2014年厦门市高中毕业班适应性考试 理科数学 PDF版含答案
2014-2015福建省厦门市高三(上)质量检查(含答案)
厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：V Sh =柱.其中S 为底面面积，h 为高．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．设集合{}|20A x x =+>，|B x y ⎧==⎨⎩,则A B = A ．{|2}x x >- B ． {|3}x x < C ．{|32}x x x ><-或 D ． {|23}x x -<< 2. 已知命题:p 0x R ∃∈，01sin 2x ≥，则p ⌝是 A ．1,sin 2x R x ∀∈≤B ．1,sin 2x R x ∀∈< C ．001,sin 2x R x ∃∈≤D ．001,sin 2x R x ∃∈< 3.已知向量()1a m,= ,()22b m ,= ,+0a b λ= 则m =A. 0B. 2C. 0或2D. 0-2或 4.曲线23y x =与直线1,2x x ==及x 轴所围成的封闭图形的面积是 A. 1 B.3 C. 7 D. 85.函数()sin y x x x R =+∈的图象的一条对称轴经过点A. ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,6π C. 03,π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,3π 6. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 A ．若,//l m αα⊥，则l m ⊥ B. 若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l α D ．若//,//l m αα，则l // m 7.等差数列{}n a 中，3a 和9a 是方程2160x x c -+=(64)c <的两实根， 则该数列前11项和11S =A ．58B ．88C ．143D ．1768.在直角坐标系中，函数()1 sinf x xx=-A9 . 椭圆2:13Ea+=的右焦点为F B两点.若△FAB周长的最大值是8，则m的值为A. 0B.1C.D. 210. 设函数[]35211*()(1),(0,1,)3!5!(21)!nnnx x xf x x x n Nn--=-+-+-∈∈-，则A.23()sin()f x x f x≤≤ B.32()sin()f x x f x≤≤C. 23sin()()x f x f x≤≤ D.23()()sinf x f x x≤≤第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11.已知sin2cosαα=,则tan4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于_____.13. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的渐近线与圆22(5)9x y-+=相切，则双曲线C的离心率为.14.已知数列{}n a中，13a=，()130nn na ab b++=>，*n N∈.①当1b =时，712S =； ②存在R λ∈,数列{}nn a bλ-成等比数列；③当()1b ,∈+∞时，数列{}2n a 是递增数列； ④当()01b ,∈时， 数列{}n a 是递增数列.以上命题为真命题的是 （写出所有真命题对应的序号）.（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案．．．．．．．．．．．．．．，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分． 15. （1）（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111A -⎛⎫=⎪⎝⎭，且103xA y -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则x y +=___________. （2）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos 1ρθ=，圆C 的参数方程为:22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则圆心C 到直线的距离等于_____________(3)（选修4-5：不等式选讲）已知,x y R +∈且22x y +=的最大值等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题12分） 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点（0，12）,且相邻两条对称轴间的距离为2π. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1cos 22A f A ()-=， 且1,3bc b c =+=，求a 的值. 17. （本小题12分）如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线交于点O, DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证：AC ⊥ BE ；(Ⅱ)若120o ADC ∠=，2DE =，BE 上一点F 满足//OF DE求直线AF 与平面BCE 所成角的正弦值.A18. （本小题12分）已知梯形OABC 中，21OA OC AB ===,OC //AB ，3π=∠AOC ,设OA OM λ=,μ=()00,λμ>>, ()12OG OM ON =+,如图： (Ⅰ)当1124,λμ==时，点O,G,B 是否共线，请说明理由； (Ⅱ) 若OMN ∆,求OG 的最小值.19. （本小题13分）营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）.某学校食堂提供的伙食以食物A 和食物B 为主， 1千克食物A 含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元； 1千克食物B 含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元.(Ⅰ)如果某学生只吃食物A ，他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；(Ⅱ) 根据营养学家的建议，同时使得花费最低，学生每天需要同时吃食物A 和食物B 各多少千克.20. （本小题13分）已知抛物线E :x y 42=,点(),0F a ，直线:,l x a =-，0a >，且a 为常数. (Ⅰ) 当1a =时，P 为直线l 上的点,R 是线段PF 与y 轴的交点.若点Q 满足:,RQ FP PQ l ⊥⊥,判断点Q 是否在抛物线E 上，并说明理由；(Ⅱ)过点F 的直线交抛物线E 于A,B 两点, 直线OA ,OB 分别与直线x a =-交于M ,N 两点.，求证：以MN 为直径的圆恒过定点并求定点的坐标.21. （本小题14分）设函数()*()ln 1,2,1n f x ax x n N n a =--∈≥> .（Ⅰ）当2a =，2n =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个零点12x ,x .(i)求a 的取值范围； (ii)求证：2212n x x e->（e 为自然对数的底数）.厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：三、解答题： 16．（本小题满分12分）本题主要考查三角函数的对称性、周期性与单调性，两角和与差的正弦公式及余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想与数形结合思想． 解：（Ⅰ）由()f x 的图象过点（0，12），得1sin 2ϕ= 又02πϕ<<，6πϕ∴=……………………………………………………………….………1分由相邻两条对称轴间的距离为2π，知()f x 的周期T=π…………………………………….2分 则2ππω=，2ω∴=……………………………………………………………………………3分()sin(2)6f x x π∴=+…………………………………………………………………………4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，………………………………………………..….5分得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈…………………………………………..….6分（Ⅱ）由1cos 22A f A ()-=，可得1sin()cos 62A A π+-=11cos cos 22A A A +-=11cos 22A A -=…………………………..…7分 化简得，1sin()62A π-=………………………………………………………………………8分50,666A A ππππ<<∴-<-<……………………………………………………….……9分66A ππ∴-=，即3A π=………………………………………………………….………….10分又bc =1，b+c=3，据余弦定理可得22222cos ()36a b c bc A b c bc =+-=+-= …………………………………………….11分a ∴=…………………………………………………………………………………..…..12分17．（本小题满分12分）本题考查空间线面位置关系以及利用空间向量这一工具解决立体几何中有关长度、角度、垂直、平行问题的能力.考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了转化与化归思想以及方程思想的应用能力. (Ⅰ)证明：,DE ABCD AC ABCD ⊥⊂平面平面， DE AC ∴⊥ …………….……..…….1分四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，……………………………………………………..2分 又DEBD D =，E AC BD ∴⊥平面 ，……………………………………………..…… 4分BE BDE ⊂平面，∴AC BE ⊥ …………………5分（Ⅱ）（解法一）,//DE ABCD OF DE ⊥平面 ，O F A B C D ∴⊥平面，以O 为原点，以,,OA OB OF 分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：………………………………………….…6分依题意可得(0,1,0),((0,1,2),(0,0,1)A B C E F -，(AF =，(1,0)BC =-，(0,1,1)BF =-, …………………………………7分设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩………………8分取(1,3,n =- ,……………………………………………………………………...……9分则2cos ,7||||AF n AF n AF n ⋅-<>===, ………………………………………….…11分 设直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则21sin |cos ,|AF n θ=<>=12分 (Ⅱ)（解法二）,//DE ABCD OF DE ⊥平面，OF ABCD ∴⊥平面，..6分由题意可得 112O F D E ==，AO OC ==1BO OD ==，..……7分xABE CE ==……………………………………….……8分2AF ==，212BCE S BC ∆==………………………………………………….…9分 连接AE ，设点A 到平面BCE 的距离为d ,A BCE E ABC V V --=，即1111(1)23332BCE ABC S d S DE ∆∆⋅=⋅=⨯⨯⨯ ,解得7d = ，………….…11分 所以直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin d AF θ==. ………………..……12分 18．（本小题满分12分）本题考查平面向量基本定理、几何性质、模与数量积的运算，以及基本不等式等知识的综合应用，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法.解法一：(Ⅰ)当11,24λμ== 时，12OB OA AB OA OC =+=+………………………….…..2分 （或：依题意2,//OC AB OC AB =12OB OC OA ∴=+ )111111()()()222442OG OM ON OA OC OA OC =+=+=+..3 4O B O G ∴=…………………………………………….……...4分//OB OG ∴……………………………………………………..5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………..6分 (Ⅱ) 1sin 23OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= ………………………………8分 ()()1122OG OM ON OA OC λμ=+=+ ()22222124OG OA OC OC OA λμλμ=++⋅…………………………..……………………..9分 ()2222112cos 434πλμλμλμλμ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭……………………………………10分33416λμ≥=……………………………………….…...11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43 …………………………….…….12分 解法二：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系…………….…..1分(Ⅰ)15(0,0),(1,0),((,24O A C B ………………….………….…2分54OB ⎛∴= ⎝⎭()()111111151,0,,222448221616OG OM ON OA OC ⎛⎫⎛⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………3分 4OB OG ∴=……..………………………………………………………………………………4分 //OB OG ∴……………………………………………………………………………………….5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………………………………………….6分(Ⅱ) 1sin 23416OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= …………………….……….8分()12,0,24M N G λμλμμμ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………….…….……9分=()22222144λμμλμλμ⎫+⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………………….…..……10分 33416λμ≥= …………………………………………….…11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43…………………………..………12分19．（本小题满分13分）本题主要考查二元一次不等式（组）的区域表示，线性规划问题等相关概念，考查学生应用线性规划思想解决实际生活问题的能力以及数据处理能力，同时考查了数形结合、转化与化归等数学思想方法.解：(Ⅰ) 如果学生只吃食物A ，则当蛋白质摄入量在[60，90]（单位：克）时，则食物A 的重量在[1，1.5] （单位：千克），其相应的脂肪摄入量在[9，13.5] （单位：克），不符合营养学家的建议；……………………….2分 当脂肪摄入量在[9，27] （单位：克）时，则食物A 的重量在[2，3] （单位：千克），相应的 蛋白质摄入量在[120，180] （单位：克），不符合营养学家的建议. ………………………….4分 (Ⅱ)设学生每天吃x 千克食物A ，y 千克食物B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0272791890306060y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0332322y x y x y x ，分作出其相应的可行域，如图阴影部分所示…....8分 每天的伙食费为2015z x y =+……..………….9分由⎩⎨⎧=+=+2322y x y x 解得42(,)55M作直线0:20150l x y +=，平移0l 过点M 时，z 有最小值………………………………………………………………………………………..10分所以min 4220152255z =⨯+⨯=………………………………………………….………….…12分所以学生每天吃0.8千克食物A ，0.4千克食物B ，既能符合营养学家的标准又花费最少.………………………………………………………13分20．（本小题满分13分）本题主要考查抛物线的定义和几何性质、直线的方程、圆的方程等基本知识.本题通过用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查学生运算求解能力以及应用解析几何知识解决问题的能力.考查数形结合思想与方程思想等数学思想.(Ⅰ)解法一:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线1分因为O 点为FC 的中点且O R ∥PC,所以R 点为线段PF 的中点.又因为R Q ⊥PF,所以QR 为PF 的垂直平分线,可知PQ=QF. ………4分根据抛物线定义,Q 点在抛物线E :x y 42=上,如图所示. ………5分解法二:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线 设P 点坐标为(0,1y -),则直线PF 的方程为)1(210--=x y y ……………………….……….2分 R 点坐标(0,021y ),直线RQ 的方程为00212y x y y +=…………………………….…………..3分 又直线PQ 的方程为0y y =.