初高中衔接第九讲 《二元二次方程组》
初三数学二元二次方程组知识精讲
初三数学二元二次方程组知识精讲二元二次方程组1. 二元二次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程。
相应地，按各项的次数分别叫做这个方程的二次项，一次项和常数项。
2. 二元二次方程组由两个二元二次方程或一个二元二次方程、一个二元一次方程组成的方程组，叫二元二次方程组。
3. 二元二次方程组的解法解方程组的基本思想是将多元方程向一元方程转化，将高次方程向低次方程转化，即通常说的消元和降次思想。
由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二元二次方程组，在中学阶段只研究它的几种特殊解法。
如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项。
例：解方程组24220363022x xy x y x xy x y +--+=+-+=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：②×①×2-3得4960x y +-=解方程组496036302x y x xy x y +-=+-+=⎧⎨⎩ 得x y x y 1122214932=-=⎧⎨⎪⎩⎪=-=⎧⎨⎩ 如果方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数。
例：解方程组2422022402222x xy y x y x xy y x y -++-+=--+-+=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：②×①()-+2得 33602y y +-= ∴，y y 1212==- 把y 11=，代入②得x 无解把y 22=-代入②得x =-1或x =-4 ∴原方程组的解是x y x y 11221242=-=-⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩ 如果方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解。
例：解方程组x y x xy y 222252320+=--=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：由②得()()220x y x y +-= ∴20x y +=或x y -=20 ∴原方程组可化为两个方程组x y x y 22520+=+=⎧⎨⎩与x y x y 22520+=-=⎧⎨⎩解得x y x y x y x y 1122334412122121==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩ 如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解。
初高中数学衔接教材解二元二次方程组 导学案(学生版)
对“二·一”型二元二次方程组中形如 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
【学习笔记】
“二·二”型方程组的解法
(i)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。
(ii)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；
④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；
⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。
二、例题分析：
例1．解方程组
分析：仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。
高中数学教案：解二元二次方程组
高中数学教案：解二元二次方程组二元二次方程组是高中数学中的重要知识点之一，解二元二次方程组是我们在解决现实生活中许多问题时经常遇到的一种数学思维方法。
本教案将带领学生逐步理解和掌握如何解二元二次方程组的求解方法，通过具体的例子和练习，培养学生分析和解决实际问题的能力。
一、引入在开始学习解二元二次方程组之前，首先了解什么是二元二次方程组以及它的一般形式。
一个含有两个未知量的等式系统称为二元方程组。
当这个等式系统中含有两个二次项且其中不含有斜线时，我们称其为二元二次方程组。
一般来说，一个二元方程组可表示为如下形式：(ax^2+bx+c = 0)(dy^2+ey+f=0)其中a、b、c、d、e、f都是已知系数。
接下来以具体例子引导学生理解，并通过观察及尝试列出相关步骤。
例：求解以下方程组x^2+y^2-3x-y-10=04x^2+y^2-9x-y-6=0二、将一般形式改写成矩阵形式为了方便求解，我们将二元二次方程组改写成矩阵形式。
首先，将未知数用列向量表示。
例如：(X = [x y]^T)接着，构建一个系数矩阵A和一个常数矩阵B，使得AX = B。
在这个例子中，我们可以得到以下系数矩阵A和常数矩阵B：A ：[[1 -3][4 -9]]B： [[10][6]]三、利用行列式求解接下来，我们将利用行列式的性质去求解该二元方程组。
利用矩阵上的方法可以很容易地得到两个方程的行列式值。
例如，在这个例子中，我们定义D为系数矩阵A计算的行列式。
D：det(A) = 3进一步，我们还需要计算两个增广矩阵Ad和Ax的值来辅助求解。
Ad是将常数项替换到第i列后生成的增广矩阵。
Ax是将第i列替换成常数组成的增广矩阵。
对于这个例子：Ad：[[10 -3][6 -9]]Ax：[[1 10][4 6]]四、利用克拉默法则求解接下来使用克拉默法则（Cramer's rule）求解方程组。
克拉默法则使用比例关系，通过行列式求解未知量。
初中数学教案解二元二次方程组
