高中数学-第二章 平面向量 2.3.1 数乘向量课件 北师大版必修4

②若向量 e1 和 e2 共线,可设 e2=ke1(k∈R),
则 3e1+2e 2=(3+2k)e1,3e 1-2e 2=(3-2k)e1,
3+2k 与 3-2k 中至少有一个不为 0,不妨设 3-2k≠0,
3+2
于是 3e1+2e2=
(3e1-2e2),这时 3e1+2e 2 与 3e 1-2e2 共线.
探究三
易错辨析
探究二向量的线性运算
【例 2】 (1)计算下列各式:
①3(a-2b+c)-(2c+b-a);
2
1
2
② (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b).
5
3
15
(2)设 x,y 是未知向量.
①解方程 5(x+a)+3(x-b)=0;
1
②解方程组
2
- = ,
1
- = .
2
思路分析:要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律,其运
∴a∥b.综上可证得a∥b.
(
)
A.a 与-λa 的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a 与 λ2a 的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
(2)点 C 是线段 AB 靠近点 A 的一个三等分点,则下列不正确的
是(
)
1
A. =
2
3
B. =
2
C.| |=2| |
D.| |=3| |
答案:(1)C (2)B
所以k=-8k',2=-k'k,
故k'=-4.
答案:-4
1
2
3
4
5
4.设 a,b 是两个不共线向量,=2a+pb, =a+b, =a-2b,若 A,B,D
三点共线,则实数 p 的值为
.
解析:∵ = + =2a-b,又 A,B,D 三点共线,
∴存在唯一实数 λ,使=λ.
2 = ,
2e1+λe2=μ(e1-4e 2),又 e1,e 2 不共线,所以
从而 λ=-8.
= -4,
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因对向量共线的条件理解不清而致误
典例已知非零向量 e1 和 e2,试判断 3e 1+2e2 与 3e 1-2e 2 是否共线?
错解:若存在实数 λ,使 3e1+2e2=λ(3e1-2e2),
2 = 2,
即
∴p=-1.
= -,
答案:-1
1
2
3
4
5
5.已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2.求证:a∥b.
证明:①若e1=e2=0,则a=b=0,∴a与b共线,即a∥b.②若e1,e2至少有
一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1λ)e1,b=2(1+λ)e1,∴a∥e1,b∥e1,而e1≠0,
则 3e1+2e 2=3λe1-2λe 2,即(3-3λ)e1=(-2λ-2)e2,
3-3 = 0,
于是
λ 无解,所以不存在实数 λ,使 3e1+2e2=λ(3e1-2e 2),
-2-2 = 0,
故两个向量不共线.
正解:①若向量 e1 和 e2 不共线,由错解过程可知 3e1+2e2 与 3e 12e2 不共线.
3
从速度的倍数到数乘向量
3.1
数乘向量
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.理解数乘向量的定义及其
几何意义.
2.掌握数乘向量的运算律.
3.会进行向量的线性运算.
4.掌握向量共线的判定定理
及性质定理,并能应用定理解
决相关问题.
一、数乘向量
1.定义:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量.记作λa,这种运算叫
=2e1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2=12e1+18e 2=6(2e 1+3e 2)=6 ,∴向量
与共线.
又 和有共同的起点 A,∴A,B,D 三点共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练 3 (1)设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-2a)

2
2
有
= ,得 AB= BC,又因为向量 与的方向相同,所以 =
2
3
+
2
5
3
=- .
3
如图 2,当 B,C 两点在点 A 的异侧时,有

-
2
2
2
5
7
= ,解得 AB= BC.
2
又因为向量与的方向相反,所以=- = .
7
7
探究一
探究二
算过程类似于“合并同类项”;(2)是解关于未知向量的方程或方程组,
它与解关于未知数的方程或方程组是类似的,在计算过程中应遵守
向量加、减法及向量数乘的运算律.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)①原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.
2
26
15
2
2
4
4
26
②原式=5a-5b-3a- 3b+15a+ 15b=
)
(
)
(4)若 =k ,则 A,B,C 三点共线. (
)
(5)若 =k,则 A,B,C,D 四点共线. (
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一数乘向量的定义及几何意义
【例 1】 (1)设 a 是非零向量,λ 是非零实数,则下列结论正确的是
答案:B
6
3
3
3
3
3
做一做2 如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于O.那么下列
各式成立的是(
)
1
A. =-
2
1
B. =
2
C. + =2
D. + =2
解析: + = =2,故 C 项成立.
答案:C
二、向量共线的判定定理和性质定理
3-2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1
2
1.下列各式计算正确的个数是(
)
①(-7)·6a=-42a;②a-2b+(2a+2b)=3a;③a+b-(a+b)=0.
A.0
B.1
C.2 D.3
解析:①②正确,③的结果应为0,故③错误.
答案:C
3
4
5
1
2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于(
A.2a
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练 1 已知 A,B,C 三点共线,且
.