故Q 点坐标为),41(020y y ………………………………………….4分 把Q 点代入x y 42=,满足方程,即Q 点在抛物线E :x y 42=上………………………….……5分 (Ⅱ)解法一: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .①当直线AB 的斜率不存在时,设直线AB 的方程为a x =,求得)2,(a a A ,)2,(a a B -)2,(),2,(a a N a a M ---,显然以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………………..………6分 ②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为)(a x k y -=,代入x y 42= 得0)42(22222=++-k a x ak x k .设)2,(11x x A )2,(22x x B -由韦达定理得2212221,42a x x kak x x =+=+………….……7分 又求得212,2x K x K OB OA -==.故直线OA 的方程:x x y 12=,直线OB 的方程:x x y 22-= ………………………………8分得到)2,(),2,(12x a a N x a a M ---………………………………………………………………..9分由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=, …………………………………………………..………………………….10分 求得),2,(2x a m a ---=)2,(1x a m a --=代入上式得…………………..………11分04)(2122=-+x x a m a ,⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).……………………….………13分 解法二: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(221y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………………7分 又求得214,4y K y K OB OA ==.故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= …………………….………………8分 得到)4,(),4,(21y aa N y a a M ----…………………………………………………………….……9分 由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=,………………………………………………………………………….……….10分 求得),4,(1y a m a ---=)4,(2y am a ---=.代入上式得………………………………11分016)(2122=++y y a m a ⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..………….………13分解法三: 设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(222y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………..………6分又求得214,4y K y K OB OA ==. 故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= ………………………….….………7分 得到)4,(),4,(21y a a N y a a M ----……………………………………………………….………8分 以MN 为直径的圆的圆心(a -,)22(21y a y a +-),半径|22|21y ay a r -=…………….……………9分 故圆的方程2212212)22()22()(y a y a y a y a y a x -=++++ 化简得016)(4)(212212122=+++++y y a y y y y a y a x ……………………………………………11分由韦达定理结论可得04)(422=-+++a y a x yt满足题目要求只须对于任意非零实数t 上式恒成立.解得⎩⎨⎧=--=02y a a x ,⎩⎨⎧=-=02y a a x .故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..……………….13分 21．（本小题满分14分）本题考查函数与导数的基础知识、导数的应用、方程的解及不等式证明等问题，考查运算求解能力，考查了分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想． （Ⅰ）依题意得：由已知得()0x ,∈+∞，2,2n a ==，21144122()x x x f x x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭'∴== ………………………………………….……… 1分令 ()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<, …………………..………………… 2分则函数()f x 在102,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，…………………………..… 3分11ln 222f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值,且无极大值..………………….………………..…4分（Ⅱ）(i)11()n f x nax x -'=-，1a >，令11()010n n f x nax nax x -'=-=⇒-=，设0x =，…………..………………..…… 5分函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x ,+∞上单调递增，函数()f x 存在两个零点，∴函数的最小值0()0f x <，………………….…………….… 6分则()0111()1ln 1f x a na na n n=⋅-=+-， 即()11ln 10na n n +-<，111n a e n-∴<<，…………………………………………...……… 7分 又11n n na ee-+<<，111n nn e na +-⎛⎫> ⎪⎝⎭ ， 111+10nn n n n n f e a e n ++--⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝， (8)分011nx na=<，且1a >，()110f a ∴=->， 根据零点存在性定理可知()f x 在()00x ，和()0,x +∞各有一个零点………………………..…9分（ii ）解法一：不妨设1x >2x ,依题意得：1122ln 1...........ln 1..........n n ax x ax x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②，①-②得：()1212ln ln n na x x x x -=-，①+②得：()()1212ln 2nn a xx x x +=+，…………………………………………..……… 10分又1212ln ln n nx x a x x -=-，()()()12121212ln ln ln 2n nn nx x x x x x x x -+∴+=-，设121x t x =>，()12ln x x ∴=()1ln 21n n t t t +⋅--，……………………………… …………..… 11分 欲证2212n x x e ->，只要证：()122ln 2x x n >-，即证：()12ln 1n n t t t n+⋅>-，……………… 12分即证：21ln 1n n t t n t ->⋅+，设()()21ln 11n n t g t t t n t -=-⋅>+，()()()()()()2212221411220111nnnn n n n t t t ntg t t n t t t t t -+--'=-⋅==>+++， ()g t ∴ 在()1,+∞上递增，()()10g t g ∴>= ， ……………………………..…....… 13分21ln 1n n t t n t -∴>⋅+， ()12ln 1n n t t t n+∴⋅>- ，2212nx x e-∴> …………………………………………………..… 14分。
2014年福建省厦门市中考数学试卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共40页） 数学试卷 第2页（共40页）绝密★启用前福建省厦门市2014年初中毕业及 高中阶段各类学校招生考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共21分)一、选择题(本大题共7小题,每小题3分,共21分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.s in30的值为( ) A .12BCD .1 2.24的算术平方根是( ) A .16B .2C .2-D .2± 3.23x 的平方可以表示为( ) A .9xB .222xx xC .33x xD .222x x x ++ 4.已知直线AB ,CB ,l 在同一平面内,若AB l ⊥,垂足为B ,CB l ⊥,垂足也为B ,则符合题意的图形可以是( )AB C D5.已知命题A ：任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中,可以作为“命题A 是假命题”的反例的是( ) A .2kB .15C .24D .426.如图,在ABC △和BDE △中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F ,若AC BD =,AB ED =,BC BE =,则ACB ∠等于( )A .EDB ∠B .BED ∠C .12AFB ∠D .2ABF ∠7.已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁,但是后来发现其中有一位同学的年龄登记错误,将14岁写成15岁.经重新计算后,正确的平均数为a 岁,中位数为b 岁,则下列结论中正确的是( )A .13a ＜,13b =B .13a ＜,13b ＜C .13a ＞,13b ＜D .13a ＞,13b =第Ⅱ卷(非选择题 共129分)二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.请把答案填写在题中的横线上) 8.一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域,向其投掷一枚飞镖,飞镖落在转盘上,则落在黄色区域的概率是 .9.,则x 的取值范围是 .10.四边形的内角和是 .11.在平面直角坐标系中,已知点()0,0O ,()1,3A ,将线段OA 向右平移3个单位,得到线段11O A ,则点1O 的坐标是 ,1A 的坐标是 .12.已知一组数据：6,6,6,6,6,6,则这组数据的方差是 .(注：计算方差的公式是2222121=()()()n s x x x x x x n⎡⎤-+-++-⋅⋅⎣⋅⎦)13.方程15(3)2x x +=+的解是 .14.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,若2AD =,8BC =,梯形的高是3,则B ∠的度数是 .15.设219918a =⨯,2288830b =﹣,221053747c =﹣,则数a ,b ,c 按从小到大的顺序排列,结果是 ＜ ＜ .16.某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍,用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时,则这台机器每小时生产 个零件. 17.如图,正六边形ABCDEF的边长为,延长BA ,EF 交于点O .以O 为原点,以边AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则直线DF 与直线AE 的交点坐标是( , ).毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共40页） 数学试卷 第4页（共40页）三、解答题(本大题共9小题,共89分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分21分)(1)计算：0()(3)(()182----⨯+.(2)在平面直角坐标系中,已知点(3,1)A -,(1,0)B -,(2,1)C --,请在图中画出ABC △,并画出与ABC △关于y 轴对称的图形.(3)甲口袋中装有3个小球,分别标有号码1,2,3；乙口袋中装有2个小球,分别标有号码1,2；这些球除数字外完全相同,从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球,求这两个小球的号码都是1的概率.19.(本小题满分18分)(1)如图,在ABC △中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,若DE BC ∥,2DE =,3BC =,求AEAC的值.(2)先化简下式,再求值：22(37)(572)x x x x ++-+--,其中1x =.(3)解方程组24,215.x y y x +=⎧⎨+=⎩①②20.(本小题满分6分)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,AM BC ⊥,垂足为M ,AN DC ⊥,垂足为N ,若BAD BCD ∠=∠,AM AN =,求证：四边形ABCD 是菱形.21.(本小题满分6分)已知11(,)A x y ,22(,)B x y 是反比例函数ky x=图象上的两点,且122--=x x ,123x x =,1243y y =--,当31x -＜＜-时,求y 的取值范围.22.(本小题满分6分) A ,B ,C ,D 四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛,争夺出线权,比赛规则规定：胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,小组中积分最高的两个队(有且只有两个队)出线.小组赛结束后,如果A 队没有全胜,那么A 队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由.数学试卷 第5页（共40页） 数学试卷 第6页（共40页）(注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场)23.(本小题满分6分)已知锐角三角形ABC ,点D 在BC 的延长线上,连接AD ,若90DAB ∠=,2ACB ∠=D ∠,2AD =,32AC =,根据题意画出示意图,并求tan D 的值.24.(本小题满分6分)当m ,n 是正实数,且满足m n mn +=时,就称点,()mP m n为“完美点”,已知点()0,5A 与点M 都在直线y x b =+-上,点B ,C 是“完美点”,且点B 在线段AM 上,若MC =,AM =求MBC △的面积.25.(本小题满分10分)已知A ,B ,C ,D 是O 上的四个点.(1)如图1,若90ADC BCD ∠=∠=,AD CD =,求证：AC BD ⊥； (2)如图2,若AC BD ⊥,垂足为E ,2AB =,4DC =,求O 的半径.26.(本小题满分14分)如图,已知0c ＜,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于1(,0)A x ,2(,0)B x 两点21()x x ＞,与y 轴交于点C .(1)若21x =,BC ,求函数2y x bx c =++的最小值；(2)过点A 作AP BC ⊥,垂足为P (点P 在线段BC 上),AP 交y 轴于点M .若2OAOM=,求抛物线2y x bx c =++顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共40页）数学试卷 第8页（共40页）福建省厦门市2014年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷(选择题 共21分)一、选择题 1.【答案】A 【解析】1sin302︒=，故选A. 【考点】特殊角的三角函数值. 2．【答案】B【解析】4的算术平方根为2，故选B. 【考点】算术平方根的概念. 3．【答案】D【解析】23x 表示3个2x 相加，故选D. 【考点】整式的运算. 4．【答案】C【解析】由题意可知AB l ⊥，CB l ⊥，垂足都为B ，故选C. 【考点】图形的判断. 5．【答案】D【解析】42是偶数，但不是8的整数倍，故选D. 【考点】命题的判断. 6．【答案】C【解析】在ABC △和BDE △中，AC DB =，AB DE =，BC EB =，ABC DEB ∴≅△△，ACB DBE ∠=∠，又AFB ∠Q 是BCF △的外角，12ACB AFB ∴∠=∠，故选C.【考点】三角形全等，三角形的外角. 7.【答案】A【解析】由于计算时，将14岁写成了15岁，故重新计算的平均数a 应小于原来计算的平均数，而中位数仍是13，故选A. 【考点】中位数，平均数.5 / 20第Ⅱ卷(非选择题 共129分)二、填空题8.【答案】14【解析】圆盘平均分成红、黄、蓝、白四个扇形区域，所以投掷飞镖落在黄色区域的概率是14. 【考点】概率的计算. 9.【答案】1x ≥【解析】二次根式的被开方数为非负数，即10x -≥，1x ∴≥. 【考点】二次根式的实际意义. 10.【答案】360︒【解析】多边形的内角和公式为(2)180n -⨯︒，故四边形的内角和等于360︒. 【考点】四边形的内角和. 11.【答案】(3,0)，(4,3)【解析】将线段OA 向右平移3个单位，即将线段上的点的横坐标加3，纵坐标不变，Q 点(0,0)O ，点(1,3)A ，∴点1(3,0)O ，点1(4,3)A .【考点】线段的平移，点的坐标. 12.【答案】0【解析】数据6，6，6，6，6，6的平均数为6，故22261[(66)(66)...(66)]06S =-+-++-=.【考点】方差的计算. 13.【答案】7-【解析】等式两边同时乘以2并去括兮得2103x x +=+，移项得2310x x -=-，合并同类项得7x =-. 【考点】解一元一次方程. 14.