初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，它能够帮助我们解决实际问题、提高解题能力和逻辑思维能力。
下面，将以一个具体的教案为例，来介绍如何有效地教授初中生解二元二次方程组。
1. 教学目标通过本课的学习，学生应能够：- 掌握二元二次方程组的定义和基本性质；- 能够利用消元法和代入法解决简单的二元二次方程组；- 了解二元二次方程组在实际问题中的应用。
2. 教学准备- 板书准备：在黑板上书写二元二次方程组的定义和基本形式；- 教具准备：准备适量的练习题、解法示例以及实际问题样例。
3. 教学过程（1）引入- 老师可以先通过一个生活实例引入二元二次方程组的概念，如：小明和小红两人一起去买水果，小明买了苹果和梨共计10个，小红买了苹果和梨共计12个，请问他们各自买了多少个苹果和梨？- 引导学生思考这个问题如何用数学语言来表达。
- 将学生的思考结果整理出来，得出类似于"x+y=10"和"x+y=12"的方程组。
（2）定义和基本形式- 老师在黑板上讲解二元二次方程组的定义和基本形式，即两个未知数的二次方程的组合；- 引导学生理解方程组中每个方程的含义，即每个方程代表其中一个未知数与其他未知数之间的关系。
（3）解法示例- 介绍消元法的基本思路和步骤：1) 通过相加或相减的方式，消除一个未知数的系数，使得方程组中一方程的未知数系数相同；2) 将第一个方程乘以一个适当的数，使得未知数的系数在两个方程中相等；3) 将两个方程相减，得到一个一元二次方程；4) 解一元二次方程，得到一个未知数的值；5) 将求得的未知数的值代入其中一个方程，求得另一个未知数的值。
- 以具体的例子进行讲解和练习，引导学生掌握消元法的步骤和技巧。
（4）实际问题应用- 将二元二次方程组的解法应用到实际问题中，如物体抛射问题、面积问题等；- 提供实际问题样例，引导学生构建方程组并解答问题。
初中数学-二元二次方程组
知识考点：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组（Ⅱ）。
一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【例3】已知方程组⎩⎨⎧+==+--201242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
【例4】方程组⎩⎨⎧=+=+52932y x y x 的两组解是⎩⎨⎧==1111βαy x ，⎩⎨⎧==2222βαy x 不解方程组，求1221βαβα+的值。
（答案：353）二、由两个二元二次方程组成的方程组 1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例5】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩ 【例6】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩【例7】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩2．可消二次项型的方程组【例8】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩精典例题：【例1】解下列方程组：1、⎩⎨⎧=+--=-01101222x y x y x ；2、⎩⎨⎧==+67xy y x ；3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+023102222y xy x y x【例2】已知方程组⎩⎨⎧+==+--21242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
初中数学 什么是二元二次方程组
初中数学什么是二元二次方程组二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
每个二次方程通常具有形如ax^2 + bx + c = 0 的标准形式，其中a、b 和c 是已知系数，x 是未知数。
二元二次方程组的一般形式如下：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中a1、b1、c1、d1、e1、f1、a2、b2、c2、d2、e2 和f2 都是已知的系数，x 和y 是未知数。
解二元二次方程组需要找到满足两个方程同时成立的变量值（即x 和y 的值）。
解的形式可以是唯一解、无解或者无穷多解。
要解决二元二次方程组，可以使用以下方法：1. 消元法：使用消元法可以通过消去其中一个未知数的平方项来简化方程组。
首先，通过除以一个方程中的系数，使得两个方程中二次项的系数相等。
然后，将两个方程相减，可以消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
2. 代入法：使用代入法可以将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并将其代入另一个方程中。
这样可以得到一个只包含一个未知数的一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代回到另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
3. 图像法：通过绘制两个二次方程的图像，可以观察它们的交点来确定解。
交点的横坐标和纵坐标分别对应于x 和y 的值。
通过观察交点的数量和位置，可以判断方程组的解的情况。
4. 矩阵法：将二元二次方程组写成矩阵形式，并利用矩阵运算求解。
将未知数的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
需要注意的是，解二元二次方程组可能会得到不同的解形式，包括唯一解、无解或者无穷多解。
具体的解形式取决于方程组的特点和系数的取值。
初中数学教案解二元二次方程组
