 种地板砖块数（矩形边上的
块数是指用地板砖以整块不被切割的形式铺设）。

即：(,)()()()
j i l i a floor u j =、(,)()()()
j i k i b floor m j =（其中floor 表示取整的含义）。

则对(,)j i n 的计算分以下四种情况：
矩形的两边上都恰好用整块铺设时：
(,)(,)(,)j i j i j i n a b =⨯ （8）
矩形长度边上能恰好用整块铺设完，宽度边上不能够只用整块铺设完时：
(,)(,)(,)(,)j i j i j i j i n a b b =⨯+ （9） 矩形宽度边上能恰好用整块铺设完，长度边上不能够只用整块铺设完时：
(,)(,)(,)(,)j i j i j i j i n a b a =⨯+ （10） 矩形的两边上都不能恰好用整块铺设时：
(,)(,)(,)(,)(,)1j i j i j i j i j i n a b a b =⨯+++ （11）
6.2.2各种地板砖铺设时三种形式费用的模型
对地板砖铺设费用的计算，可以通过求得的地板砖的块数求解。

我们定义(,)j i w 表示用第j 种地板砖铺设第i 类形式铺设时所需费用，()q j 表示第j 种地板砖的价格，()t j 表示第j 种地板砖的损坏率，()v j 表示被切割两次后的地板砖块的最小边。

通过所用块数计算费用时，需要将地板砖的三种形式铺设费用分类计算。

即费用来源分为三类：
对于没有被切割的地板砖费用的计算：
(,1)(,)()/()j j i w q j n t j =⨯ （12） 对于被切割一次的地板砖费用的计算：
(,2)(,)(()4)/()j j i w q j n t j =+⨯ （13） 对于被切割两次的地板砖费用的计算：
(,3)(,)[()4()/200]/()
j j i w q j v j n t j =++⨯
（14） 对于()v j 的计算：
(,)
(,1)()()j i v j k i m j n =-⨯
（15） (,)
(,2)()()j i v j k i m j n =-⨯
（16） ()min((,1),(,2))v j v j v j =
（17）
总的地板砖费用为:
(,1)(,2)(
()j j j j w w w w =++ （18）
6.2.3各种地板砖铺设时的利用率的模型
对于利用率的计算，可以利用房间总面积和所用地板砖的总面积的比值来计
算。

定义房间总面积为13
()1i i S S ==∑。

()i S 表示第i 个矩形区域的面积，则：
1313()11()
i i i i i S S l k ====⨯∑∑
（19）
用C 表示所用地板砖的总面积，则：
61()
j j j C u m ==⨯∑
（20）
利用率用P 表示，则利用率：
C P S =
（21） 6.3问题二的模型求解
6.3.1各种地板砖铺设时三种形式块数的计算
对于计算各种地板砖铺设时三种形式块数问题，通过matlab 编程求得在第i 个矩形区域内所铺设第j 种地板砖的块数表如表2：
6.3.2各种地板砖铺设时三种形式费用的计算
对于计算各种地板砖铺设时三种形式费用问题，利用所建模型，通过matlab 编程求得的费用如表3：
表3 各种地板砖铺设所需费用表
42757元，
费用最高为60807元，600mm*300mm的两种铺设方式费用差别较小。

6.3.3各种地板砖铺设时的利用率的计算
对于计算各种地板砖铺设的利用率问题，由上述模型的建立，通过matalab 编程的实现，得到每种地板铺设的利用率表，如表4：
的利用率最低为0.8214。

七模型三的建立与求解
7.1 模型三的分析
该问是在允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，实现地板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。

由于各类地板砖的尺寸均不一样，因此我们需要在第二问求解一种地板砖铺设方案的基础上重新设计铺设方案。

问题一给出了普遍情况下地板砖的铺设方案，并得到了800*800的地砖是性价比最高的，因此在重新划分的十三个矩形房间，我们优先利用800*800的地板砖进行铺设，在不能铺设完整规格的800*800的区域外，我们使用较小规格的有与空隙规格合适的地板砖，则直接铺上，若空隙规格与所有地板砖规格不合适，则采取切割800*800的地板砖切割填补。