【答案】45︒【解析】过点A 作AE BC ⊥于点E ，2AD =Q ，8BC =，3BE ∴=，Q 梯形的高3AE =，45B ∴∠=︒. 【考点】等腰梯形和直角三角形的性质.数学试卷 第11页（共40页）数学试卷 第12页（共40页）15.【答案】a c b ＜＜ 【解析】219918361918a =⨯=⨯，2288830(88830)(88830)918858b =-=+⨯-=⨯，221053747(1053747)(1053747)1800306600918c =-=+⨯-=⨯=⨯.a c b ∴＜＜.【考点】有理数大小的比较，平方差公式. 16.【答案】15【解析】设工人每人每小时生产x 个零件，则这台机器每小时生产12x 个零件，根据题意，得60602128x x=-，解得54x =，经检验54x =是方程的解，1215x ∴=.即这台机器每小时生产15个零件. 【考点】分式方程的实际应用.【提示】正确分析题意，列出分式方程，注意分式方程要检验. 17.【答案】【解析】Q正六边形的边长为，OA OF ∴==A，点D，点，点)F .∴直线DF的解析式为2y +，直线AE的解析式为x =x =时，4y =，∴直线DF 与直线AE的交点坐标为. 【考点】正六边形的性质与一次函数的交点坐标. 三、解答题18.【答案】（1）2-. （2）见解析.（3）16.【解析】（1）0(1)(3)((82)-⨯-+--316=+-（6分） 2=-（7分） （2）正确画出ABC △；（11分）7 / 20正确画出ABC △关于y 轴对称的图形.（14分） （3）1(1)6P =两个球的号码都是.（21分）【考点】实数的运算，画轴对称图形，概率的计算.19．【答案】（1）23.（2）3-.（3）12x y =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）DE BC ∥Q ，ADE ABC ∴△△:.（3分）DE AEBC AC∴=. （5分） 2DE =Q ，3BC =，23AE AC ∴=.（6分）（2）解法一：22(37)(572)x x x x -+-+-+2237572x x x x =-+-+-+224x x =--.（10分）当1x =时，原式21)1)4=--（11分）2124=+--数学试卷 第15页（共40页）数学试卷 第16页（共40页）3=- （12分）解法二：22(37)(572)x x x x -+-+-+2237572x x x x =-+-+-+224x x =--.（10分）2224(1)5x x x --=--Q ，当1x =时，原式211)5=-- （11分）3=-.（12分） （3）解法一：由①得24y x =-+， （15分） 代入②中解得1x =，2y =.（17分） 1,2.x y =⎧∴⎨=⎩（18分）解法二：整理得24,52 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩①② （15分）2+⨯①②，解得1x =，2y =. （17分）1,2.x y =⎧∴⎨=⎩（18分）20.【答案】见解析.【解析】证法一：AD BC ∥Q ，180BAD B ∴∠+∠=︒.（1分）BAD BCD ∠=∠Q ，180BCD B ∴∠+∠=︒. （2分）AB DC ∴∥.∴四边形ABCD 是平行四边形.（3分）B D ∴∠=∠.9 / 20AM AN =Q ，AM BC ⊥，AN DC ⊥，Rt Rt ABM ADN ∴≅△△.（4分） AB AD ∴=.（5分） ∴平行四边形ABCD 是菱形.（6分）证法二：连接BD ，AD BC ∥Q ，ADB DBC ∴∠=∠. （1分） BAD BCD ∠=∠Q ，BD BD =.（2分）AD BC ∴=.∴四边形ABCD 是平行四边形.（3分）ABC ADC ∴∠=∠.AM AN =Q ，AM BC ⊥，AN DC ⊥，Rt Rt ABM ADN ∴≅△△.（4分） AB AD ∴=.（5分） ∴平行四边形ABCD 是菱形.（6分）证法三：连接AC ，AM AN =Q ，AC AC =，AM BC ⊥，AN DC ⊥，Rt Rt ACM ACN ∴≅△△.（1分）ACB ACD ∴∠=∠.AD BC ∴∥，ACB CAD ∴∠=∠， ACD CAD ∴∠=∠. DC AD ∴=.（2分）数学试卷 第19页（共40页）数学试卷 第20页（共40页）BAD BCD ∠=∠Q ，BAC ACD ∴∠=∠. （3分） AB DC ∴∥.（4分） ∴四边形ABCD 是平行四边形. （5分） ∴平行四边形ABCD 是菱形.（6分）【考点】三角形全等，菱形的判定.21.【答案】223y ＜＜【解析】解法一：1212k k y y x x -=- （2分）2112kx kx x x -=g2112()k x x x x -=g .（3分）122x x -=-Q ，123x x =g ，1243y y -=-，4233k∴-=，解得2k =-.（4分）2y x∴=-.∴当31x --＜＜时，223y ＜＜.（6分）解法二：依题意得12122,3,x x x x -=-⎧⎨=⎩g（1分）解得121,3.x x =⎧⎨=⎩或123,1.x x =-⎧⎨=-⎩（2分）当121,3.x x =⎧⎨=⎩时，12233k k y y k -=-=，（3分）1243y y -=-Q ，2k ∴=-.当123,1.x x =-⎧⎨=-⎩时，12233k k y y k -=-+=Q ，1243y y -=-Q ，2k ∴=-，2k ∴=-.（4分）2 yx ∴=-.∴当31x--＜＜时，223y＜＜. （6分）22.【答案】至少7分才能保证一定出线.【解析】解法一：至少要7分才能保证一定出线. （2分）依题意得，每队赛3场，本组比赛的场数共6场.若A队两胜一平，积7分. （3分）因为输给A队的有2支球队，这2支球队的积分一定小于7分，所以最多只有与A队打平的那支球队的积分等于7分，所以积7分保证一定出线. （4分）若A队两胜一负，积6分. （5分）若有一队三赛全负，另两队都是两胜一负，则小组中有三个队积6分，根据规则，在这种情况下，A队不一定出线. （6分）同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.即至少要7分才能保证一定出线.解法二：至少要7分才能保证一定出线. （2分）依题意得，每队赛3场，本组比赛的场数共6场.若A队两胜一平，积7分. （3分）因此其他的球队不可能积9分.依据规则，不可能有球队积8分.每场比赛，两队得分之和是2分或3分，6场比赛得分总和最少是12分，最多18分，所以最多只有两个队得7分，所以积7分保证一定出线.（4分）若A队两胜一负，积6分.如表格所示，根据规则，在这种情况下，A队不一定出线. （6分）同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.即至少要7分才能保证一定出线.数学试卷 第23页（共40页）解法三：至少要7分才能保证一定出线. （2分） 因为这时A 队两胜一平，（3分）由于每场比赛，两队得分之和是2分或3分，而至少有一场比赛出现平局，所以各队积分总和35217m ⨯+=≤. 因此不会有3个队都积7分，A 队在前2名之内. （4分） A 队积6分不一定出线.（5分）不妨设A 胜B ，B 胜C ，C 胜D ，A ，B ，C 都胜D ，此时C 三支球队都积6分，由于只有2个队出线，故A队不一定出线.（6分）同理当A 队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线. 即至少要7分才能保证一定出线. 【考点】根据数据做决策. 23.. 【解析】解：正确画图如图所示.（2分）+ACB D CAD ∠=∠∠Q ，2ACB D ∠=∠， CAD D ∴∠=∠.CA CD ∴=.（3分）90BAD ∠=︒Q ，90B D ∴∠+∠=︒， 90BAC CAD ∠+∠=︒Q ，B BAC ∴∠=∠.32AC =Q ，3BD ∴=.在Rt BAD △中，2AD =Q，AB ∴= （5分）tan AB D AD ==.（6分）【考点】解直角三角形. 24.【答案】2MBC S =△. 【解析】解法一：m n mn +=Q 且m ，n 是正实数，1m m n ∴+=.即1mm n=-. (,1)P m m ∴-，（1分）即“完美点”P 在直线1y x =-上.Q 点(0,5)A 在直线y x b =-+上，5b ∴=.由1,5y x y x =-⎧⎨=-+⎩解得(3,2)B .（3分）Q 一、三象限的角平分线y x =垂直于二、四象限的角平分线y x =-，而直线1y x =-与直线y x =平行，直线5y x =-+与直线y x =-平行， ∴直线AM 与直线1y x =-垂直.Q 点B 是1y x =-与直线AM 的交点，∴垂足是B . ∴点C 是“完美点”， ∴点C 在直线1y x =-上.MBC ∴△是直角三角形. （5分）(3,2)B Q，(0,5)A ，AB ∴=.AM =Q BM ∴=又CM Q 1BC ∴=.2MBC S ∴=△. （6分）解法二：m n mn +=Q 且m ，n 是实数，数学试卷 第27页（共40页）1m m n ∴+=.即1mm n=-. (,1)P m m ∴-，（1分）即“完美点”P 在直线1y x =-上.Q 点(0,5)A 在直线y x b =-+上，5b ∴=. （2分）∴直线:5AM y x =-+.设“完美点”(,1)B c c -，即有15c c -=-+，(3,2)B ∴.（3分）Q 直线AM 与x 轴所夹的锐角是45︒，直线1y x =-与x 轴所夹的锐角是45︒， ∴直线AM 与直线1y x =-垂直，Q 点B 是1y x =-与直线AM 的交点，∴垂足是B .Q C 是“完美点”， ∴点C 在直线1y x =-上.MBC ∴△是直角三角形. （5分）(3,2)B Q ，(0,5)A，AB ∴=.AM =QBM ∴=又CM Q 1BC ∴=.MBC S ∴=△. （6分）【考点】一次函数和直角三角形的有关计算. 25.【答案】（1）见解析. （2.【解析】（1）证明：90ADC ∠=︒Q ，90CBA ∴∠=︒. （1分）90BCD ∠=︒Q ，90DAB ∴∠=︒.∴四边形ABCD 是矩形.（2分） AD CD =Q ，∴矩形ABCD 是正方形. （3分） AC BD ∴⊥.（4分） （2）解法一：连接DO 并延长交O e 于点F ，连接CF .（6分）DF Q 是直径，90FCD ∴∠=︒，（7分）即90ACD FCA ∠+∠=︒. »»AD AD =Q ，ACD B ∴∠=∠，AC BD ⊥Q ，90B A ∴∠+∠=︒， A FCA ∴∠=∠，（8分） »»AF CB ∴=，»»AB CF ∴=，AB FC ∴=.（9分）在Rt DFC △中，222224220DF DC FC =+=+=，DF ∴=O ∴e （10分） 解法二：连接AO 并延长交O e 于点F ，连接BF .（6分）数学试卷 第31页（共40页）AF Q 是直径，90ABF ∴∠=︒，（7分）即90ABD DBF ∠+∠=︒.AC BD ⊥Q ，90ABD BAC ∴∠+∠=︒， BAC DBF ∴∠=∠，（8分）»»DFCB ∴=，»»DC BF ∴=，DC BF ∴=.（9分）在Rt ABF △中，222224220AF AB BF =+=+=Q ，DF ∴=O ∴e（10分） 解法三：连接BO 并延长O e 于点F ，连接AF .（6分）设O e 的半径为r .BF Q 是直径，»»AB AF r π∴+=.（7分）AC BD ⊥Q ，90ABD BAC ∴∠+∠=︒.»»AD BC r π∴+=， （8分）»»AB DC r π∴+=， »»»»AB DC AB AF ∴+=+，»»DC AF ∴=，AF DC ∴=，（9分）在Rt ABF △中，222224220BF AF AB =+=+=，BF ∴=O ∴e （10分）解法四：在»AC 上找一点F ，使得CF AB =，连接CF ，连接DF .（6分）CF AB =，»»AB CF∴=， （7分） »»AF CB∴=，A FCA ∴∠=∠，（8分）»»AD AD =Q ，ACD ABD ∴∠=∠，AC BD ⊥Q ，90B A ∴∠+∠=︒， 90ACD FCA ∴∠+∠=︒，DF ∴是直径.（9分）在Rt DCF △中，222224220DF DC CF =+=+=Q ，DF ∴=O ∴e（10分）解法五：设BAE α∠=.AC BD ⊥Q ，∴在Rt ABE △中，sin BEABα=，2BA =Q ，2sin BE α∴=，（5分）»»BCBC =Q ，BDC α∴∠=.数学试卷 第35页（共40页）在Rt DEC △中，sin ECDCα=. 4DC =Q ，4sin CE α∴=.（6分）在Rt BEC △中，222220sin BC CE BE α=+=.BC α∴=.（7分） 连接BO 并延长交O e 于点F ，连接CF ，（8分）则BFC α∠=，BF Q 是直径， 在Rt BCF △中，sin BCBFα=，（9分）sin BCBF α∴== O ∴e（10分）【考点】圆周角定理，矩形的判定和性质，圆的相关概念.26.【答案】（1）94-（2）244y x x =---（34x -＞） 【解析】（1）解法一：21x =Q ，1OB ∴=，（1分）BC =Q ，2OC ∴=，0c ＜Q ，2c =-，120b ∴+-=，解得1b =， （2分）得二次函数22192()24y x x x =+-=+-，∴二次函数22y x x =+-的最小值是94-. （4分） 解法二：21x =Q ，1OB ∴=.（1分）BC =Q ，2OC ∴=.0c ＜Q ，2c ∴=-. 120b ∴+-=，解得1b =.（2分）得二次函数22y x x =+-.此抛物线定点的横坐标是12-，纵坐标是94-.∴二次函数22y x x =+-的最小值是94-. （4分）（2）解法一：AP BC ⊥Q ，90PMC PCM ∴∠+∠=︒，90OAM OMA ∠+∠=︒Q ，OMA PMC ∠=∠Q ，OAM PCM ∴∠=∠，Rt Rt OAM OCB ∴△△:，2OC OAOB OM∴==， （5分） 即2OC OB =，0c ＜Q ，20x ＞，22c x ∴-=.（6分） 由2220x bx c ++=得24c b =-，（7分）∴二次函数2224y x bx c x bx b =++=++-，它的定点坐标是2816(,)24b b b -+--.22816()4()4422b b b b -+-=-----Q g ，（8分）∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是244y x x =---（34x -＞）. （10分）解法二：AP BC ⊥Q ，90PMC PCM ∴∠+∠=︒，数学试卷 第39页（共40页）90OAM OMA ∠+∠=︒Q ，OMA PMC ∠=∠Q ，PAM PCM ∴∠=∠. tan tan OAM PCM ∴∠=∠. 12OB OM OC OA ∴==，（5分） 即2OC OB =.0c ＜Q ，20x ＞，即22c x -=.（6分） 由2220x bx c ++=得24c b =-.（7分）∴二次函数2224y x bx c x bx b =++=++-.它的顶点坐标是2816(,)24b b b -+--.设2b m =-，28164b b n -+-=，（8分）则2b m =-.22816444b b n m m -+-==---（34m -＞）.∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是244n m m =---（34m -＞）. （10分）【考点】二次函数的顶点坐标，二次函数解析式，相似三角形的综合应用.。
2014年福建省厦门市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1．（5分）执行如图的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是（）A．8B．6C．1D．﹣12．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数y＝1﹣2sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数4．（5分）学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在[10，50），其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30，50）的学生有67人，则n的值是（）A．100B．120C．130D．3905．（5分）已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是（）A．B．C．1D．26．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n7．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．88．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）＝﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x+2）2+y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（﹣2）＝﹣2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．（4分）若复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于．12．（4分）（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）13．（4分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n，a3＝8，则数列{log2a n}的前n项和等于．14．（4分）记曲线y＝x2与y＝围成的区域为D，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数x，y，则点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于．15．（4分）已知函数f（x）＝x2（e x+e﹣x）﹣（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），则满足f （x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题：本大助共5小题．共80分．．16．（13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB＝∠F AB＝90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE＝2，BC ＝1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．