初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是中学数学学习的重要内容之一，在初中阶段就开始接触和学习了。
本教案将从基础概念的讲解、解题方法的介绍以及练习题的提供三个方面，详细解析二元二次方程组的解法，以帮助学生更好地理解和掌握。
I. 概念讲解1. 二元二次方程组的定义二元二次方程组是由两个二次方程联立而成的方程组，通常形式为： a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 解的定义解是指使方程组中的所有方程同时成立的一组数值，也就是满足同时解方程组的变量值。
3. 二元二次方程组的解法解二元二次方程组可以通过以下两种方法进行：a) 代入法：将一方程的解代入另一方程中，消去一个变量，从而转化为一元二次方程，最后求解。
b) 消元法：利用消元法将方程组转化为较简单的形式，然后通过求解此简化方程组的方法得到解。
II. 解题方法的介绍1. 代入法的步骤a) 选择一个方程，通常选择其中一个系数较为简单的方程，用其中一变量表示，并将其代入另一方程。
b) 将代入后的方程化简为一元二次方程。
c) 求解一元二次方程得出解。
d) 将所求解代入原方程中，求出另一变量的值。
2. 消元法的步骤a) 通过消元法将其中一个变量的系数抵消，使方程组化简。
b) 将化简后的方程组转化为一元二次方程，求解得到一个变量的值。
c) 将所得的变量值代入原方程组中，求解得到另一变量的值。
III. 练习题1. 解下列二元二次方程组：a)2x² + 3xy + 2y² - 5x - 2y + 3 = 03x² + xy - 3y² - 2x - 5y + 1 = 0b)x² - xy - y² - 4x + 6y - 3 = 02x² + xy + 3y² + 16x - 2y - 1 = 0c)4x² + xy - 7y² + 3x - 2y - 7 = 0x² - 2xy - 3y² + 3x - 6y - 1 = 0IV. 解题步骤与答案1. 解题步骤a) 使用代入法解题的步骤：- 选取一个方程进行变量的代入，并将结果代入另一个方程中得到一元二次方程。
《二元二次方程组》培优学生版附答案
《二元二次方程组》培优学生版附答案二元二次方程组培优学生版附答案一、基础知识回顾1. 二元二次方程组的一般形式二元二次方程组的一般形式为：$$\begin{cases}ax^2+bx+c=0\\dx^2+ex+f=0\end{cases}$$其中，$a,b,c,d,e,f$ 都是已知实数且 $a,b,d,e$ 不全为零，$x,y$ 是未知实数。
2. 解二元二次方程组解二元二次方程组的一般步骤为：（1）将一个方程的$x$ 用另一个方程表示，代入另一个方程，得到一个只含 $y$ 的一元二次方程。
（2）解出 $y$。
（3）将求得的 $y$ 带入步骤（1）中任一方程，解出 $x$。
二、例题详解例题1解二元二次方程组：$$\begin{cases}x^2+y^2=4\\3x^2-2y^2=2\end{cases}$$解：（1）将第一个方程中 $x^2$ 用第二个方程表示，有$$\begin{aligned}3x^2 &= 2y^2+2 \\y^2 &= \frac{3}{2}x^2-1\end{aligned}$$（2）将上式代入第一个方程，有$$\begin{aligned}x^2+\frac{3}{2}x^2-1 &= 4 \\x^2 &= \frac{2}{5}\end{aligned}$$代入$y^2=\frac{3}{2}x^2-1$，得到$y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}$。
因此，原方程组的解为$$\left(\frac{\sqrt{10}}{5},\frac{2}{\sqrt{5}}\right), \left(-\frac{\sqrt{10}}{5}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$$例题2解二元二次方程组：$$\begin{cases}x^2+2y^2=9\\3x^2-4y^2=4\end{cases}$$解：（1）将第一个方程中 $x^2$ 用第二个方程表示，有$$ \begin{aligned}3x^2 &= 4y^2+4 \\x^2 &= \frac{4}{3}y^2+\frac{4}{3}\end{aligned}$$（2）将上式代入第一个方程，有$$\begin{aligned}\frac{4}{3}y^2+\frac{16}{3}+2y^2 &= 9 \\y^2 &= \frac{1}{2}\end{aligned}$$代入 $x^2=\frac{4}{3}y^2+\frac{4}{3}$，得到$x=\pm\frac{5}{\sqrt{6}}$。
中考数学辅导之—简单的二元二次方程组
中考数学辅导之—简单的二元二次方程组一、学习目标1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。
2、 把握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步明白得“消元、降次”的数学方法，获得对事物能够相互转化的进一步认识。
二、基础知识及应注意的问题1、 关于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的明白得。
2、 解二元二次方程组确实是求方程组中两个方程的公共解(或者说明那个方程组无解)；解二元二次方程组的差不多思想是消元和降次，消元确实是把二元化为一元，降次确实是把二次降为一次；其目的确实是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。
3、 关于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的差不多途径。