解:由已知 A,B,C 三点共线,且


2
= ,分别用 , 表示

5
2
= ,所以 B,C 两点可能在点 A
5
的同侧,也可能在点 A 的异侧.如图 1,当 B,C 两点在点 A 的同侧时,
1-2 = 0,
则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以
解得
= -0.5.
+ = 0,
答案:B
(2)解:由=e1+3e 2,=2e1-e2 得 = − =e1-4e 2,又
=2e1+λe2,且 A,B,D 三点共线,所以存在实数 μ,使得 =μ ,即
= -2
∴a 与 b 不平行.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
②∵a∥c,∴c=ra,
∴m+xn=r(3m+2n),
1
即
= ,
1 = 3,
3
⇒
2
= 2
= ,
2
3
∴x=3.
(2)思路分析:要证 A,B,D 三点共线,只要利用向量共线定理,证明
存在实数 λ,使 =λ 即可.
证明:∵ = + +
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
1
做一做 1 将 [2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为(
)
12
A.2a-b
B.2b-a
C.a-b
D.b-a
1
1
1
4 4
2
解析:原式= (2a+8b)- (4a-2b)= a+ b- a+ b=-a+2b.
作向量的数乘.
2.长度与方向的规定:
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0
时,λa=0,方向任意.
3.几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向
(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长或压缩到原来的|λ|倍.
4.运算律:设λ,μ为实数,则有
(2)已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线,如果
=2e1+3e 2, =6e1+23e2,=4e1-8e 2.求证:A,B,D 三点共线.
(1)解:①若 a∥b,显然 a 为非零向量,则 b=λa,即
6m-4n=λ(3m+2n),
6 = 3,
= 2,
∴
⇒
⇒λ 不存在.
-4 = 2
共线,则 λ=(
)
A.0
B.-0.5
C.-2
D.0.5
(2)已知两个不共线向量 e1,e2,且
=2e1+λe2,=e1+3e2,=2e1-e2.若 A,B,D 三点共线,试求实数 λ 的
值.
(1)解析:依题意知向量 a+λb 与 2a-b 共线,故设 a+λb=k(2a-b),
= 0.5,
B.-2a
C. 2 a
D.- 2 a
5
5
)
解析:由题意知3x-2x+2a=0,故x=-2a.
答案:B
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向
相反,则k=
.
解析:设k'>0,则ka+2b=-k'(8a+kb),
即ka+2b=-8k'a-k'kb.
因为a,b不共线,
C.B,C,D
D.A,C,D
解析: = + + =3a+6b=3(a+2b)=3,∴A,B,D 三
点共线.
答案:A
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的
画“×”.
)
(1)若向量 λa=0,则 a=0. (
)
(2)若向量 λa=0,则 λ=0. (
(3)若向量 a 与 b 不共线,且 λa=μb(λ,μ∈R),则一定有 λ=μ=0.
7
7
解得
1
2
+ 3 = ,
= - + .
3
1
1
2777来自7答案: m+ n - m+ n
7
7
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三向量共线定理的应用
【例 3】 (1)已知向量 m,n 是不共线向
量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
①判断 a,b 是否平行;
②若 a∥c,求 x 的值.
4
3
3
代入原来第二个方程得 x=- a+ b.
即
2
4
3
4
3
2
3
3
= - + ,
= - + .
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练 2 已知 2a-b=m,a+3b=n,那么 a,b 用 m,n 可以表示为
a=
,b=
.
3
解析:由
1
= + ,
2- = ,
2 2
4
5 3
15
- +
2 4
a+ - - +
5 3
b=0×a+0×b=0.
(2)①原方程可变为 5x+5a+3x-3b=0,
5 3
即 8x=-5a+3b,则 x=- a+ b.
8
8
3
4
2
2
3
3
②把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相
加,
得 y=-2a+b,从而 y=- a+ b.
2
1.判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b
与非零向量a共线.
2.性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.
做一做 3 已知向量 a,b,且=a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则一定
共线的三点是(
)
A.A,B,D
B.A,B,C