17．（13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．19．（13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A﹣C﹣P和滑雪练习道A﹣E﹣P（如图）．已知cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6（单位：百米）．（Ⅰ）求滑道CP的长度；（Ⅱ）由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D，修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC+DE最短，最短为多少百米？20．（14分）如图，点A，B分别是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2＝9经过椭圆E的左焦点F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．（i）求•的取值范围；（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知点A（1，2）在矩阵M＝[]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．选修4-4坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ+12＝0，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．选修4一5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1．（5分）执行如图的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是（）A．8B．6C．1D．﹣1【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行x＝3﹣2＝1；第二次运行x＝1﹣2＝﹣1，满足x＜0，∴执行y＝（﹣1）3＝﹣1．∴输出y＝﹣1．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x＜0}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，∴A⊊B，即“x∈A”是“x∈B”充分不必要条件．故选：A．3．（5分）函数y＝1﹣2sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：y＝1﹣2sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝＝π，∵余弦函数为偶函数，∴函数为最小正周期为π的偶函数．故选：B．4．（5分）学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在[10，50），其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30，50）的学生有67人，则n的值是（）A．100B．120C．130D．390【解答】解：由频率分布直方图得，每天课外阅读时间在[10，20）和[20，30）的频率分别为0.010×（20﹣10）＝0.10，0.023×（30﹣20）＝0.23；∴每天课外阅读时间在[30，50）的频率为：1﹣（0.10+0.23）＝0.67，∴抽取的学生数n＝67÷0.67＝100；故选：A．5．（5分）已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是（）A．B．C．1D．2【解答】解：设P到y轴的距离为a，则P到焦点的距离为2a，∴由抛物线的定义可得a+1＝2a，∴a＝1，即P的横坐标为1，代入抛物线方程，可得P的纵坐标为±2，∴点P到x轴的距离是2．故选：D．6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n【解答】解：若α⊥β，m⊂α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故A错误；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，n⊂a，则m与n可能平行也可能异面，故D错误；故选：C．7．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b＝2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴＝＝当a＝时，取最小值为4故选：B．8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝，此时d2＝8，由，解得，即O在直线x+y﹣4＝0的垂足为B（2，2），则（2，2）满足不等式ax﹣y﹣2≤0即可．即2a﹣2﹣2≤0，解得a≤2，即正实数a的取值范围是0＜a≤2，故选：A．9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）＝﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由1＞＞0，∴函数f（x）＝﹣2＜0，函数的图象在x轴下方，∴B正确．a＝0时D正确．由a是实数，函数f（x）＝﹣2∴当a→0时，y→﹣1，当a≠0时，由无限的思想可知，当x→+∞时，y→﹣2，当x→﹣∞时，y→﹣1，A正确；∴满足题目要求的图象，A、B、D．故选：C．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x+2）2+y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（﹣2）＝﹣2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），∴f（﹣2）＝﹣2正确；②∵m＝f（n），n∈[﹣8，4]不关于原点对称，∴f（n）是偶函数错误；③由图形知，点D向右移动，点F也向右移动，f（n）在定义域上是增函数，正确；④由图形知，当D移动到圆A与x轴的左右交点时，分别得到函数图象的左端点（﹣8，﹣3），右端点（4，3），故f（n）图象的两个端点关于圆心A对称，正确．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．（4分）若复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于1﹣2i．【解答】解：∵复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|，∴（1﹣2i）（1+2i）z＝，化为5z＝5（1﹣2i），∴z＝1﹣2i．故答案为：1﹣2i．12．（4分）（）6的展开式中，常数项为15．（用数字作答）【解答】解：∵T r+1＝（﹣1）r•，∴由6﹣3r＝0得r＝2，从而得常数项C6r＝15，故答案为：15．13．（4分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n，a3＝8，则数列{log2a n}的前n项和等于．【解答】解：∵数列{a n}中，a n+1＝2a n，∴＝2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3＝8，∴，解得a1＝2，∴，∴log2a n＝n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n＝1+2+3+…+n＝．故答案为：．14．（4分）记曲线y＝x2与y＝围成的区域为D，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数x，y，则点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域D的面积为＝（）|＝，正方形OABC的面积为1×1＝1，则由几何概型的概率公式可得点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于，故答案为：15．（4分）已知函数f（x）＝x2（e x+e﹣x）﹣（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），则满足f （x）＞0的实数x的取值范围为（﹣1，﹣）．【解答】解：构造函数g（x）＝x2（e x+e﹣x），则g（x）＝x2（e x+e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x2（e x+e﹣x）＞（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），即g（x）＞g（2x+1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x+1|），即|x|＞|2x+1|，即x2＞（2x+1）2，∴3x2+4x+1＜0，解得﹣1，故答案为：（﹣1，）．三、解答题：本大助共5小题．共80分．．16．（13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB＝∠F AB＝90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE＝2，BC ＝1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴DA⊥平面ABEF，∵EF⊂平面ABEF，∴DA⊥EF．（Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1），∴，设平面DCE的法向量，则，令x＝1，得平面DCE的一个法向量，又，cos＜＞＝，∴直线BE与平面DCE所成角的正弦值为．17．（13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．【解答】解：（1）设事件A i表示“乙第i次投中”，（i＝1，2，3）则P（A i）＝，（i＝1，2，3），事件A1，A2，A3相互独立，P（乙直到第3次才投中）＝P（）＝（1﹣）•（1﹣）•＝．（2）设乙投中的次数为η，则η～B（3，），∴乙投中次数的数学期望Eη＝3×＝．设甲投中的次数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，∵甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率，∴甲前2次投中次数股从二项分布B（2，），且每次投中与否相互独立，P（ξ＝0）＝（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝+＝，P（ξ＝3）＝＝，∴甲投中次数的数学期望Eξ＝＝，∴Eη＞Eξ，∴在比赛前，从胜负的角度考虑应该支持乙．18．（13分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≤0时，f（x）＝x2+2x+3，其单调递增区间为[﹣1，0]；x＞0时，f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝﹣x2e﹣x（x﹣2）令f′（x）＞0，可得x＜2，∴单调递增区间为（0，2），∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣1，0]和（0，2）；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，等价于函数f （x）的值取遍每一个正数．注意到x≤0时，f（x）＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴x＞0时，f（x）的值域必须包含（0，2）．x＞0时，f′（x）＝xe ax（ax+2）①a≥0，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，f（x）的值域为（0，+∞），符合题意；②a＜0，f′（x）＞0，可得0＜x＜﹣，令f′（x）＜0，可得x＞﹣，∴函数在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上递减，∴f（x）max＝f（﹣）＝，∴（x）的值域为（0，]，∴（0，]⊃（0，2），∴≥2，∴﹣≤a＜0，综上，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．19．（13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A﹣C﹣P和滑雪练习道A﹣E﹣P（如图）．已知cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6（单位：百米）．（Ⅰ）求滑道CP的长度；（Ⅱ）由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D，修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC+DE最短，最短为多少百米？【解答】解：（Ⅰ）∵cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，∴sin∠ACP＝，sin∠APC＝，∴sin∠P AC＝sin（∠ACP+∠APC）＝，∵，∴CP＝5，即滑道CP的长度为5百米；（Ⅱ）设DP＝x，x∈[0，10]，∵EP＝6，CP＝5，cos∠APC＝，cos∠APE＝，∴DE＝＝，DC＝＝∴DE+DC＝+＝，当且仅当x＝4时，（DE+DC）min＝3+2．20．（14分）如图，点A，B分别是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2＝9经过椭圆E的左焦点F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．（i）求•的取值范围；（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意知a＝2，圆B：（x﹣2）2+y2＝9中，令y＝0，得F1（﹣1，0），∴b2＝4﹣1＝3，∴椭圆E：．（Ⅱ）（i）当直线为x轴时，．设直线AP：x＝ty﹣2，与E：联立，得（3t2+4）y2﹣12ty＝0，∴y p＝，x p＝，AP：x＝ty﹣2中，令x＝0，得，∴＝（1，）•（）＝，综上所述，的取值范围是[0，2）．（ii）假设存在定圆r满足题意，根据椭圆的对称性，猜想定圆r的圆心在x轴上，当P恰好为B时，圆P就是定圆B：（x﹣2）2+y2＝9，交x轴于D（5，0），当P无限接近于A时，圆P就是圆A：（x+2）2+y2＝1，交x轴于C（﹣3，0）．∴定圆r的圆心为CD中点F2（1，0），恰好为E：的右焦点，∴猜想定圆r：（x﹣1）2+y2＝16．下证：圆P始终内切于定圆r，∵|PF2|+|PF1|＝4，∴|PF2|＝4﹣|PF1|得证．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知点A（1，2）在矩阵M＝[]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．【解答】解：（Ⅰ）由题意，[]＝，∴，∴，∴M＝；（Ⅱ）M的特征多项式为f（λ）＝（λ﹣1）（λ﹣4），令f（λ）＝0，可求得特征值为λ1＝1，λ2＝4，设λ1＝1对应的一个特征向量为＝，则由λ1＝M，得﹣x﹣2y＝0可令x＝2，则y＝﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1＝1对应的一个特征向量为＝，同理可得矩阵M的一个特征值λ2＝4对应的一个特征向量为＝．选修4-4坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ+12＝0，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，可得x2+y2﹣8x+12＝0，即（x﹣4）2+y2＝4；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2＝0．圆心到直线的距离等于＝，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+2．选修4一5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝2，不等式f（x）＜1，化为|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．不等式的解集为：{x|1＜x＜3}．（Ⅱ）由f（x）＝|x﹣a|，设g（x）＝f（x）+|x+1|，即g（x）＝|x﹣a|+|x+1|，其几何意义就是数轴上的点到a与﹣1的距离之和，不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，就是距离之和的最小值也大于3，即|a+1|≥3，解得，a≥2或a≤﹣4，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．。
厦门市2013—2014学年(上)高二质量检测数学(理科)