4、 关于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅能够用代入法来解，而且能够联系 xy ＝b已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。
5、 关于由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：(1)分析方程组，找出能够分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。
(2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。
(3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。
三、例题例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …①4x －3y ＝0 …②分析：(1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，能够用代入法来解。
二元二次方程组的解法技巧
二元二次方程组的解法技巧二元二次方程组是高中数学中比较重要的一部分，解决二元二次方程组的问题可以帮助我们更好地理解高中数学知识，同时也有助于我们在日常生活中应用数学知识。
一、方程式二元二次方程组通常可以表示为以下形式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l均为实数。
二、解法技巧1. 消元法消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其思想是将方程组中的一些变量消除，得到一个只有一个未知数的一元二次方程。
例如，将方程组x^2 + y^2 = 25x + y = 7中的y消去，就得到一个只含有x的二次方程，从而可以求出x的值。
通过将得到的x值带入方程中，可以求出y的值。
2. 完全平方公式完全平方公式是解决二元二次方程组的重要方法之一。
对于一个一元二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，根据完全平方公式，可将其表示为(a x + k)^2 + p = 0，其中k和p分别为常数，根据该公式可以方便地求解一元二次方程的根。
对于二元二次方程组，我们可以尝试将其转化为一元二次方程，从而运用完全平方公式来求解。
例如，转化为一元二次方程后，方程组x^2 – y^2 = 36x^2 + y^2 = 100可表示为(x^2 + y^2) – (x^2 – y^2) = 100 – 362y^2 = 64y^2 = 32y = ±√32带入x^2 + y^2 = 100中可得出x^2 = 68，从而得出x = ±√68。
3. 消元法和完全平方公式的结合运用有时候，解决二元二次方程组需要结合运用上述两种方法。
例如，对于方程组x^2 – 4x – 5y + 18 =0y^2 + 6x + 8y + 9 = 0我们可以先使用“合并同类项”的方法，得到：(x^2 – 4x + 4) – 5y = -2y^2 + 6x + 8y + 9 = 0进一步变形后，有：(x – 2)^2 – 5y = -2 + 4y^2 + 6x + 8y + 9 = 0(x – 2)^2 = 5y + 2将上式代入第二个式子，得到：y^2 + 6x + 8y + 9 = 05y + 2 + 6x + 8y + 9 = 0从而得出y = -1，带入x –2 = ±√7，得出x = 2 ±√7。
简单的二元二次方程组(必上)
简单的二元二次方程组(必上)本讲将介绍二元二次方程组的解法，这是高中新课标必修2中研究圆锥曲线时需要掌握的知识。
二元二次方程是含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程。
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，都属于二元二次方程组。
对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，我们可以采用代入法求解。
即将二元一次方程化归为一元二次方程，再进行求解。
例如，对于方程组2x-y=0和x-y+3=0，我们可以通过方程(1)得到y=2x，代入方程(2)消去y，然后解得x=1或x=-1.将x的值代入方程(1)中得到对应的y的值，从而得到方程组的解。
需要注意的是，在消元后求出一元二次方程的根时，应代入变形后的二元一次方程求相应的未知数的值，而不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根。
另外，消元时应根据二元一次方程的系数来决定是消x还是消y，若系数均为整数，则最好消去系数绝对值较小的那个未知数。
对于方程组x+y=11和xy=28，我们可以把x、y看成是方程z2-11z+28的两根，从而更容易求解。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们可以把方程$z-11z+28=0$的两个根$x$和$y$看成原方程组的解。
解方程得到$z=4$或$z=7$，因此原方程组的解为：begin{cases}x=4.y=7 \\text{或} \\x=7.y=4end{cases}需要注意的是，对于这种对称性的方程组，我们应该利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于$x$、$y$的字母，如$z$。
对于由两个二元二次方程组成的方程组，如果其中一个方程可以因式分解为两个二元一次方程，那么原方程组就可以转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。
例如，对于方程组：begin{cases}x^2-y^2=5(x+y) \\2x+xy+y=43end{cases}我们可以注意到方程$x-y=5(x+y)$可以分解为$(x+y)(x-y-5)=0$，因此可以得到两个二元二次方程组，每个方程组中都有一个方程为二元一次方程。
