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云模型理论综述
云模型理论是李德毅院士及其领导的研究小组所提出的一种全新的理论，它的出现主要用于解决现实系统定性概念与定量数值之间的不确定性转换问题。

目前在很多研究领域用语言表述一个事实时会面临两类问题：模糊性（边界的亦此亦必性）和随机性（发生的概率），当对客观世界给出定性概念后，需要经历将定性概念转化为可以用数字进行定量分析的过程，而在此转化过程中，必然涉及到模糊性和随机性的问题。

传统的模糊性理论作为处理模糊性问题的主要工具，用隶属度来刻画模糊事物的亦此亦彼性，但是这种利用一个精确隶属度函数来描述模糊集的方法，其已经将模糊概念强行纳入确定数据的讨论中，则以此为基础而引申出的叙述和分析都变的不再模糊，这也就是传统的模糊性理论的不彻底性问题。

传统的随机数学是解决模糊概念和定性概念之间的概率性问题的方法，当一个定性概念转化为定量概念后，每个转化后的数据只是依据一定概率存在，但是概念所代表的模糊区间却无法确定。

而云理论则很好地将两者特性结合。

一、云理论的原理和特征
云理论的主要特点在于将概念的模糊性和随机性特征结合在一起，解决了非线性与不确定性的问题。

云理论解决概念模糊性和随机性特征的原理如下：
其假设一个精确数值量组成的集合{}U x =，称为论域。

T 是与U 相联系的语言值。

U 中的元素x 对于T 所表达的定性概念的隶属度()T C x （或称x 与T 的相容度）是一个具有稳定性的随机数，隶属度在论域上的分布成为隶属云，简称云。

隶属度()T C x 在[0,1]中取值，云是从论域U 到区间[0,1]的映射，即
()T C x ：[0,1]U −−
→ 1、 由于()T C x 是一个随机分布，所以x U ∈到区间[0,1]的映射是一对多的转换，同时由于x 对于T 的隶属度是一个概率分布而非固定值，从而产生的云是一条具有一定厚度的云体，而不是一条清晰的隶属曲线。

2、 云由许多云滴组成，一个云滴是定性概念在定量数据上的一次实现，单个云滴无法表达什么，并且在不同时刻产生的云的细节也可能不尽相同，但是具有整体形状的云却能够反映概念的基本特征。

云滴的分类就类似天上的云，远看有明确的形状，近看没有确定边界。

3、 云的数学期望曲线从模糊集理论观点来看是隶属曲线。

4、 云的“厚度”是不均匀的，腰部最分散，“厚度”最大，而顶部和底部汇聚性好，“厚度”较小。

云的“厚度”反映了隶属度的随机性的大小，靠近概念中心或远离概念中心处隶属度
的随机性较小，而远离概念中心不近不远的位置隶属度的随机性大，这与人的主观感受相一致。

二、云模型的数字特征和构建方法
由于社会和自然科学领域的各个分支中已经证明了正态分布的普适性，正态分布是概率理论中最基本的分布，具有普适性，大量社会和自然科学中定性知识的期望曲线都近似服从正态分布，而正态云模型正是在正态分布的基础上建立起来的，它是一种最基本的云模型，也是表征概念的有力工具之一。

所以本处以正态云作为范例分析云模型的数字特征和如何构建云模型。

1、云模型的数字特征
利用正态分布构建云模型的步骤为： 2
2()exp[]2x n
x E z E -=- 1) 生成期望值为x E ，标准差为n E 的正态随机数(,)n x n x G E E =；
2) 生成期望值为n E 、标准差为e H 的正态随机数~
(,)n n n e E G E H =；
3) 计算~22exp[()/(2)]x n y x E E =--，(,)x y 即构成一个云滴；
4) 重复步骤1～3，直至形成符合要求的云；
图1 针对语言值“20公里左右”形成的正态隶属云
从图1中可以看出正态云模型的数字特征：云可用三个数字特征刻画：期望值x E 、熵n E 和超熵e H ，正是利用这三个数字特征，依靠云模型能够把模糊性和随机性完全集合在了一起。

期望值x E ：是概念在论域中的中心值，是最能够代表这个定性概念的值，即它100%隶属于这个概念。

熵n E ：是定性概念模糊度的量度，反映了定性概念在论域中可能出现的数值范围，即途中的横坐标域，体现了定性概念亦此亦彼性的裕度。

熵越大，概念所接受的数值范围越大，概念越模糊。

超熵e H ：熵的不确定度的度量，反映了云滴的离散程度，代表在顺着云曲线的切线方向上的厚度，超熵越大，云滴离散度越大，隶属度的随机性越大，云滴厚度越大。

它反映了定性概念的样本出现的随机性，揭示了模糊性和随机性的关联。

2、构建云模型的工具和方法
在第1点中已经揭示了云模型的数字特征，借助这三个数字特征，利用云发生器即可建立云模型。

云滴生成算法可以使用软件得到实现，也可由固化硬件来加以实现，成为云发生器。

比较常用的有两类云发生器，一种为由云滴的数字特征(,,)x n e E E H 产生云滴，即实现由定性到定量的转换，称为正向云发生器。

另外一种为通过给定符合某一正态分布规律的一组云滴作为样本(,)i i x y ，产生云所描述的定性概念的3个数字特征值(,,)x n e E E H ，即从定量到定性的转换，其软件或硬件实现成为逆向云发生器。

a 正向云发生器
b 逆向云发生器
图2 云发生器
逆向云的生成算法根据精度的需要有多种选择，一般来说包括有需要确定度信息的逆向云算法和无需确定度信息的逆向云算法，另外逆向云发生器的误差是云发生器的主要内容，在利用云模型计算指标时，误差的产生、传播也主要是集中在逆向云发生器中，通过实验表明，逆向云算法云滴的数量越多，所得到的特征值的误差越小，当云滴数量大于10时，就能得到比较精确的期望期望值x E 和熵n E ，其中1%x E ∆<，1%n E ∆<，10%e H ∆<，可以看出超熵误差较大。

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