厦门市2013—2014学年（上）高二质量检测数学（理科）一、选择题1．已知:02p x <<，:01q x <<，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．ABC ∆的三边长分别为6,7,9，则ABC ∆是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能构成三角形3．不等式(41)(1)0x x +->的解集为（ ）A ．1(,1)(,)4-∞-+∞ B ．1(,)(1,)4-∞-+∞C ．1(1,)4-D ．1(,1)4-4．已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在曲线C 上，且1||2PF =，则2||PF =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．145．已知向量(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则a 与b 的夹角是（ ）A ．0︒B ．60︒C ．90︒D ．180︒6．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，,,M N P 分别是棱11C D ，BC ，1DD 的中点，Q 是平面ABCD 内的一点，如图所示建立空间直角坐标系，若//MN PQ ，则点Q 的坐标为（ ）A ．(0,2,0)B ．(2,2,0)C ．(4,2,0)D ．(1,1,0)7．观察三角形数表，则第8行中各数的和等于（ ）A ．128B ．113C ．36D ．2578．在各项均为正数的数列{}n a 中，已知132n n a a +=，且2449a a ⋅=，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．23()2n n a -=B ．13()2n n a -=C ．22()3n n a -= D ．12()3n n a -=9．下列命题中：①若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题； ②在ABC ∆中，“若45A >︒，则2sin 2A >”的逆命题为真； ③命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ④命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<” 期中命题正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设单调递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，33a ≤，则4a 的取值范围是（ ）A ．4542a <≤ B ．4542a ≤< C ．4542a << D ．4542a ≤≤ 二、填空题11．已知命题:p x R ∃∈，2220x ax +-=，则p ⌝：____________ 12．已知ABC ∆中，45A =︒，60B =︒，3AC =，则BC =____________13．已知0x >，0y >，21x y +=，则xy 的最大值是____________14．不等式2210x x a a ---+>对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________15．如图，在锐二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，直线AC 、BD 分别在两个半平面内，且都垂直于AB ，已知2AB =，3AC =，4BD =，17CD =,则异面直线AC 与BD 所成的角等于____________16．设椭圆22:12516x y C +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，当||AB 取最小值时，切线l 的斜率为____________ 三、解答题17．已知椭圆E 的中心在原点，一个焦点为(1,0)F ，离心率12e =，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点 （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线AB 的倾斜角等于60︒，求||AB18．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面均是边长为2的正方形，E 为侧棱1CC 的中点,D 为AB 的中点 （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅱ）求平面1A EB 与平面11AAC C 所成的锐二面角的正弦值。
2014年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学试题
2014年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数 学（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）准考证号 姓名 座位号注意事项：1．全卷三大题，26小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．可直接用2B 铅笔画图．一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. sin30°的值为A ． 12B ．22C ．32D ．12. 4的算术平方根是A ．16B ．2C ．－2D ．±2 3. 3x 2 可以表示为A . 9xB . x 2²x 2²x 2C . 3x ²3xD . x 2＋x 2＋x 24. 已知直线AB ，CB ，l 在同一平面内，若AB ⊥l ，垂足为B ，CB ⊥l ，垂足也为B ，则符合B .C .D . 5．已知命题A ：“任何偶数都是8的整数倍” .在下列选项中，可以作为“命题A 是假命题”的反例的是 A ．2k B ． 15 C ．246. 如图1，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F ，若AC ＝BD ， AB ＝ED ，BC ＝BE ，则∠ACB 等于 A . ∠EDB B . ∠BED C . 12∠AFB D . 2∠ABF7．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中有一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁.经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是A ．a ＜13， b ＝13B ．a ＜13 ，b ＜13C ．a ＞13，b ＜13D ．a ＞13，b ＝13二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）8. 一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，飞镖落在转盘上，则飞镖落在黄色区域的概率是 . 9．代数式x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 10．四边形的内角和是 ．11．在平面直角坐标系中，已知点O （0，0），A （1，3），将线段OA 向右平移3个单位，得到线段O 1 A 1，则点O 1的坐标是 ，A 1的坐标是 ． 12．已知一组数据是：6，6，6，6，6，6，则这组数据的方差是 ． 【注：计算方差的公式是S 2＝1n [(x 1－—x )2＋(x 2－—x )2＋…＋(x n －—x )2] 】13．方程x ＋5＝12( x ＋3)的解是 ．14．如图2，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若AD ＝2，BC ＝8，梯形的高是3，则∠B 的度数是 ．15．设a ＝192³918，b ＝8882－302，c ＝10532－7472，则数a ，b ，c 按从小到大的顺序排列，结果是 ＜ ＜ ．16．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时， 则这台机器每小时生产 个零件．17．如图3，正六边形ABCDEF 的边长为23，延长BA ，EF 交于点O 以O 为原点，以边AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则直线DF 与直线AE 的交点坐标是（ ， ）．图3 三、解答题（本大题有9小题，共89分）18．（本题满分21分）（1）计算：(－1) ³(－3) ＋(－3)0－(8－2) ； （2）在平面直角坐标系中，已知点A （－3,1），B （－1,0），C （－2, －1）,请在图4中 画出△ABC ，并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形； 图4（3）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球， 求这两个小球的号码都是1的概率．19．（本题满分18分）（1）如图5，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上， 若DE ∥BC ，DE ＝2 ，BC ＝3，求AEAC 的值；（2）先化简下式，再求值：(－x 2＋3－7x )＋(5x －7＋2x 2)，其中x ＝2＋1； 图5（3）解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝4， ①2y ＋1＝5x . ②20.（本题满分6分）如图6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AM ⊥BC ，垂足为M ，AN ⊥DC ，垂足为N ．若∠BAD ＝∠BCD ， AM ＝AN ，求证四边形ABCD 是菱形．图6 21. （本题满分6分）已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y ＝kx 图象上的两点，且x 1－x 2＝－2，x 1²x 2＝3，y 1－y 2＝－43．当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围．22．（本题满分6分）A ，B ，C ，D 四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线．小组赛结束后，如果A 队没有全胜，那么A 队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．【注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场】 23．（本题满分6分）已知锐角三角形ABC ，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求tan D 的值．24．（ 本题满分6分）当m ，n 是正实数，且满足m ＋n ＝mn 时，就称点P （m ，mn）为“完美点”．已知点A （0，5）与点M 都在直线y ＝－x ＋b 上，点B ，C 是“完美点”，且点B 在线段AM 上．若MC ＝3，AM ＝42，求△MBC 的面积．25．（本题满分10分）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图7，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；（2）如图8，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．图7图826．（本题满分10分）如图9，已知c＜0，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x2＞x1），与y轴交于点C，（1）若x2＝1，BC＝5，求函数y＝x2＋bx＋c的最小值；（2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若OAOM＝2，求抛物线y＝x2＋bx＋c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．图92014年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学参考答案及评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分.2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后续部分但未改变后继部分得测量目标，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后续部分应得分数的一半. 3．解答题评分时，给分或扣分均以1分为基本单位． 一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）二、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）8. 149. x ≥110. 360°11.（3,0），（4,3） 12. 0 13. —714. 45°15.a ＜c ＜b 16. 15 17.（23，4） 三、解答题（本大题共9小题，共89分） 18．（本题满分21分）（1）解：(－1) ³(－3) ＋(－3)0－(8－2)＝3＋1－6 ……………………………6分 ＝－2. ……………………………7分 （2）解：正确画出△ABC ； ……………………………11分正确画出△ABC 关于y 轴对称的图形. …………………14分（3）解： P （两个球的号码都是1）＝16. ……………………………21分19．（本题满分18分）（1）解：∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC . …………………3分 ∴ DE BC ＝AEAC . ……………………………5分∵DE ＝2，BC ＝3，∴ AE AC ＝23. ……………………………6分（2）解1：(－x 2＋3－7x )＋(5x －7＋2x 2) ＝ －x 2＋3－7x ＋5x －7＋2x 2＝x 2－2x －4 ……………………………10分 当 x ＝2＋1时，原式＝(2＋1)2－2(2＋1) －4 ……………………………11分＝ 2＋22＋1－22－2－4＝—3. ……………………………12分解2：(－x 2＋3－7x )＋(5x －7＋2x 2) ＝ －x 2＋3－7x ＋5x －7＋2x 2＝x 2－2x －4 . ……………………………10分 ∵ x 2－2x －4＝(x －1)2－5∴当 x ＝2＋1时，原式＝(2＋1－1)2－5 ……………………………11分＝—3. ……………………………12分（3）解1：由①得y ＝－2x ＋4， ……………………………15分 解得x ＝1， ……………………………16分y ＝2. ……………………………17分∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.……………………………18分 解2：整理得 ⎩⎨⎧2x ＋y ＝4， ①5x －2y ＝1. ②……………………………15分解得x ＝1， ……………………………16分y ＝2. ……………………………17分∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.……………………………18分图5EBDCA20．（本题满分6分）证明1：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°. …………1分∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BCD ＋∠B ＝180°. …………2分 ∴ AB ∥DC . ∴四边形ABCD 是平行四边形. ……………………………3分∴∠B ＝∠D .∵AM ＝AN ，AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，∴Rt △ABM ≌Rt △ADN . ……………………………4分 ∴AB ＝AD . ……………………………5分∴平行四边形ABCD 是菱形. ……………………………6分 证明2：连接BD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC . ……………………………1分 ∵∠BAD ＝∠BCD ， BD ＝BD .∴△ABD ≌△CDB . ……………………………2分 ∴ AD ＝BC .∴四边形ABCD 是平行四边形. ………………3分∴∠ABC ＝∠ADC .∵AM ＝AN ，AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，∴Rt △ABM ≌Rt △ADN . ………………4分 ∴AB ＝AD . ………………5分 ∴ 平行四边形ABCD 是菱形 ……………………………6分证明3：连接AC ，∵AM ＝AN ，AC ＝AC ，AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，∴Rt △ACM ≌Rt △ACN . ………………1分∴∠ACB ＝∠ACD .∵AD ∥BC ， ∴∠ACB ＝∠CAD ， ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴DC ＝AD . ……………………………2分∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BAC ＝∠ACD . ……………………………3分 ∴AB ∥DC . ……………………………4分 ∴四边形ABCD 是平行四边形. ……………………………5分∴ 平行四边形ABCD 是菱形. ……………………………6分M N BDA N MB D CAA D BMN21．（本题满分6分）解1：y 1－y 2＝k x 1－kx 2……………………………2分＝kx 2－kx 1x 1²x 2＝k (x 2－x 1)x 1²x 2. ……………………………3分 ∵ x 1－x 2＝－2，x 1²x 2＝3，y 1－y 2＝－43∴ －43＝2k 3.解得 k ＝－2. ……………………………4分 ∴ y ＝－2x.∴当 －3＜x ＜－1时，23＜y ＜2. ……………………………6分解2：依题意得⎩⎨⎧x 1－x 2＝－2，x 1²x 2＝3. ……………………………1分解得 ⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝3.或⎩⎨⎧x 1＝－3，x 2＝－1. ……………………………2分当⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝3时，y 1－y 2＝k －k 3＝2k3， ……………………………3分∵ y 1－y 2＝－43，∴k ＝－2.当⎩⎨⎧x 1＝－3，x 2＝－1时，y 1－y 2＝－k 3＋k ＝2k3，∵ y 1－y 2＝－43，∴k ＝－2.∴ k ＝－2. ……………………………4分∴ y ＝－2x.∴当 －3＜x ＜－1时，23＜y ＜2. ……………………………6分22．（本题满分6分）解1：至少要7分才能保证一定出线. ……………………………2分依题意得，每队赛3场，本组比赛的场数共6场.