高考数学一轮复习 专题23 正弦定理和余弦定理的应用教学案 理

专题23 正弦定理和余弦定理的应用
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．
(2)方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
高频考点一考查测量距离
例1、如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF ＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．
【方法技巧】求距离问题时要注意
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
【变式探究】
隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km的C，D两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，
∠CAD＝∠ADC＝30°.所以AC＝CD＝ 3.
在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝3sin 75°sin 60°
＝
6＋2
2
. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(3)2
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫6＋222
－2×3×
6＋2
2
×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 km ， 所以A ，B 两目标之间的距离为 5 km. 高频考点二 考查高度问题
例2、如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )
A ．2.7 m
B ．17.3 m
C ．37.3 m
D ．373 m
【解析】在△ACE 中， tan 30°＝CE AE ＝CM －10
AE
.
∴AE ＝
CM －10
tan 30°
. 在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10
AE
，
∴AE ＝CM ＋10
tan 45°
，
∴
CM －10
tan 30°＝CM ＋10
tan 45°
，
∴CM ＝103＋13－1
＝10(2＋3)≈37.3(m)．
【答案】C
【方法技巧】求解高度问题首先应分清
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
【变式探究】如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．
【解析】在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，
BC
sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt△ABC 中，tan 60°＝AB
BC
，AB ＝BC tan 60°
＝10 6.
【答案】10 6
高频考点三 考查角度问题
例3、某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.
解 如图所示，设所需时间为t 小时，
则AB ＝103t ，CB ＝10t ，
在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC ·cos 120°， 可得(103t )2
＝102
＋(10t )2
－2×10×10t cos 120°. 整理得2t 2
－t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－1
2(舍去)，
所以舰艇需1小时靠近渔船， 此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得
BC sin ∠CAB ＝AB
sin 120°
，
∴sin ∠CAB ＝
BC ·sin 120°AB ＝10×
32
103＝1
2
.
∴∠CAB ＝30°.
所以舰艇航向为北偏东75°.
【方法技巧】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念．结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用．
【变式探究】如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测量该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．
高频考点四 考查函数思想在解三角形中的应用
例4、如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？
【解析】作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3， ∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos∠MOI ＝45
.
设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时，追上汽车的时间为t 小时， 由余弦定理得(vt )2＝52＋(50t )2
－2×5×50t ×45，
即v 2
＝25t 2－400t
＋2 500＝＝25⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －82＋900≥900，
∴当t ＝18时，v 取得最小值为30，∴其行驶距离为vt ＝308＝15
4
公里．
故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了15
4
公里．
【方法技巧】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力．
解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数中以1
t
为整体构造二次函数，求最值．
【变式探究】如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面11
2米，某人在离
地面3
2
米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．
【解析】过C 作CF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝α，∠BCF ＝β，由已知得AB ＝212－11
2＝5(米)，
BF ＝112－32＝4(米)，AF ＝212－32＝9(米)．则tan(α＋β)＝AF FC ＝9FC ，tan β＝BF FC ＝4
FC
，∴tan α
＝[(α＋β)－β]＝
α＋β－tan β1＋
α＋ββ＝9
FC －
4
FC 1＋36FC
2＝5
FC ＋36
FC
≤
5
2
FC ·36FC
＝5
12.当且仅当FC ＝36
FC
，即FC
＝6时，tan α取得最大值，此时α取得最大值．
【答案】6
1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C
a b c
+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若2
2
2
6
5
b c a bc +-=
，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【解析】
Ⅰ）根据正弦定理，可设
sin a A =sin b B =sin c
C
=k(k>0)． 则a=ksin A ，b=ksin B ，c=ksin C ． 代入
cos A a +cos B b =sin C
c
中，有
cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin C
k C
，变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．
在△ABC 中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C ， 所以sin Asin B=sin C ．
2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c . 已知b +c =2a cos B.
