2020年河北省衡水市高级中学高一数学理联考试题含解析

2020年河北省衡水市高级中学高一数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()
A．V1比V2大约多一半 B．V1比V2大约多两倍半
C．V1比V2大约多一倍 D．V1比V2大约多一倍半
参考答案：
D
2. 用数学归纳法证明命题“”时,在作归纳假设后,需要证明当时命题成立,即需证明( )
A.
B.
C.
D.
参考答案：
B
【分析】
根据数学归纳法的知识，直接选出正确选项.
【详解】将题目中的，改为，即，故选B.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，属于基础题.
3. 当时，，则下列大小关系正确的是（）
(A) (B)
(C) (D) 参考答案：
C
4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．y=x+1与y=B．f（x）=与g（x）=x
C．D．
参考答案：
D
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】解：对于A：y=x+1的定义域为R，而y=的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴不是同一函数；
对于B：f（x）=的定义域为{x|x＞0}，而g（x）=x的定义域为R，定义域不同，∴不是同一函数；
对于C：f（x）=|x|的定义域为R，g（x）==x的定义域为R，定义域相同，但对应关系不相同，∴不是同一函数；
对于D：f（x）=x的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；
故选D．
5. 已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为( ) A．B．C．D．
参考答案：
A
是单位向量,且的夹角为π3，设
，
故向量的终点在以C(0,?)为圆心，半径等于2的圆上，
∴的最大值为|OA|=|OC|+r=+2.
本题选择A选项.
6. 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（）
A、圆柱
B、三棱柱
C、圆锥
D、球体
参考答案：
C
7. 一个球内切于棱长为2的正方体，则该球的体积为
A. B. C. D.
参考答案：
C
8. 已知函数f（x）=，则f（1+log23）的值为（）
A．6 B．12 C．24 D．36
参考答案：
C
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式，代入即可得到结论．【解答】解：∵2＜1+log23＜3，
∴4＜2+1+log23＜5，即4＜log224＜5，
∵当x＜4时，f（x）=f（x+2），
∴f（1+log23）=f（2+1+log23）=f（log224）=，
故选：C
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性是解决本题的关键．
9. 下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 若，则；(4)集
合是有限集。

其中正确命题的个数是( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
10. 若为三角形的一个内角，且，则这个三角形是（）
A 正三角形
B 直角三角形
C 锐角三角形
D 钝角三角形
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．
参考答案：
2或0
f(x－1)＝(x－1)2－1，
令f(x－1)＝0即(x－1)2＝1，
∴x－1＝1或x－1＝－1，
∴x＝2或
0.
点睛：由于函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决
12. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球表面积为
▲ .
参考答案：
略
13. （15）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .
参考答案： ②④ 略
14. 已知某三个数的平均数为5，方差为2，现增加一个新数据1，则这四个数的平均数为_______ ,方差为________. 参考答案： 4 4.5
15. 已知点在映射“”作用下的对应点是
，若点
在映射
作用下的对应
点是
，则点
的坐标为___________
参考答案：
16. 某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表(分数均为整数，满分为100分)．
请根据表中提供的信息，解答下列问题： (1)参加这次演讲比赛的同学共有_________人；
(2)已知成绩在91～100分的同学为优胜者，那么，优胜率为________； (3)所有参赛同学的平均得分M(分)在什么范围内?答：___________；
(4)将成绩频率分布直方图补充完整． (如图)
参考答案：
(1)20 (2)20% (3)77≤M ≤86 (4)如图所示． 提示：(1)由表中人数直接相加得结果．
(2)用91～100分人数4除以总人数20，即为优胜率．
(3)将总分数段最小值及最大值分别除以总数得出平均数M 的范围．
得出平均数M 的范围。

根据第三组的人数，得频率为如图所示：
17.
为
上的偶函数，且满足
，
，
，则
参考答案： 3
三、 解答题：本大题共
5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC 中,角ABC 所对的边分别为a ，b ，c ，，
（1）求a 的值； （2）求sin C .
参考答案：
（1）（2） 分析】
（1）先利用同角三角函数的关系求得
，再利用正弦定理可得结果；（2）根据三角形内角
和定理，利用诱导公式，结合（1），由两角和的正弦公式可得结果，
【详解】（1）因为
，
所以，
由正弦定理可得，
；
（2）
.
【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 19. （本小题满分12分）计算
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
参考答案：
（Ⅰ） -------6分
（Ⅱ）
-------
-------------------12分
20. 已知函数f （x ）=
（x≠1）．
（Ⅰ）证明f （x ）在（1，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）令g （x ）=lnf （x ），试讨论g （x ）=lnf （x ）的奇偶性．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；函数思想；作差法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）利用单调性的定义证题步骤：取值、作差、变形定号、下结论，即可证得；
（Ⅱ）先判断函数的奇偶性，再求出函数的定义域、g（﹣x），化简后利用函数奇偶性的定义进行判断．
【解答】证明：（Ⅰ）设1＜x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）=﹣
==，…3分
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；…6分
解：（Ⅱ）g（x）是偶函数，原因如下：
g（x）=lnf（x）=，
由得（x+1）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，
∴函数g（x）的定义域是{x|x＞1或x＜﹣1}，关于原点对称，…8分
∵g（﹣x）===﹣=﹣g（x），
∴函数g（x）是偶函数…12分
【点评】本题考查函数单调性的证明及奇偶性的判断，对数函数的运算，掌握单调性的定义证题步骤是关键，考查化简、变形能力，属于中档题．
21. 设集合，其中.
（1）写出集合中的所有元素；
（2）设，证明
“”的充要条件是“”（3）设集合，设
，使得，且
，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.
参考答案：
（1），，，；（2）证明见解析；（3）充要条件.
【分析】
（1）根据题意，直接列出即可
（2）利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。

（3）利用（2）的结论完成（3）即可。

【详解】（1）中的元素有，，，。

（2）充分性：当时，显然
成立。

必要性：
若=1，则
若=，则
若的值有个1，和个。

不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则
，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说，即
综上“”的充要条件是
“”
（3）
等价于
等价于
由（2）得“=”的充要条件是“”
即“=”是“” 的充要条件
【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22. 已知函数对任意实数均有，且在区间上有表达式
. （1）求，的值；
（2）写出在上的表达式，设（），随着的变化讨论函数在区间上零点的个数
（3）体会（2）中解析式的求法，试求出在上的解析式，给出函数的单调区间；并求出为何值时，有最大值
参考答案：
解：（1）
--------------------------------------------2分
（2）设，则，所以
时，，
时，，
综上，在上的表达式为
-------------------------------------------------------6分
由得，
方法一：数形结合（略）
方法二：由在上的表达式可得，的单调性情况如下
在上为增函数；在上为减函数；在上为增函数
且，
所以当或时，函数与直线无交点，即函数无零点；
当或时，函数与直线有2交点，即函数2个零点；
当时，函数与直线有3交点，即函数3个零点；---------------9分
略。