若A 队两胜一平，积7分. ……………………………3分因为输给A队的有2支球队，这2支球队的积分一定小于7分，所以最多只有与A队打平的那支球队的积分等于7分，所以积7分保证一定出线. ……………………4分若A队两胜一负，积6分. ……………………5分若有一队三赛全负，另两队都是两胜一负，则小组中有三个队积6分，根据规则，在这种情况下，A队不一定出线. ………………………6分同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.即至少要7分才能保证一定出线.解2：至少要7分才能保证一定出线. ………………………2分依题意得，每队赛3场，本组比赛的场数共6场.若A队两胜一平，积7分. ………………………3分因此其他的球队不可能积9分.依据规则，不可能有球队积8分.每场比赛，两队得分之和是2分或3分，6场比赛得分总和最少是12分，最多18分，所以最多只有两个队得7分，所以积7分保证一定出线. …………………………4分…………………………5分若A同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.即至少要7分才能保证一定出线.解3：至少要7分才能保证一定出线. …………………………2分因为这时A队两胜一平，…………………………3分由于每场比赛，两队得分之和是2分或3分，而至少有一场比赛出现平局，所以各队积分总和m≤3³5＋2＝17.因此不会有3个队都积7分，A队在前2名之内. ………………………4分A队积6分不一定出线. ……………………5分不妨设A胜B，B胜C，C胜D，A，B，C都胜D，此时A，B，C三支球队都积6分，由于只有2个队出线，故A队不一定出线. ……………………6分同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.即至少要7分才能保证一定出线.23．（本题满分6分）解：正确画图……………………2分A ∵∠ACB＝∠D＋∠CAD，∠ACB＝2∠D，∴∠CAD＝∠D.∴CA＝CD. …………………………3分∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°，∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC .∴CB ＝CA .∴ BD ＝2AC . ………………………4分 ∵AC ＝32，∴BD ＝3. 在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，∴ AB ＝5. ………………………5分 ∴ tan D ＝AB AD ＝52. ………………………6分24．（本题满分6分）解1： ∵ m ＋n ＝mn 且m ，n 是正实数，∴ m n ＋1＝m .即mn＝m －1.∴P （m ，m －1）. ……1分即“完美点”P 在直线y ＝x －1上.∵点A （0，5）在直线y ＝－x ＋b 上，∴ b ＝5. …………2分∴ 直线AM ： y ＝－x ＋5. ∵ “完美点”B 在直线AM 上，由 ⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－x ＋5.解得 B （3，2）. ………………………………3分∵ 一、三象限的角平分线y ＝x 垂直于二、四象限的角平分线y ＝－x ，而直线y ＝x －1与直线y ＝x 平行，直线y ＝－x ＋5与直线y ＝－x 平行，∴直线AM 与直线y ＝x －1垂直.∵ 点B 是y ＝x －1与直线AM 的交点，∴ 垂足是B . ∵点C 是“完美点”，∴点C 在直线y ＝x －1上.∴△MBC 是直角三角形. ………………………………5分 ∵ B （3，2），A （0，5），∴ AB ＝32. ∵AM ＝42， ∴ BM ＝2. 又∵ CM ＝3∴BC＝1 .∴S△MBC＝22. ………………………………6分解2：∵m＋n＝mn且m，n是正实数，∴mn＋1＝m.即mn＝m－1.∴P（m，m－1）.……1分即“完美点”P在直线y＝x－1上.∵点A（0，5）在直线y＝－x＋b上，∴b＝5. …………2分∴直线AM：y＝－x＋5.设“完美点”B（c，c－1），即有c－1＝－c＋5，∴B（3，2）. ………………………………3分∵直线AM与x轴所夹的锐角是45°，直线y＝x－1与x轴所夹的锐角是45°，∴直线AM与直线y＝x－1垂直，∵点B是y＝x－1与直线AM的交点，∴垂足是B.∵点C是“完美点”，∴点C在直线y＝x－1上.∴△MBC是直角三角形. ………………………………5分∵B（3，2），A（0，5），∴AB＝32.∵AM＝42，∴BM＝2.又∵CM＝3∴BC＝1.∴S△MBC＝22. ……………………………………6分25．（本题满分10分）（1）证明：∵∠ADC＝90°，∴∠CBA＝90°. ……………1分∵∠BCD＝90°，∴∠DAB＝90°.∴四边形ABCD是矩形. …………………2分∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形.∴AC⊥BD. ………………………4分（2）解1：连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF. …………………2分∵DF是直径，∴∠FCD＝90°. ………………………3分即∠ACD＋∠FCA＝90°.∵︵AD＝︵AD.∴∠ACD＝∠B.∵AC⊥BD，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠A＝∠FCA. ………………………4分∴︵AF＝︵CB.∴︵AB＝︵CF.∴AB＝FC. ………………………5分在Rt△DFC中，DF2＝DC2＋FC2＝42＋22＝20.∴DF＝25.∴⊙O的半径是5. ………………………6分解2：连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF. …………………2分∵AF是直径，∴∠ABF＝90°. ………………………3分即∠ABD＋∠DBF＝90°.∵AC⊥BD，∴∠ABD＋∠BAC＝90°.∴∠BAC＝∠DBF. ………………………4分∴︵DF＝︵CB.∴︵DC＝︵BF.∴DC＝BF. ………………………5分在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2＋BF2＝42＋22＝20.∴DF＝25.∴⊙O的半径是5. ………………………6分解3：连接BO并延长交⊙O于点F，连接AF.………………2分设⊙O的半径为r.∵BF是直径，∴︵AB＋︵AF＝πr. ………………………3分∵AC⊥BD，∴∠ABD＋∠BAC＝90°.∴︵AD＋︵BC＝πr. ………………………4分∴︵AB＋︵DC＝πr.∴︵AB＋︵DC＝︵AB＋︵AF∴︵DC＝︵AF.∴AF＝DC. ………………………5分在Rt△ABF中，BF2＝AF2＋AB2＝42＋22＝20.∴BF＝25.∴⊙O的半径是5. ………………………6分解4：在︵AC上找一点F，使得CF＝AB，连接CF，连接DF. ………………2分∵CF＝AB，∴︵AB＝︵CF. ………………3分∴︵AF＝︵CB.∴∠A＝∠FCA. ………………4分∵︵AD＝︵AD.∴∠ACD＝∠ABD.∵AC⊥BD，∴∠B＋∠A＝90°.∴∠ACD＋∠FCA＝90°.∴DF是直径. ………………………5分在Rt△DCF中，∵DF2＝DC2＋CF2＝42＋22＝20.∴DF＝25.∴⊙O的半径是5. ………………………6分解5：设∠BAE ＝α.∵AC ⊥BD ，∴在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB. ∵ BA ＝2，∴ BE ＝2sin α. ………………………1分∵︵BC ＝︵BC ， ∴∠BDC ＝α. 在Rt △DEC 中， sin α＝ECDC.∵ DC ＝4，∴ CE ＝4sin α. ………………………2分 在Rt △BEC 中， BC 2＝CE 2＋BE 2 ＝20 sin 2α.∴BC ＝25sin α. ………………………3分 连接BO 并延长交⊙O 于点F ，连接CF . ………………………4分 ∴∠BFC ＝α.∵BF 是直径， 在Rt △BCF 中，sin α＝BCBF ， ………………………5分∴BF ＝BCsin α＝25.∴⊙O 的半径是5. ………………………6分 26．（本题满分10分） （1）解1：∵x 2＝1，∴OB ＝1. ……………1分 ∵ BC ＝5，∴ OC ＝2. ∵ c ＜0，∴ c ＝－2. ∴ 1＋b －2＝0.解得b ＝1. ……………2分得二次函数y ＝x 2＋x －2＝(x ＋12)2－94.∴二次函数y ＝x 2＋x －2的最小值是－94. ………………………4分解2：∵x 2＝1，∴OB ＝1. ………………………1分∵ BC ＝5，∴ OC ＝2. ∵ c ＜0，∴ c ＝－2 ∴ 1＋b －2＝0.解得b ＝1. ………………………2分得二次函数y ＝x 2＋x －2.此抛物线顶点的横坐标是－12，纵坐标是－94.∴ 二次函数y ＝x 2＋x －2的最小值是－94. ………………………4分（2）解1：∵ AP ⊥BC ，∴∠PMC ＋∠PCM ＝90°， ∵∠OAM ＋∠OMA ＝90°，∵∠OMA ＝∠PMC ， ∴∠OAM ＝∠PCM .∴Rt △OAM ∽Rt △OCB∴OC OB ＝OA OM＝2. ………………1分 即OC ＝2OB . ∵c ＜0，x 2＞0，∴－c ＝2x 2. ………………………2分 由 x 22＋bx 2＋c ＝0，得c ＝2b －4. ………………………3分 ∴二次函数y ＝x 2＋b x ＋c＝x 2＋b x ＋2b －4.它的顶点坐标是（－b 2，－b 2＋8b －164）.∵－b 2＋8b －164＝－(－b 2)2－4²(－b2)－4，………………………4分∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是y ＝－x 2－4x －4（x ＞－34）. ………………………6分解2：∵ AP ⊥BC ，∴∠PMC ＋∠PCM ＝90°， ∵∠OAM ＋∠OMA ＝90°，∵∠OMA ＝∠PMC ， ∴∠OAM ＝∠PCM .∴tan ∠OAM ＝tan ∠PCM .∴OB OC ＝OM OA ＝12. …………1分 即OC ＝2OB . ∵c ＜0，x 2＞0，即－c ＝2x 2. ………………………2分 由 x 22＋bx 2＋c ＝0，得c ＝2b －4. ………………………3分 ∴二次函数y ＝x 2＋b x ＋c＝x 2＋b x ＋2b －4.它的顶点坐标是（－b 2，－b 2＋8b －164）.设m ＝－b2，n ＝－b 2＋8b －164， ………………………4分则b ＝－2m . n ＝－b 2＋8b －164＝－m 2－4m －4（m ＞－34）. ………………………6分∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是 n ＝－m 2－4m －4（m ＞－34）.。
2014年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学试题
2014年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数 学（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）准考证号 姓名 座位号注意事项：1．全卷三大题，26小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．可直接用2B 铅笔画图．一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. sin30°的值为A ． 12B ．22C ．32D ．12. 4的算术平方根是A ．16B ．2C ．－2D ．±2 3. 3x 2 可以表示为A . 9xB . x 2²x 2²x 2C . 3x ²3xD . x 2＋x 2＋x 24. 已知直线AB ，CB ，l 在同一平面内，若AB ⊥l ，垂足为B ，CB ⊥l ，垂足也为B ，则符合B .C .D . 5．已知命题A ：“任何偶数都是8的整数倍” .在下列选项中，可以作为“命题A 是假命题”的反例的是 A ．2k B ． 15 C ．246. 如图1，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F ，若AC ＝BD ， AB ＝ED ，BC ＝BE ，则∠ACB 等于 A . ∠EDB B . ∠BED C . 12∠AFB D . 2∠ABF7．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中有一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁.经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是A ．a ＜13， b ＝13B ．a ＜13 ，b ＜13C ．a ＞13，b ＜13D ．a ＞13，b ＝13 二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）8. 一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，飞镖落在转盘上，则飞镖落在黄色区域的概率是 . 9．代数式x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 10．四边形的内角和是 ．11．在平面直角坐标系中，已知点O （0，0），A （1，3），将线段OA 向右平移3个单位，得到线段O 1 A 1，则点O 1的坐标是 ，A 1的坐标是 ． 12．已知一组数据是：6，6，6，6，6，6，则这组数据的方差是 ． 【注：计算方差的公式是S 2＝1n [(x 1－—x )2＋(x 2－—x )2＋…＋(x n －—x )2] 】13．方程x ＋5＝12( x ＋3)的解是 ．14．如图2，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若AD ＝2，BC ＝8，梯形的高是3，则∠B 的度数是 ．15．设a ＝192³918，b ＝8882－302，c ＝10532－7472，则数a ，b ，c 按从小到大的顺序排列，结果是 ＜ ＜ ．16．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时， 则这台机器每小时生产 个零件．17．如图3，正六边形ABCDEF 的边长为23，延长BA ，EF 交于点O 以O 为原点，以边AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则直线DF 与直线AE 的交点坐标是（ ， ）．图3 三、解答题（本大题有9小题，共89分）18．（本题满分21分）（1）计算：(－1) ³(－3) ＋(－3)0－(8－2) ； （2）在平面直角坐标系中，已知点A （－3,1），B （－1,0），C （－2, －1）,请在图4中 画出△ABC ，并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形； 图4（3）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球， 求这两个小球的号码都是1的概率．19．（本题满分18分）（1）如图5，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ，DE ＝2 ，BC ＝3，求AEAC 的值；（2）先化简下式，再求值：(－x 2＋3－7x )＋(5x －7＋2x 2)，其中x ＝2＋1； 图5（3）解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝4， ①2y ＋1＝5x . ②20.（本题满分6分）如图6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AM ⊥BC ，垂足为M ，AN ⊥DC ，垂足为N ．若∠BAD ＝∠BCD ， AM ＝AN ，求证四边形ABCD 是菱形．图6 21. （本题满分6分）已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y ＝kx 图象上的两点，且x 1－x 2＝－2，x 1²x 2＝3，y 1－y 2＝－43．当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围．22．（本题满分6分）A ，B ，C ，D 四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线．小组赛结束后，如果A 队没有全胜，那么A 队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．【注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场】 23．（本题满分6分）已知锐角三角形ABC ，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求tan D 的值．24．（ 本题满分6分）当m ，n 是正实数，且满足m ＋n ＝mn 时，就称点P （m ，mn）为“完美点”．已知点A （0，5）与点M 都在直线y ＝－x ＋b 上，点B ，C 是“完美点”，且点B 在线段AM 上．若MC ＝3，AM ＝42，求△MBC 的面积．25．（本题满分10分）已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点． （1）如图7，若∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，求证AC ⊥BD ；（2）如图8，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．图7图826．（本题满分10分）如图9，已知c＜0，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x2＞x1），与y轴交于点C，（1）若x2＝1，BC＝5，求函数y＝x2＋bx＋c的最小值；（2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若OAOM＝2，求抛物线y＝x2＋bx＋c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．