二元二次方程组知识讲解解析
二元二次方程组知识讲解【学习目标】1、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的槪念，能够判左给立的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组：2、了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给左的数值是否是方程（组）的解；3、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；4、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；5、会熟练的列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.6、通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提岀问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元二次方程1.定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：ax1 +bxy + cy2 +dx + ey + f =o（“、》、c、d、匸、F都是常数，且“、b、c中至少有一个不为零），其中（ix2y bx）\cy2叫做这个方程的二次项，“、b、c分别叫做二次项系数，dx,ey叫做这个方程的一次项，d、匸分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解：二元二次方程的实数解的个数有多种情况.要点二、二元二次方程组1・概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最商次数为2,这样的方程组叫做二元二次方程组. 要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2.二元二次方程组的解：方程组中所含冬方程的公共解叫做这个方程组的解.要点三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二・一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程：③解这个一元二次方程，求得未知数的值：④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点诠释：(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二・一”型方程组：(2)'‘二•一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二・一”型方程组，解得这两个“二・一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.要点四、方程(组)的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：(1＞审题：(2)设未知数(2个)：(3)列二元二次方程组：(4)解方程组；(5)检验是否是方程的解以及是否符合实际；(6)写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、二元二次方程(组)判断Wr i.下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.(1)A2 + y = 1 ; (2)3-2y2 + y = 0;(3)J_ + 2/-x = 0; (4)x+y + 32 = l.【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的泄义。
初中数学教案：解二元二次方程组
初中数学教案：解二元二次方程组解二元二次方程组一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容，理解和掌握解方程组的方法对于学习数学具有重要意义。
本教案将从理论与实践相结合的角度出发，全面介绍解二元二次方程组的方法和思路。
二、理论部分1. 二元二次方程组的概念二元二次方程组是指包含两个未知数的二次方程的方程组，通常表示为： a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 02. 解二元二次方程组的一般思路解二元二次方程组的一般思路包括以下几个步骤：a) 将方程组中的一元二次方程转化为因式分解的形式；b) 利用已知条件将含有另一个未知数的一元二次方程消去；c) 再次转化为一元二次方程，解得一个未知数的值；d) 将求得的未知数的值代入方程组中的一个方程，解得另一个未知数的值；e) 验证解是否正确。
3. 解二元二次方程组的方法a) 代入法将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示出来，然后代入另一个方程中求解。
b) 消元法利用方程组中的两个方程进行消元，消去一个未知数，转化为一元二次方程求解。
c) 降次法将二元二次方程组通过配方法，降低为二次项的系数较小的方程组，进而解得未知数的值。
三、实践部分以一个具体的例子来说明如何解二元二次方程组。
例题：解方程组：x² + y² = 25x + y = 7解题步骤：1. 利用第二个方程，将y表示为x的函数。
例如，将y = 7 - x。
2. 将y的表达式代入第一个方程，得到：x² + (7 - x)² = 253. 化简方程，得到一个一元二次方程：2x² - 14x + 24 = 04. 解一元二次方程，求得x的值：x = 2 或 x = 65. 将x的值代入y的表达式中，得到对应的y的值：当x = 2 时，y = 7 - 2 = 5当x = 6 时，y = 7 - 6 = 16. 验证解的正确性，将x和y的值代入原方程组中验证。
