2021-2022学年辽宁省大连市瓦房店第二十高级中学高一数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年辽宁省大连市瓦房店第二十高级中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果两直线与互相平行，那么它们之间的距离为（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
D
两直线平行，
∴，
∴，
直线变为，
两直线分别为和，
距离．
故选．
2. 下列命题中真命题的个数为（）
①平行于同一平面的两直线平形；②平行于同一平面的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两平面垂直；
A．0个B．1个 C. 2个D．3个
参考答案：
C
3. 设函数则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是（）．（A）[，1] （B）[，＋∞)
（C）[0，1] （D）[1，＋∞)
参考答案：
B
4. 设,则等于( )
参考答案：
C
5. 下列关系式中正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
试题分析：先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．
解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，
cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．
又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，
∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．
故选C．
考点：正弦函数的单调性．
6. （4分）在空间，下列命题中正确的是（）
A．没有公共点的两条直线平行
B．与同一直线垂直的两条直线平行
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．已知直线a不在平面α内，则直线a∥平面α
参考答案：
C
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：在A中两直线还有可能异面；在B中两直线还有可能相交或异面；由平行公理知C正确；在D 中直线a与平面α还有可能相交．
解答：解：没有公共点的两条直线平行或异面，故A错误；
与同一直线垂直的两条直线相交、平行或异面，故B错误；
由平行公理知：平行于同一直线的两直线平行，故C正确；
已知直线a不在平面α内，
则直线a∥平面α或直线a与平面α相交，故D正确．
故选：C．
点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
7. （3分）已知x0是函数f（x）=e x+2x﹣4的一个零点，若x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），则（）
A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0
参考答案：
B
考点：函数零点的判定定理．
分析：先判断函数的单调性，再利用已知条件f（x0）=0即可判断出答案．
解答：∵函数f（x）=e x+2x﹣4在R上单调递增，且f（x0）=0，
∴由x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），可得f（x1）＜0，f（x2）＞0．故选B．
点评：熟练掌握指数函数的单调性、函数零点的意义是解题的关键．
8.
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
B
9. 已知函数是偶函数，那么()
A．既是奇函数又是偶函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
参考答案：
C
10. 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布
尺，则这位女子织布的天数是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
参考答案：
B
【分析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知某个数列的前4项分别为，写出该数列的一个通项公式为。

参考答案：
12. ，是四面体中任意两条棱所在的直线，则
，是共面直线的概率
为
.
参考答案：
0.8
略
13. 已知且,则的最小值是．参考答案：
14. 已知函数，且，则__________．
参考答案：
4
∵，
∴
，
又，∴，
∴．
15. ，，，则与的夹角是．
参考答案：
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：∵，
∴||==2，
∵，，
设与的夹角为θ，
∴cosθ===，
∵0≤θ≤π，
∴θ=，
故答案为：．
16. .圆的圆心坐标是_______.
参考答案：
(2,－3).
【分析】
将圆的方程整理为标准方程即可得到圆心坐标.
【详解】把圆的方程化为标准方程为：
圆心坐标为
本题正确结果；
【点睛】本题考查根据圆的方程求解圆心坐标的问题，属于基础题.
17. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，
则的值是___________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图所示，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，
，记．
(1)若，求对角线BD的长度
(2)当变化时，求对角线BD长度的最大值．
参考答案：
（1）；（2）当时，，则.
【分析】
(1) 在中，由余弦定理可得推出为等腰直角三角形, 在中，由余弦定理可得答案.
(2) 在中，由余弦定理可用表示，由正弦定理计算，中，由余弦定理可得，得到答案.
【详解】(1)在中，∵，
由余弦定理可得:，
∴，
为等腰直角三角形，∴°，
在中，，
由余弦定理可得:，
∴
(2)在中，∵，
由余弦定理可得:，
又由正弦定理可得，
即，
∴，
∴，
在中，，
由余弦定理可
得:，
∴当时，，则．
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，计算难度大，技巧性强，意在考查学生的建模能力和计算能力.
19. （12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．
（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B 在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．
（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可，
（2）根据函数的性质利用作差法进行判断即可，
（3）根据函数定义域和值域的关系建立方程，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函数f（x）具有性质M．
任取x1、x2且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）?，若x1、x2∈（0，1），
则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，1）上是减函数．
若x1、x2∈（1，+∞），
则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）∵，∴g（x）具有性质M （4分）
由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=e t，
∵t＞0，∴e﹣t＜e t，
∴，
∴，∴，
∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）
而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，
|AB|＜|AC|（7分）
（3）∵h（1）=0，m，n，k均为正数，
∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）
当0＜m＜n＜1时，0＜x＜1，=是减函数，
值域为（h（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，
∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2
故不存在（10分）
当1＜m＜n时，x＞1，=是增函数，
∴h（m）=km，h（n）=kn，∴，
∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1，，不存在
综合得，若不存在正数m，n，k满足条件．（12分）
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义，以及利用函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
20. （本小题10分）已知集合，，
（1）求, ；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案：
略
21. 已知函数，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）是否存在实数使得的定义域为,值域为？若存在,求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由。

参考答案：
（1）定义域为{x|x<-2或x>2}，--------------------------------2分
且所以f(x)是奇函数。

-----------4分
（2）a>1时不存在-----------------------------------------------------------------------------------------6分0<a<1时，f(x)单调递减，则=
即有两个大于2的不等实根，--------------------------------10分
设g(x)=
解得---------------------------------15分
22. 已知=（4，3），=（﹣1，2）
（1）求与的角的余弦；
（2）若（﹣λ）⊥（2+），求λ；
（3）若（﹣λ）∥（2+），求λ．
参考答案：
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；96：平行向量与共线向量；9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）由向量、，求出它们所成的角的余弦值；（2）求出向量﹣λ，2+的坐标表示，由（﹣λ）⊥（2+），得（﹣λ）?（2+）=0，求出λ的值；
（3）由（﹣λ）∥（2+），得8（4+λ）﹣7（3﹣2λ）=0，求出λ的值．
【解答】解：（1）∵=（4，3），=（﹣1，2），
∴与所成的角的余弦为
cosθ===；
（2）∵﹣λ=（4+λ，3﹣2λ），
2+=（7，8），
且（﹣λ）⊥（2+），
∴（﹣λ）?（2+）=7（4+λ）+8（3﹣2λ）=0，
解得λ=；
（3）∵（﹣λ）∥（2+），
∴8（4+λ）﹣7（3﹣2λ）=0，
解得λ=﹣．
【点评】本题考查了平面向量的应用问题，利用平面向量求夹角，判定平行与垂直，是常见的问题，是基础题．。