图92014年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学参考答案及评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分.2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后续部分但未改变后继部分得测量目标，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后续部分应得分数的一半. 3．解答题评分时，给分或扣分均以1分为基本单位． 一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）二、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）8. 149. x ≥110. 360°11.（3,0），（4,3） 12. 0 13. —714. 45°15.a ＜c ＜b 16. 15 17.（23，4） 三、解答题（本大题共9小题，共89分） 18．（本题满分21分）（1）解：(－1) ³(－3) ＋(－3)0－(8－2)＝3＋1－6 ……………………………6分 ＝－2. ……………………………7分 （2）解：正确画出△ABC ； ……………………………11分正确画出△ABC 关于y 轴对称的图形. …………………14分（3）解： P （两个球的号码都是1）＝16. ……………………………21分19．（本题满分18分）（1）解：∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC . …………………3分 ∴ DE BC ＝AEAC. ……………………………5分图5EBDCA∵DE ＝2，BC ＝3，∴ AE AC ＝23. ……………………………6分（2）解1：(－x 2＋3－7x )＋(5x －7＋2x 2) ＝ －x 2＋3－7x ＋5x －7＋2x 2＝x 2－2x －4 ……………………………10分 当 x ＝2＋1时，原式＝(2＋1)2－2(2＋1) －4 ……………………………11分＝ 2＋22＋1－22－2－4＝—3. ……………………………12分解2：(－x 2＋3－7x )＋(5x －7＋2x 2) ＝ －x 2＋3－7x ＋5x －7＋2x 2＝x 2－2x －4 . ……………………………10分 ∵ x 2－2x －4＝(x －1)2－5∴当 x ＝2＋1时，原式＝(2＋1－1)2－5 ……………………………11分＝—3. ……………………………12分（3）解1：由①得y ＝－2x ＋4， ……………………………15分 解得x ＝1， ……………………………16分y ＝2. ……………………………17分∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.……………………………18分 解2：整理得 ⎩⎨⎧2x ＋y ＝4， ①5x －2y ＝1. ②……………………………15分解得x ＝1， ……………………………16分y ＝2. ……………………………17分∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.……………………………18分 20．（本题满分6分）证明1：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°. …………1分 ∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BCD ＋∠B ＝180°. …………2分∴ AB ∥DC .NMBDA。
厦门市2014届高三3月质量检查参考答案及评分标准
厦门市2014届高三3月质量检查数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置．1~10：DABAD CBACC8．提示：当22y x +取最小值8时，2x y ==；点(2,2)满足第三个不等式20ax y --≤即可． 9．提示：对参数a 分类，当0=a ，1-=y ；0≠a ，用极限思想，当+∞→x 时，2-→y ， -∞→x 时，1-→y ，故选C 10．提示：①正确．②错．函数()m f n =，[]8,4n ∈-不关于原点对称，因此没有奇偶性． ③正确．观察图形，点D 向右移动，点F 也向右移动．④正确．观察图形，当点D 移动到圆A 与x 轴的左、右交点时，分别得到函数()m f n =图象的左端点(8,3)--、右端点(4,3)．二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11.12i - 12.15 13.(1)2n n + 14.13 15.1(1,)3-- 15．提示：设()2()x x g x x e e -=+，()0()(21)f x g x g x >⇔>+ 不难研究出()g x 为偶函数，且在[0,)+∞单调递增，1()(21)|||21|13g x g x x x x >+⇔>+⇔-<<-.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．16．本题考查立体几何中的线面位置关系、空间角、空间向量等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想．满分13分．（Ⅰ）证明： 090=∠DAB ，AB DA ⊥∴， -------------------------------------1分 又平面⊥ABCD 平面ABEF ，平面 ABCD 平面AB ABEF =，⊥∴DA 平面ABEF ， ----------------------------------------4分⊂EF 平面ABEF ，EF DA ⊥∴ --------------------------------------6分（Ⅱ）解法一：⊥DA 平面ABEF ，AF AB ⊥，以AF 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，如图所示， ------------ 7分 )1,2,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,2,0(C D E B ∴，)1,2,0(),2,2,2(-=-=DC DE ， -------------------------------------8分设平面DCE 的法向量),,(000z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n n ， ∴⎩⎨⎧=-=-+02000000z x z y x ，令10=x 得平面DCE 的一个法向量)2,1,1(=n， -----------------------------------10分又),0,0,2(=BE66262,c o s =⨯=>=<n BE， ---------------------12分 ∴直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值是66. --------------------------------------13分 解法二：设点B 到平面DCE 的距离为h ，直线BE 与平面DCE 所成角为α 5==EC DC ，32=DE ， ∴6=∆EDC S ，1=∆BCD S ， ----------------------9分连接DB ，则EDC B BCD E V V --=，BE S h S BCD EDC ⨯=⨯∆∆3131，∴26=h ，36=h ， -------------11分 ∴66236sin ===EB h α ， ---------------------12分 ∴直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值是66. ---------------------13分 17. 本题考查概率统计中的相互独立事件同时发生的概率、二项分布、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查必然与或然思想．满分13分． 解：（1）记事件i A ：乙第i 次投中，(1,2,3)i =，则2() (1,2,3)5i P A i ==，事件123,,A A A 相互独立 P （乙直到第3次才投中）=123123()()()()P A A A P A P A P A ⋅⋅=⋅⋅ --------------------3分=22218(1)(1)555125-⋅-⋅=------------------5分 （2）设甲投中的次数为ξ，乙投中的次数为η，则η~2(3,)5B ，∴ 乙投中次数的数学期望26355E η=⨯= --------------------------------------7分ξ的可能取值是0,1,2,3. --------------------------------------8分甲前2次投中次数服从二项分布1(2,)3B ，且每次投中与否相互独立.1114(0)(1)(1)(1)3329P ξ==-⋅-⋅-=12222111114(1)(1)(1)(1)332329P C C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅= ------------------9分22122111115(2)()(1)(1)3233218P C C ξ==⋅⋅-+⋅⋅-⋅= -----------------10分 222111(3)()3218P C ξ==⋅⋅= -----------------11分∴ 甲投中次数的数学期望4451701239918186E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= -----------------12分∴E E ηξ>∴在比赛前，从胜负的角度考虑，应支持乙． ----------------13分注：如果学生没有计算(0)P ξ=，不必扣分，但如果计算出错，则扣1分．18．本题考查分段函数、二次函数、导数及其应用等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想．满分13分．解：（Ⅰ）当0x ≤时，2()23f x x x =++，其单调递增区间为[1,0]-； -------------------2分当0x >时，∵1a =-，∴2()xf x x e -=， ∴2()2(1)(2)xx x f x xex e xe x ---'=+⋅-=-- -----------------------------------------4分令()0f x '>，得2x <，∴()f x 的单调递增区间为(0,2)． -----------------------5分 综上，函数()f x 的单调递增区间为[1,0]-和(0,2)． --------------------------6分（Ⅱ）“方程()f x m =对任意正实数m 恒有实数解”等价转化为“函数()f x 的值取遍每一个正数”，---------------------------------------------------------7分注意到当0x ≤时，22()23(1)22f x x x x =++=++≥，因此，当0x >时，()f x 的值域必须包含(0,2)， ------------------------------------------8分 以下研究0x >时的函数值域情况，0x >时，2()ax f x x e =，∴2()2(2)ax ax ax f x xe x ae xe ax '=+⋅=+，① 若0a ≥，则()0f x '>，此时()f x 在(0,)+∞上递增，()f x 的值域为(0,)+∞，满足要求； -------------------------------------------------------10分② 若0a <，令()0f x '>，得20x a <<-；令()0f x '<，得2x a>- ∴()f x 在2(0,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减 -----------------------------11分∴22max 22224()()()f x f e a a a e -=-=-⋅=， ∴()f x 值域为224(0,]a e，由224(0,](0,2)a e ⊃得，2242a e≥，解得，0a ≤< ----------------------------12分综上，所求实数a 的取值范围是[)e-+∞． --------------------------------------------13分 19．本题考查三角恒等变换、正弦定理和余弦定理等基础知识；考查学生信息处理能力、运算求解能力、空间想象能力及应用意识；考查化归与转换思想．满分13分．解：（Ⅰ）∵cos 5ACP ∠=-，4cos 5APC ∠= ∴sin 5ACP ∠=，3sin 5APC ∠=∵sin sin()sin cos sin cos 5PAC APC ACP APC ACP ACP APC ∠=∠+∠=∠⋅∠+∠⋅∠= ----4分 ∵sin sin AP PCACP PAC=∠∠ ∴5CP = ∴滑道CP 的长度是5百米． --------------------6分 （Ⅱ）设DP x =，[0,10]x ∈ ∵6EP =，5CP =，4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠=∴DE ==DC ==∴DE DC +=---------------------------------9分解法一：令()f x DE DC =+==当且仅当4x =， min ()(4)3f x f ==+． --------------12分答：DP 为4百米时，DE+DC 最短，为（3+ ---------13分解法二：令28t x x =-，则[16,10]t ∈-，令()g t DE DC =+=∵()0g t '=>，∴()g t 在[16,10]-单调递增，∴()g t 的最小值为(16)3g -=+4x =． ---------------------------------12分答：DP 为4百米时，DE+DC 最短，为（3+ ---------------------------------13分 解法三：把空间四边形AEPC 展开成平面四边形AEPC ，此时DE+DC 的最小值为线段EC ，D 为AP 与EC 的交点． ---------------------------------8分∵4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠= ∴8cos 15EPC -∠=∴22222cos EPC 29(3EC EP PC EP PC =+-⋅⋅∠=+=+∴3EC =+ ---------------------------------10分∵4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠=∴sin EPC ∠=∴根据正弦定理，sin 4sin cos 5EP EPC ECP APC EC ⋅∠∠===∠ ∴90CDP ∠=∴4DP = ---------------------------------12分 答：DP 为4百米时，DE+DC最短，为（3+ --------------------13分 20. 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解的能力；考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想．满分14分．解：（Ⅰ）依题意可知2a =，圆22:(2)9B x y -+=中令0y =，得1(1,0)F -， ------------------2分所以2413b =-=,所以椭圆22:143x y E += ------------------------4分（Ⅱ）（ⅰ）解法一：①直线l 为x 轴时，10FQ BP ⋅=-----------------------5分 ②设直线:2AP x ty =-与22:143x y E +=联立得22(34)120t y ty +-=21234P t y t =+，226834P t x t -=+ ----------------------------------7分:2AP x ty =-中令0,x =得2Q y t= ---------------------------8分所以212226812(1,)(2,)3434t tFQ BP t t t -⋅=⋅-=++ 28(0,2)34t ∈+ 综上所述，1FQ BP ⋅的取值范围为[0,2) ----------------------------10分 解法二：设00(,),P x y 且2200143x y +=，则:AP 0022y yx x =++， 令0,x =得：0022Q y y x =+ -------6分 20010000022(1,)(2,)222y y FQ BP x y x x x ⋅=⋅-=-+++ -------------------------7分 又2200143x y +=，则2200100421(2)22x y FQ BP x x -+⋅==-+ -------------------9分 又0(2,2],x ∈-∴1[0,2)FQ BP ⋅∈-------------------------------------10分 （ⅱ）假设存在定圆Γ满足题意，根据椭圆的对称性，猜想定圆Γ的圆心在x 轴上 当P 恰好为B 时，圆P 就是圆22:(2)9B x y -+=，交x 轴于(5,0)D 当P 无限接近于A 时，圆P 就是圆22:(2)1A x y ++=，交x 轴于(3,0)C -所以定圆Γ的圆心为,C D 中点2(1,0)F ，恰好为22:143x y E +=右焦点.所以猜想定圆Γ：222(1)4x y -+= ---------------------------------12分 下证：圆P 始终内切于定圆Γ21||||4PF PF +=,∴21||4||PF PF =-得证.----------------------------------14分21. （1）选修4-2：矩阵与变换本小题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程的思想．