高一数学衔接教材 二元二次方程组解法
诚西郊市崇武区沿街学校南江四中高一数学初高中衔接教材：二元二次方程组解法方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩ 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②,得①x ＝2y ＋2，③把③代入①,整理,得8y2＋8y ＝0，即y(y ＋1)＝0．解得y1＝0，y2＝－1．把y1＝0代入③,得x1＝2；把y2＝－1代入③,得x2＝0．所以原方程组的解是112,0x y =⎧⎨=⎩，220,1.x y =⎧⎨=-⎩ 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解法一：由①，得 7.x y =-③把③代入②，整理，得27120y y -+=解这个方程，得123,4y y ==．把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =．所以原方程的解是114,3x y =⎧⎨=⎩，223,4.x y =⎧⎨=⎩ ①解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程27120z z --=的两个根，解这个方程，得3z =，或者者4z =．所以原方程组的解是114,3;x y =⎧⎨=⎩223,4.x y =⎧⎨=⎩ 练习：解以下方程组:〔1〕225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩〔2〕3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ 〔3〕221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩〔4〕2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩。
高中数学二元二次方程组解题技巧
高中数学二元二次方程组解题技巧在高中数学中，二元二次方程组是一个重要的考点。
解决二元二次方程组需要掌握一定的解题技巧。
本文将介绍一些常见的解题方法，并通过具体的例子来说明这些方法的应用。
一、代入法代入法是解决二元二次方程组的一种常用方法。
其基本思想是将其中一个方程中的一个变量表示成另一个变量的函数，然后将其代入另一个方程中，从而得到一个关于另一个变量的一元二次方程。
通过求解这个一元二次方程，我们可以得到一个变量的值，再将其代入原方程中求解另一个变量的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：$\begin{cases}x^2+y^2=25 \\x+y=7\end{cases}$我们可以将第二个方程改写为$x=7-y$，然后将其代入第一个方程中，得到$(7-y)^2+y^2=25$。
展开后化简得到$2y^2-14y+24=0$，进一步化简得到$y^2-7y+12=0$。
解这个一元二次方程可以得到$y=3$或$y=4$，再将这两个值代入$x=7-y$中，可以得到$x=4$或$x=3$。
因此，原方程组的解为$(x,y)=(4,3)$或$(x,y)=(3,4)$。
二、消元法消元法是解决二元二次方程组的另一种常用方法。
其基本思想是通过消去一个变量，将方程组化为一个一元二次方程。
例如，考虑以下二元二次方程组：$\begin{cases}x^2+y^2=20 \\x^2-y^2=4\end{cases}$我们可以通过将第二个方程两边同时乘以$x^2+y^2$，然后利用差平方公式将方程组消去变量$y$。
具体步骤如下：$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=20 \cdot 4$$(x^4-y^4)=80$$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=80$$(x^2+y^2)=10$现在，我们得到了一个只含有$x$的一元二次方程$x^2+y^2=10$。
解这个方程可以得到$x=\pm \sqrt{10}$，再将这个值代入原方程组中求解$y$。
初中解二元二次方程组
初中解二元二次方程组在解二元二次方程组之前，我们首先要了解什么是二元二次方程组。
二元二次方程组是指一组含有两个未知数的二次方程组合。
一般形式为：\[\begin{cases}ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0 \\fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0 \\\end{cases}\]其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数。
解二元二次方程组的关键是找到未知数x和y的取值，使得方程组中的所有方程都成立。
下面我们将介绍两种常见的方法来解决二元二次方程组。
方法一：代入法使用代入法解决二元二次方程组的基本思路是，用一个方程的解（或其中一个未知数的值）代入另一个方程，从而将方程组化简为一个一元二次方程。
假设我们有以下二元二次方程组：\[\begin{cases}2x^2 - 3y^2 + 4x - 5y = 7 \\3x^2 + 5y^2 - 8x + 6y = 12 \\\end{cases}\]我们可以选择其中一个方程，如第一个方程，将其中的x表示成关于y的方程：\[x = \frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\]然后将这个x的表达式代入第二个方程中，得到一个关于y的一元二次方程：\[3\left(\frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\right)^2 + 5y^2 -8\left(\frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\right) + 6y = 12\]化简上述方程，可得：\[y^2 - 4y + 3 = 0\]解这个一元二次方程，我们可以得到两个y的解，假设为y₁和y₂。