在此铺设方案的基础上，在满足切割块数最小的基础上，以铺设费用最小为目标函数，建立目标规划模型，对此模型进行求解得到各类地板砖的块数、利用率和总费用。

7.2 模型三的建立
7.2.1 铺设方案的实现
如同问题分析所示，我们假设每个房间用同一规格的地板砖来铺设，首先我们先忽略墙的限制，我们用矩形地板砖拼成一个面积小于等于矩形房间面积的，而且能够将矩形房间不能覆盖住的最大矩形。

然后我们把多余的超出矩形房间的部分切割掉，切割剩余地板砖不再重复利用。

对于图中右上角的地板砖需要两次切割，我们假设能有那么大小剩余地板砖恰好填上。

如下图2从左下角开始铺先选用“n A ”规格的铺设，到上边和右边的时候，此规格的地板砖已经放不下了，我们则可以用其他规格的地板砖来铺设。

如此我们则可以做到最优化设置。

图2 地板砖铺设图
在剩余不能铺设大规格地板砖的区域外，我们使用较小规格的地板砖，若有与空隙规格合适的地板砖，则直接铺上。

如空隙规格与所有地板砖规格不合适，我们需要满足切割块数最小这一条件，因此我们直接选择切开800*800地板砖， 在此基础上我们来计算各个规格地板砖的块数与费用。

所用的n A 规格的整数块为/800/800i i i A X Y =⨯（）(）；
1、如果/800i X 的余数大于700时；选用“n A ”规格的，数量为2/800i A Y =（）；切割总长度L i 为 L 1=Y i ；
2、如果/800i X 的余数为700；选用“n n D E ，”规格的，数量为1/600i B Y =（）；
切割总长度i L 为2
0L =； 3、如果/800i X 的余数大于600且小于700时；选用“n A ”规格的，数量
为2/800i A Y =（）；切割总长度L i 为3i L Y =；
4、如果/800i X 的余数为600时；选用“n A ”规格的，数量为2/800i A Y =（）；切割总长度L i 为4i L Y =；
5、如果X i /800的余数大于400且小于600；选用“n B ”规格的，数量为2/600i B Y =（）；切割总长度i L 为5i L Y =；
6、如果/800i X 的余数为400；选用“n A ”规格的，数量为3/800/2i A Y =（）；切割总长度L 为 6/2i L Y =；
7、如果/800i X 的余数大于300且小于400；选用“n D ”规格的，数量为
1/400i D Y =（（）；切割总长度i L 为7i L Y =；
8、如果/800i X 的余数为300；选用“n B ”规格的，数量为1/600/2i C Y =（）；切割总长度i L 为80L =；
9、如果/800i X 的余数小于300；选用“n E ”规格的，数量为1/300i E Y =（）；
切割总长度i L 为 9i L Y =；
10、如果/800i Y 的余数大于700；选用“n A ”规格的，数量为4/800i A X =（）；
切割总长度i L 为10i L X =；
11、如果/800i Y 的余数为700；选用“n A ”规格的，数量为4/800i A X =（）；
切割总长度i L 为11i L X =；
12、如果/800i Y 的余数大于600，且小于700；选用“n A ”规格的，数量为4/800i A X =（）；切割总长度i L 为12i L X =；
13、如果/800i Y 的余数为600；选用“n B ”规格的，数量为3/600i B X =（）；切割总长度i L 为130L =；
14、如果/800i Y 的余数大于400且小于600；选用“n B ”规格的，数量为4/600i B X =（）；切割总长度i L 为14i L X =；
15、如果/800i Y 的余数为400；选用“n A ”规格的，数量为5/800/2i A X =（）；切割总长度i L 为 15/2i L X =；
16、如果/800i Y 的余数大于300且小于400；选用“n D ”规格的，数量为2/400i D X =（）；切割总长度i L 为16
i L X =； 17、如果/800i Y 的余数为300；选用“n B ”规格的，数量为5/600/2i B Y =（）；切割总长度i L 为170L =；
18、如果/800i Y 的余数小于300；选用“n E ”规格的，数量为2/300i E X =（）；
切割总长度i L 为18i L X =；
7.2.2 地板砖铺设目标规划模型的实现
由于地板砖块数的求解建立在铺设总费用和分割块数最少两个条件下，因此，我们这里利用目标规划来求解。