（I ）证明：A =2B ；
（II ）若△ABC 的面积2=4
a S ，求角A 的大小.
【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4
π
． 【解析】
（Ⅰ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，
故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是()sin sin ΒA Β=-．
又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()πB A B =--或B A B =-， 因此πA =（舍去）或2A B =， 所以，2A B =．
（Ⅱ）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1
sin sin sin 2sin cos 2
B C B B B ==，
因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =． 又B ，()0,πC ∈，所以π
2
C B =
±． 当π2B C +=
时，π2A =； 当π2C B -=时，π
4A =．
综上，π2A =或π
4
A =．
3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B
A B B A
+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12
【解析】
（Ⅰ）由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B
A B A B A B
+=+（
）， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C ++=π,
所以()()sin sin sin A B C C +=π-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2
a b
c +=
, 所以 222
222
2cos 22a b a b a b c C ab
ab
++-+-==
（
）311842b a a b =+-≥（），
当且仅当a b =时，等号成立.
故 cos C 的最小值为
12
. 【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1
tan 2
A =
，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则
D DF E⋅= ．
【答案】1615
-
【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，，
若a =
1sin 2B =
，6
C =π
，则b = . 【答案】．
【解析】因为1sin 2B =
且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6
B π
=，23A B C ππ=--=
，
又a =由正弦定理得sin sin a b
A B =
即2sin sin 36
b ππ
=解得1b =，故应填入．
【2015高考湖北，理12】函数2π
()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数
为 ．
【答案】2
【解析】因为2π
()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+
|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x
所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，
所以函数)(x f 有2个零点.
【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75
的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.
【答案】6100
【解析】依题意，
30=∠BAC ，
105=∠ABC ，在ABC ∆中，由
180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，
所以 45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得
30sin 45
sin 600BC
=，即2300=BC m ，
在BCD Rt ∆中，因为
30=∠CBD ，2300=BC ，所以
230030tan CD
BC CD =
=
，所
以6100=CD m ．
【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o
，AB ，A 的角平分线AD 则
AC =_______.
【解析】由正弦定理得
sin sin AB AD
ADB B
=∠，即sin sin120ADB =∠︒，解得
sin ADB ∠=
，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以
1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=.
【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．
【答案】7
【解析】由已知得ABC ∆的面积为
1
sin 20sin 2
AB AC A A ⋅==
sin A =
，(0,)2A π∈，所以3
A π
=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．
【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）
ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．
(Ⅰ) 求
sin sin B
C
∠∠；
(Ⅱ)若1AD =，2
DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)
1
2
；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1
sin 2
ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为
2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得
sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠．
(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得
2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．
222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．
【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，，已知
4
A π
=
，22
b a -=
12
2
c .
（1）求tan C 的值；
（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.
【2015高考安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,4
A A
B A
C π
=
==点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.
【解析】如图，
设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得
2222232cos 626cos
1836(36)904
a b c bc BAC π
=+-∠=+-⨯⨯=+--=，
所以a =
又由正弦定理得sin sin
b BAC B a ∠=
==
.
由题设知04
B π
<<
，所以cos 10
B ===. 在ABD ∆
中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B B
π⋅=
===-【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，．向量()
,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．
（I ）求A ；
（II ）若a =
2b =求C ∆AB 的面积．
【答案】（I ）3
π
；
（II ）2．
【解析】
（I ）因为//m
n ，所以sin cos 0a B A -=
，
由正弦定理，得sinAsinB A 0-
=
又sin 0
B ≠，从而tan A =，
由于0A π<<，所以
3A π
=
（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得222
2cos a b c bc A =+-
而2,
a ==3π
A =
得2742c c =+-，即2
230c c --=
因为0c >，所以3c =．
故C ∆AB
的面积为1bcsinA 2
2=
．
解法二：由正弦定理，得
2sin sin
3
π
=
B
，
从而sin B ， 又由a b >，知A B >
，所以cos 7
B =
. 故(
)sinC sin A B sin sin cos cos sin 33314
B B πππ⎛⎫
=+=B +
=+= ⎪
⎝
⎭ 所以C ∆AB
的面积为
1bcsinA 22
=. （2014·天津卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1
4
a ，2sin
B ＝3sin
C ，则cos A 的值为________．
【答案】－1
4
【解析】∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .
又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝3
2
c ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝94c 2
＋c 2－4c 22×32
c ×c ＝－1
4
.
（2014·新课标全国卷Ⅱ）设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2
＋y 2
＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．
【答案】[－1，1]
【解析】在△OMN 中，OM ＝1＋x 2
0≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得1＋x 2
0sin α＝1sin 45°，所以1＋x 20＝2sin α∈[1，2]，所以0≤x 2
0≤1，即－
1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．
（2014·广东卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos
B ＝2b ，则a
b
＝________．
【答案】2
【解析】本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin
B ，即sin(B ＋
C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a
＝2b ，故a b
＝2.
（2014·安徽卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，
A ＝2
B .
(1)求a 的值；
(2)求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．
（2014·北京卷）如图1­2，在△ABC 中，∠B ＝π
3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，
cos∠ADC ＝1
7
.
(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．
图1­2
【解析】(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4 3
7
.
所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×
3
2＝3 3
14
. (2)在△ABD 中，由正弦定理得
BD ＝AB ·sin ∠BAD
sin ∠ADB ＝8×
33144 3
7＝3.
在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B
＝82＋52
－2×8×5×12＝49，
所以AC ＝7.
（2014·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．
【答案】2
3
【解析】由BC sin A ＝AC
sin B
，得sin B ＝
4sin 60°
23
＝1，
∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，
则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝1
2×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.
（2014·湖南卷）如图1­5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝
2，AC ＝7.
图1­5
(1)求cos∠CAD 的值； (2)若cos∠BAD ＝－
714，sin∠CBA ＝21
6
，求BC 的长． 【解析】(1)在△ADC 中，由余弦定理，得
cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2
2AC ·AD
，
故由题设知，cos∠CAD ＝7＋1－427＝27
7.
(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos∠CAD ＝277，cos∠BAD ＝－7
14，
所以sin∠CAD ＝1－cos 2
∠CAD ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2772
＝217，
sin∠BAD ＝1－cos 2
∠BAD ＝
1－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－7142＝32114.
于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )
＝sin∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD sin∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－714×217
＝
32
. 在△ABC 中，由正弦定理，得
BC
sin α
＝
AC
sin∠CBA
.
故BC ＝
AC ·sin α
sin∠CBA
＝
7×32
216
＝3.
（2014·江西卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2
＋6，
C ＝π
3
，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.9 32 C.3 3
2 D ．
3 3
【答案】C
【解析】由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC ＝1
2ab sin
C ＝
3 3
2
. （2014·辽宁卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →
＝2，cos B ＝1
3
，b ＝3.求：
(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．
【解析】(1)由BA →·BC →
＝2得c ·a ·cos B ＝2， 又cos B ＝1
3
，所以ac ＝6.
由余弦定理，得a 2
＋c 2
＝b 2
＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2
＋c 2＝9＋2×2＝13.
解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2
＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.
(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2
B ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝
223.
由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 2
9
.
因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，
因此cos C ＝1－sin 2
C ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4 292＝7
9
. 所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝23
27
.
（2014·全国卷）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan
A ＝13
，求B .
【解析】由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .
因为tan A ＝1
3，所以cos C ＝2sin C ，
所以tan C ＝1
2
.
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝
tan A ＋tan C
tan A tan C －1
＝－1， 所以B ＝135°.
（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．
【答案】 3
【解析】根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，根据
余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3
.根据b 2＋c 2－a 2
＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc
－a 2
，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32
＝ 3.
