高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》分类汇编附解析

数学《推理与证明》知识点练习
一、选择题
1．已知()()()212
f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（ ）
A ．()21f x x =+
B ．()422x f x =+
C ．()11f x x =+
D ．()221
f x x =+ 【答案】A
【解析】因为
()()()212
f x f x f x +=
+,所以
()()111
12
f x f x =++ ,因此
()()()()()11112
111221
x x f x f x f x =+-=+⇒=+,选A.
2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则
a 的值为( )
A ．100820182⨯
B ．100920182⨯
C ．100820202⨯
D ．100920202⨯
【答案】C 【解析】 【分析】
根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】
解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；
L L ，
第n 行第一个数为：1
n 2n n a -=⨯；
一共有1010行，
∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；
【点睛】
本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D 【解析】 【分析】
假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】
假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】
本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．
4．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】
“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.
5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成
()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+-
【答案】B
【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.
6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D 【解析】 【分析】
对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】
若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；
若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】
本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低
气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )
A ．各月的平均最低气温都在0℃以上
B ．七月的平均温差比一月的平均温差大
C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】
解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．
8．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为
ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）
A ．71
B ．72
C ．20
D ．19
【答案】D 【解析】
【分析】
先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有
()11+2+3++=
2
i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，
即可得解. 【详解】
奇数2019为第1010个奇数，
由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=
2
i i i +⋅⋅⋅个奇数，
则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】
本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.
9．二维空间中圆的一维测度(周长)2l
r π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二
维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)3
43
V r π=
.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）
A ．42r π
B ．43r π
C ．44r π
D ．46r π
【答案】A 【解析】
分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .
详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和B B ．B 和C
C ．A 和C
D ．无法判断
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论. 【详解】
B 和
C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，
乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，
由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程. 故选：C. 【点睛】
本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.
11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙 【答案】A
【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.
12．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
3331373152{3{94{517
11
19
L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B 【解析】
由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，
12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得
2(422)(2)
(1)(2)2
m m m a a m m +---=
=+-
∴2
2(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+
∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B
13．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三
名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )
A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班
C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班
【答案】C
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．
【详解】
假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，
∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；
14
假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，
∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，
7
则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；
假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，
∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．
7
综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．
故选：C．
【点睛】
本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：
甲说：我去过阿勒泰；
乙说：丙去过阿勒泰；
丙说：乙、丁均未去过阿勒泰；
丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．
若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话．
【详解】
解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过；
如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过． 故选：C ． 【点睛】
本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.
15．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，
333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++
B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．123413341234
,,
333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】
根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】
该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.
16．三角形的面积为1
()2
S a b c r =
++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）
A ．1
3V abc = B ．13
V Sh = C ．1
()3
V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()12341
3
V S S S S r =
+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径） 【答案】D 【解析】 【分析】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案. 【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V 1
3
=
（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ． 【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
17．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
121
4
S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为1
2
V V =（ ） A ．
164
B ．
127
C ．
19
D ．
18
【答案】B 【解析】 【分析】
平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论. 【详解】
设正四面体P-ABC 的边长为a ，设E 为三角形ABC 的中心，H 为正四面体P-ABC 的中心，则HE 为正四面体P-ABC 的内切球的半径r,BH=PH 且为正四面体P-ABC 的外接球的半径R ，
所以BE=
2
2
23336
,
32333
a a PE a a
a
⎛⎫
⨯==-=
⎪
⎪
⎝⎭
，
所以在Rt BEH
∆中，
22
2
63
a r r a
⎛⎫⎛⎫
-=+
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
解得6
12
r a
=，所以R=PE-HE=
666
a a a
-=，所以
1
3
r
R
=，
根据的球的体积公式有，
3
3
1
3
2
4
1
3
427
3
r
V r
V R
R
π
π
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，
故选：B.
【点睛】
本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比. 18．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=⨯
大吕黄钟太簇()2
3⨯
大吕黄钟夹钟()2
3⨯
太簇黄钟夹钟
数列{}n a中，k a=（）
A．1
1
n k
n
n
a a
-
-+⋅B．1
1
n k
n
n
a a-
-+⋅C．1
1
1
n k k
n
a a
--
-⋅D．1
1
1
k n k
n
a a
--
-⋅
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a中的k a可由首项1a和末项n a表示.【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，
四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，
所以正项等比数列{}n a中的k a可由首项1a和末项n a表示，
因为1
1
n
n
a a q-
=，所以1
1
=n
a
q
a
-
所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n n a a ----
⋅=
故选：C.
【点睛】 本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.
19．用数学归纳法证明“
1112n n ++++…111()24
n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．
12(1)k + B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212
k k k k +--++++ 【答案】C
【解析】
【分析】
分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

【详解】
由n=k 时，左边为11112k k k k
+++++L ， 当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)
k k k k k k k k +++++++++++++L 所以增加项为两式作差得：
11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
20．用数学归纳法证明
11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ）
A ．
111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331
k k -++ D ．133k +
【答案】B
【解析】
分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.
详解：n k =时，左边为111123k k k
++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233
k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是
11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.。