目标规划的一般形式为：
min ()f x
()0,1,
,j h x j q ≤=
()0,1,
,i g x i p ==
其中[]1
T
n x x x =称为模型
（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，(1,,)
i g i p =和(1,
,)j h j q =称为约束函数。

另外，()0(1,
,)i g x i p ==称为等式约束，
()0(1,
,)j h x j q ≤=称为不等式的约束。

对于此文，我们把它归结成目标规划问题时，需要注意一下几点：
（一）确定地板砖选择方案，首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确定什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。

（二）提出追求目标，这里的追求目标是在满足切割块数最小的条件下实现铺设成本的最低。

（三）给出价值标准，在提出要追求的目标后，要确立所考虑目标的种类，尔铺设成本主要由人工成本、地板砖成本、切割成本三部分组成，由于人工成本未知，因此我们主要考虑地板砖成本和切割成本，为了便于计算，我们将之转化到铺设方案中解决。

（四）寻求限制条件：这里追求的铺设成本最小目标是在一定的条件下取得极小值，我们利用铺设地板砖方案找出了其所有的限制条件，利用这些限制条件求解得到各类地板砖的数量、利用率和总费用。

7.3 模型的求解
7.3.1各种地板砖铺设时三种形式块数的计算
对于计算各种尺寸地板铺设的块数问题，根据上述模型的建立，通过matalab编程的实现，求得结果如表5所示
对于计算各种尺寸地板铺设的费用问题，根据上述模型的建立，通过matalab求得费用如表6所示
对于计算各种尺寸地板铺设的利用率问题，利用所建模型，通过matalab实现，得到各种尺寸地板铺设的利用率如表7所示
八建议书
通过所建立的模型，我们能很直接，很直观的计算出房间所需瓷砖量。

而且只要测出房间的规格与了解市场上瓷砖的规格即可得出合适的地板砖铺设方案，并且有程序帮助运算，费用的计算也较为轻松。

但是切割后多余部分没有的到利用，且在最省钱的情况下，材料的利用率最低，造成较大的浪费。

而且房间由于有多个棱角，所以有时并不能完全化为矩形。

所以其模型的准确度与可实用性还有待考究与实际验证。

在实际生活中我们居住的房屋不一定都是规规矩矩的矩形。

所以，对于不同的户型来说，我们可以通过多次拆分，在瓷砖规格允许的范围内，把不同的户型可以拆分为矩形。

就算户型是与此模型相差最大的圆形，我们也可在圆形中拆分出矩形，然后把剩余的部分用切割后的余料去填补。

虽然计算的精确程度可能会相对的偏低一些，但也不失为一种可用的方法。

而对于更多不同规格的瓷砖来说，瓷砖的规格越丰富，我们计算的结果相对来说还要更精确，预测出的费用与利用率也会更高。

并且由于文章假定地板砖只能切割一次，在此条件下，势必会造成大量破损地板砖的浪费，因此，在实际生活中我们需要加强对破损地板砖的利用，减小因大量破损地板砖而造成成本增加。

九模型评价
模型的优点
1、结合数学期望的概念对地板砖切割单后单价坐了合适的处理，使得求解方便准确，与实际的结合性强。

2、引入了美观系数的概念，对抽象的美观系数进行量化，在工程实际中很有意义。

3、在混合地板砖铺设的求解中运用了穷举算法，在求解小规模问题时，算法简单，可靠性强。

4、应用了较为严谨的数学知识进行计算和求解。

模型的缺点：
1、采取目标规划求解问题时，模型较为理想化，现实存在的一些问题不能充分考虑。

2、对于一些结构复杂及形状不规则的户型，区域划分较为困难，应用此模型求解时较为复杂。

3、未考虑实际情况相爱多种类型地板砖混合铺设对美观效果的影响。

十参考文献
[1] 姜启源、谢金星.数学模型.中国：高等教育出版社.2001；
[2] 丁毓峰.数学建模入门.中国:化学工业出版社.2010；
[3] 司守奎.数学建模算法与应用.中国：国防工业出版社.2012；
[4] 朱军.线性模型分析原理.北京：科学出版社，1999；
[5] 寿纪麟.数学建模——方法与范例.西安：西安交通大学出版社，1993.
附录：
1.问题二程序。