（2014·新课标全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC 的面积是1
2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )
A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 【答案】B
【解析】根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝1
2
，得sin
B ＝
22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π
4
，所以AC ＝1＋2－2×1×2×
2
2
＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝
3π
4
，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
22＝ 5. （2014·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →
＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．
【答案】1
6
【解析】因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝2
3，所以
△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →
|sin A ＝12×23×sin π6＝16
.
（2014·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．
（2014·四川卷）如图1­3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)
图1­3
【答案】60
（2014·浙江卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2
A －cos 2
B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .
(1)求角C 的大小；
(2)若sin A ＝4
5
，求△ABC 的面积．
【解析】(1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －1
2cos
2A ＝
32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B －π6.
由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π
6＝π，
即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π
3
.
(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝8
5
.
由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3 3
10.
所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝8 3＋18
25
.
（2014·重庆卷）已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －
B )＋12
，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立
的是( )
A ．bc (b ＋c )>8
B ．ab (a ＋b )>16 2
C ．6≤abc ≤12 D．12≤abc ≤24 【答案】A
【解析】因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋1
2
，
所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋1
2，
所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋1
2
，
所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝1
8
.
由1≤S ≤2，得1≤1
2bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，
所以1≤2R 2
·sin A sin B sin C ≤2，所以1≤R 2
4≤2，即2≤R ≤2
2，所以bc (b ＋c )>abc ＝
8R 3
sin A sin B sin C ＝R 3
≥8.
1.在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为( )
A. 6 km
B. 2 km
C. 3 km
D.2 km
解析 如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°，∴AC
sin 60°＝2sin 45°
，∴AC ＝22
×
3
2
＝6(km).
答案 A
2.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )
A.102海里
B.103海里
C.203海里
D.202海里
解析 如图所示，易知，
在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC sin 30°＝AB
sin 45°，
解得BC ＝102(海里). 答案 A
3.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站
C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( )
A.a km
B. 3 a km
C.2a km
D.2a km
解析 由题图可知，∠ACB ＝120°，
由余弦定理，得AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC ·cos ∠ACB
＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝3a 2
，解得AB ＝3a (km).
答案 B
4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )
A.8 km/h
B.6 2 km/h
C.234 km/h
D.10 km/h
解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12
－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B.
答案 B
5.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于
( )
A.5 6
B.15 3
C.5 2
D.15 6
解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得BC
sin 30°＝
30
sin 135°
，所以BC＝15 2.
在Rt△ABC中，AB＝BC tan ∠ACB＝152×3＝15 6.
答案 D
6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分.
7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝
3
3
×30＝103(m)，
在△MON 中，由余弦定理得，
MN ＝900＋300－2×30×103×
32
＝300＝103(m). 答案 10 3
8.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.
解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°.又AB ＝200 m ，∴AC ＝400
3
3(m).
在△ACD 中，由余弦定理得，
AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2，
∴CD ＝13
AC ＝
400
3
(m). 答案
4003
9.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值.
解 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122
＋202
－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28.
所以渔船甲的速度为BC
2
＝14海里/时.
(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得
AB
sin α＝
BC
sin 120°
，
即sin α＝
AB sin 120°
BC
＝
12×32
28
＝3314
. 10.在△ABC 中，A ＝3π
4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长.
解 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62
－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－
(－36)＝90，
所以a ＝310.
又由正弦定理，得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310
＝10
10， 由题设知0<B <π
4，
所以cos B ＝1－sin 2
B ＝1－110＝31010
. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，
所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B .
由正弦定理，得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3
cos B
＝10.
11.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于________m.
解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，
12.如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能
最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449).
解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).
在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得
BC ＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里).
根据正弦定理，可得
sin ∠ABC ＝AC sin 120°BC ＝2×
3
26＝2
2.
∴∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直， 从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin ∠BCD ＝
BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t
＝1
2， ∴∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°， ∴BD ＝BC ＝6(海里)， 则有10t ＝6，t ＝
6
10
≈0.245小时＝14.7分钟. 故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船。