将这两个y的解代入刚刚我们得到的关于x的方程中，即可求得对应的x的解。
方法二：消元法消元法是另一种解二元二次方程组的常用方法。
基本思路是通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为一个关于另一个未知数的一元二次方程。
初高中衔接——二元二次方程组求解讲义
知识梳理二元二次方程组的含义：二元二次方程组是指由两个未知数构成，且未知数的最高次数至少有一个为二次的方程组.其一般形式可以表示为：{a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0a2x2+b2xy+c2y2+d2x+e2y+f2=0.其中，a i,b i,c i,d i,e i,f i(i=1,2)为常数，且a1,b1,c1或a2,b2,c2不同时为零.二元二次方程组的求解思想：二元二次方程组的求解思想主要是“消元”与“降次”.消元，即通过一定的方法减少未知数的个数.例如，可以利用代入消元法或加减消元法，将两个未知数中的一个用另一个表示，从而将方程组转化为只含有一个未知数的方程.降次，是指降低方程中未知数的次数.通过对方程进行变形、因式分解、配方等操作，将二次方程转化为一次方程来求解.二元二次方程组的求解原理：二元二次方程组的求解原理主要基于等量代换和方程变形.通过对其中一个方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后将其代入另一个方程，实现消元，把二元转化为一元.对于二次方程，利用配方法、因式分解等手段将其变形为乘积形式，从而降低方程的次数，达到求解的目的.其本质是利用数学的恒等变形和等量关系，逐步简化方程组，求出未知数的值，使得方程组中的两个方程同时成立.二元二次方程组的求解方法及步骤：1.代入消元法代入消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
2.加减消元法加减消元法也是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
3.因式分解法因式分解法是解决二元二次方程组的一种特殊方法。
其基本思想是将方程组中的两个方程进行因式分解，然后将因式分解后的式子相乘，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再求出另一个未知数。
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第十讲 二元二次方程组 姓名
基础知识呈现
1、含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
2、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．
3、二元二次方程组的一般形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++0
2222
22221112
1121f y e x d y c xy b x a f y e x d y c xy b x a （其中一个方程的二次项系数不全为0，另一个方程未知数的系数不全为0）.
4、解二元二次方程组的基本思想：消元、降次！
例题讲解
例1、解方程组22
20 (1)
30 (2)
x y x y -=⎧⎨-+=⎩
例2、解方程组11 (1)
28 (2)
x y xy +=⎧⎨=⎩
例3、解方程组2222
5() (1)
43 (2)
x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩
例4、解方程组2
2
12 (1)
4 (2)
x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
例5、解方程组2226 (1)
5 (2)
x y xy ⎧+=⎨=⎩
例6、解方程组 3 (1)
38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩
例7、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0
6520
2
222y xy x y x
例8、解方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=+---=++0
239
22
22y x y x y xy x
例9、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-0
1220
22
2
y xy x x xy x
例10、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++++-0
42640
322
2
y x y xy y x y xy
巩固练习
1．解下列方程组： (1) 2
232320
x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩
(2) 2
2
231
234330
x y x xy y x y -=⎧⎨
-+-+-=⎩
(3) 3
2
x y xy -=⎧⎨=-⎩
(4) 24
221
x y xy +=⎧⎨
=-⎩
(5) 2222
384
x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩
(6) 224
221x y xy ⎧+=⎨=-⎩
(7) 2252
x y xy ⎧+=⎨=-⎩
(8) 22
410
x y x y +=⎧⎨+=⎩。