S=[500,2150;4500,3450;2100,1150;2100,900;3300,2300;3000,900;4500,3450
;,...
3900,2400;1200,3550;2400,2400;300,5400;9600,4500;2100,1500];%矩形的长宽边设置
x=[800,800;600,600;400,400;300,300;600,300;300,600];%地板砖与矩形长，宽对应设置
for j=1:6
for i=1:13
a(i,j)=floor(S(i,1)/x(j,1));%第i个区域在长度上需要铺设第j种地板的块数
b(i,j)=floor(S(i,2)/x(j,2));%第i个区域在宽度上需要铺设第j种地板的块数
end
end
for j=1:6
for i=1:13
if a(i,j)~= ceil(S(i,1)/x(j,1))& b(i,j)~=ceil(S(i,2)/x(j,2))
n(j,i)=a(i,j)*b(i,j)+a(i,j)+b(i,j)+1;%第i个矩形需要第j种砖的块数elseif a(i,j)== ceil(S(i,1)/x(j,1))& b(i,j)~=ceil(S(i,2)/x(j,2))
n(j,i)=a(i,j)*b(i,j)+a(i,j);%第i个矩形需要第j种砖的块数
elseif a(i,j)~= ceil(S(i,1)/x(j,1))& b(i,j)==ceil(S(i,2)/x(j,2))
n(j,i)=a(i,j)*b(i,j)+b(i,j);%第i个矩形需要第j种砖的块数
elseif a(i,j)== ceil(S(i,1)/x(j,1))&b(i,j)==ceil(S(i,2)/x(j,2))
n(j,i)=a(i,j)*b(i,j);%第i个矩形需要第j种砖的块数
end
end
end
for j=1:6
m(j)=0;
for i=1:13
% printf('第j种砖应用于第i块矩形的块数%d','n(j,i)')
m(j)=n(j,i)+m(j);
end
end
for j=1:6
m(j); %*使用第j种砖铺设房间所需块数
end
%下面计算所需费用
%先为破损率设置一个行向量
q=[0.92,0.93,0.95,0.96,0.94,0.94];
%再为单价设置一个行向量
t=[180,130,72,45,80,80];
%首先计算不需切割的块数
for j=1:6
k(j)=0;
for i=1:13
k(j)=k(j)+a(i,j)*b(i,j);
end
end
for j=1:6
k(j);%第j种砖不需切割的块数
end
%计算不需切割的费用
for j=1:6
i=1;
w(j,i)=(t(j)*k(j))/q(j); %不需切割的费用
end
%下面计算需要切割整块砖的块数（即只需要切一刀，切割费用最低）
for j=1:6
h(j)=0;
for i=1:13
if a(i,j)~= ceil(S(i,1)/x(j,1))& b(i,j)~=ceil(S(i,2)/x(j,2))
h(j)=h(j)+a(i,j)+b(i,j);
elseif a(i,j)== ceil(S(i,1)/x(j,1))& b(i,j)~=ceil(S(i,2)/x(j,2)) h(j)=h(j)+a(i,j);
elseif a(i,j)~= ceil(S(i,1)/x(j,1))&
b(i,j)==ceil(S(i,2)/x(j,2))
h(j)=h(j)+b(i,j);
end
end
end
for j=1:6
h(j); %第j种砖需要切割整块砖的块数
end
%下面计算需要切割整块砖费用
for j=1:6
i=2;
w(j,i)=(t(j)*h(j))/q(j)+h(j)*4; %需要切割整块砖费用
end
%计算需要切割两刀的块数
for j=1:6
f(j)=0;
for i=1:13
if a(i,j)~= ceil(S(i,1)/x(j,1))& b(i,j)~=ceil(S(i,2)/x(j,2)) f(j)=f(j)+1;
end
end
end
for j=1:6。