满分7分解：（Ⅰ） 16127a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-----------------------------------1分 36127a b =⎧∴⎨+=⎩23a b =⎧∴⎨=⎩ ------------------------------------2分2213M ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭----------------------------------3分（Ⅱ）矩阵M 的特征多项式为()()()2225414,13f λλλλλλλ--==-+=----令()0,f λ=得矩阵M 的特征值为121,4λλ==． --------------------------------------------------------5分对于特征值11λ=，解相应的线性方程组20,20,x y x y --=⎧⎨--=⎩得一个非零解2,1,x y =⎧⎨=-⎩因此，121ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭是矩阵M 的属于特征值为11λ=的一个特征向量． -------------------------------6分 对于特征值24λ=，解相应的线性方程组220,0,x y x y -=⎧⎨-+=⎩得一个非零解1,1,x y =⎧⎨=⎩因此，211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵M 的属于特征值为24λ=的一个特征向量． --------------------------------7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题考查圆的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想．满分7分解：（Ⅰ）由222,cos ,x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩得228120x y x +-+=，所以，圆C 的直角坐标方程为：()2244x y -+= ------------------------------------------3分（Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为：20x y --=设与直线l 平行的直线l '的方程为0x y m -+=，则当直线l '与圆C2=，解得4m =-或4m =（舍去） ---------------------------------------------------------------5分 所以，直线l 与直线l '的距离为：2d ==即点P 到直线l 距离的最大值为2 ------------------------------------------------------------------7分 （3）选修4-5：不等式选讲本小题考查绝对值的几何意义、绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）当2a =时，不等式()1f x <等价于21x -<，解得13x <<所以不等式()1f x <的解集是{}|13x x <<---------------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）()11f x x x a x ++=-++，由绝对值的几何意义知：它表示数轴表示a 的点与表示1-的点的距离，即为1a +， ------------------------------------------------------------------------------------------------5分 故原命题等价于13a +≥，解得2a ≥或4a ≤---------------------------------------------------------------7分。
2014-2015年福建省厦门市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题所给的四个 答案中有且只有一个答案是正确的） 1． （5 分）设集合 A={x|x+2＞0}，B={x|y= A．{x|x＞﹣2} ＜x＜3} 2． （5 分）已知命题 p：∃ x0∈R，sinx0≥ ，则￢p 是（ A．∃ x0∈R，sinx0≤ C．∀ x∈R，sinx≤ ） B．{x|x＜3} }，则 A∩B=（ ） D．{x|﹣2
）
7． （5 分）等差数列{an}中，a3 和 a9 是关于 x 的方程 x2﹣16x+c=0（c＜64）的两 实根，则该数列前 11 项和 S11=（ A．58 B．88 ） C．143 D．176 ）
8． （5 分）在直角坐标系中，函数 f（x）=sinx﹣ 的图象可能是（
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5． （5 分）函数 y=2cos2（ + A． （﹣ ，0） B． （
）﹣1（x∈R）的图象的一条对称轴经过点（ ，0） C． （﹣ ，0） D． （ ，0）
）
6． （5 分） 设 l， m 是两条不同的直线， α 是一个平面， 则下列命题正确的是 （ A．若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α C．若 l∥α，m⊂ α，则 l∥m B．若 l⊥m，m⊂ α，则 l⊥α D．若 l∥α，m∥α，则 l∥m
C．{x|x＞3 或 x＜﹣2}
B．∃ x0∈R，sinx0＜ D．∀ x∈R，sinx＜
3． （5 分）已知向量 =（m，1） ， =（m2，2） ，若存在 A∈R，使得 +λ = ，则 m=（ A．0 ） B．2 C．0 或 2 D．0 或﹣2 ）
2014福建省普通高中毕业班质量检查(理科数学)试卷及答案
1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．D ；9．C ；10．A ． 11．1+i ； 12．20； 13．8； 14．2nn +； 15．①． 16．解法一：（I ）()2cos cos 222x x x f x m =++11cos 22x x m =+++ 1sin 62x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． ……………………3分因为()f x 的图象过点（56π，0），所以51sin 0662m ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得12m =-. ………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22262k x k πππ-+π≤+≤+π，得22233k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z . 故()f x 的单调递增区间是22,233k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………7分（Ⅱ）由（I ）得，()1cos 2f x x x =+.所以01cos 2t S x x dx ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎰ ……………9分01sin 22t x =-+11sint 0sin 022⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ……………12分 所以()sin 32S t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ……………13分 解法二：(Ⅰ)因为函数()f x 的图象过点（56π，0），所以506f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭.又25555cos cos 6121212f m ⎛⎫π=ππ+π+ ⎪⎝⎭5151cos 6262m =π+π++1122m m =++=+. ………………3分 所以102m +=，解得12m =-. ………………5分以下同解法一.（II ）由（I ）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以0sin 6tS x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ……………9分 0cos 6t x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 6t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ………………12分 所以()cos 6S t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭（203t π<<）. ………………13分17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………..2分 所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =-……………..5分169512=． ……………..6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………..8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………..10分 所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………..12分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税， 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.∵M 为A 1B 1中点，∴MO ∥A 1A ，又A 1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∴MO ⊥AB …………….2分 ∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ⊂平面OMC ∴AB ⊥MC ……………5分（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),O A B C M -． …………….6分设)(0P t t ≤≤，则(0,23,26),(4,0,0),(0,2)MC AB OP t =-==．………….7分要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.MC OP MC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20-=，解得t =…………….8分 ∴P 的坐标为．∴当P 为线段1CC 的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….10分 （Ⅲ）取线段AC 的中点D，则(1D -，易知DB ⊥平面11A ACC ，故(3,DB =为平面PAC 的一个法向量．……….11分又由（II）知MC =-为平面PAB 的一个法向量． …………….12分 设二面角B AP C --的平面角为α，则3cos 6MC DB MC DBα⨯===． ∴二面角B AP C -- ． …………….13分 19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设M (,)x y ，P (,)p p x y ，因为PQ 垂直x 轴于点Q ，M 为直线l 上一点，且2PQ MQ =， 所以p x x =，p y =，…………….2分因为点P 在圆22:2O x y +=上，所以222p p x y +=即22)2x +=，整理得2212x y +=． 故曲线Γ的方程为2212x y +=．…………….4分 （Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上的点(,)N a b 处，则222a b +=，又设三角板的另一条直角边所在直线为l '． （ⅰ）当1a =时，直线NF x ⊥轴，:1l y '=±，显然l '与曲线Γ有且只有一个公共点．……………5分 （ⅱ）当1a ≠时，则1NF b k a =-. 若0b =时，则直线l '：x =l '与曲线有且只有一个公共点；………6分若0b ≠时，则直线l '的斜率1ak b-=， 所以()1:a l y b x a b -'-=-，即12a ay x b b--=+ ，……………7分 由221,212,x y a a y x b b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩得()()2222212112102a a a a x x b b b ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++⋅+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()()()2222221412220b a x a a x a b ⎡⎤⎡⎤+-+--⋅+--=⎣⎦⎣⎦． （*）又222b a =-， ……………8分所以方程（*）可化为()()()()2222412410a x a a x a -+--⋅+-=，所以()()()()22241216210a a a a ∆=-----=⎡⎤⎣⎦， ……………9分所以直线l '与曲线Γ有且只有一个公共点．综上述，该同学的结论正确。
福建省厦门外国语学校2014届高三校适应性考试数学理试卷 有答案
厦门外国语学校2014届高三校适应性考试数学（理科）试卷 有答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.1．已知直线10ax y ++=经过抛物线24y x =的焦点，则该直线的倾斜角为（ ） A ．0 B ．4π C ．2π D ．34π2．若0,a b >>集合{|},{|}2a bM x b x N x x a +=<<=<，则集合M N 等于（ ）A ．{|x b x <B ．{|}x b x a <<C ．{}2a b x x +<D ．{|}2a bx x a +<<3．已知直线,a b 和平面α，其中a α⊄，b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边 在直线2y x =上，则sin 2θ 等于（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．455．如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．7C ．125D ．1276．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）7．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）ABCD8．在等差数列}{n a 中，0≠n a ，当2≥n 时，0121=+-+-n n n a a a ，n S 为}{n a 的前n 项和，若4612=-k S ，则k 等于（ ）A ．14B ．13C ．12D ．119．若函数1,0(),0x x f x x a e bx x ⎧<⎪=+⎨⎪-≥⎩ 有且只有一个零点，则实数b 等于（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e10．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知复数ln 2z m i =+是纯虚数，则⎰等于 ．12．已知函数||()2x a f x -=关于直线3x =对称，则二项式3(ax +展开式中各项的系数和为_______________．13．如图13，在ABC ∆中，3AB =，5AC =，若O 为ABC ∆的外心，则⋅的值是____________．14．如图14是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为 ．15．若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立则称数列{}n a 为周期数列,周期为T ,已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>, 11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩则有下列结论： ①若34a =,则m 可以取3个不同的值；②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列；③对任意的T N *∈且2T ≥,存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列； ④存在m Q ∈且2m ≥,使得数列{}n a 是周期数列.其中正确的结论有 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 16．（本小题满分13分） 某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如下表：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程a x b yˆˆ+=，根据表中数据已经正确算出6.0ˆ=b，试求出a ˆ的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件） （Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲从零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品均有质量问题。
2014年厦门四校联考参考答案
2014年厦门市高中阶段招生考试数学参考答案及评分标准一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)二.填空题(本题有8个小题，每小题4分．共40分)7．1 8. 2(13)a b - 9. (6,-5) 10. 95011．1 12.322d ≤≤13. 2 14. 1或0（ 答对一个给3分，答错0分） 三.解答题(本题有8个小题，共86分) 15. （本题满分7分）解： 原式111()42-=++--4分12=++ ………………………6分3= …………………………………………7分16. （本题满分9分）解：∵22222(2+22)(2)2x xy y x xy y xy y y ----+-÷-=………………………3分∴2(2)(2)2xy y y --÷-=． ………………………4分24x y ∴+= ………………………5分∴原式=82(2)(2)2x x y x y x y-+-- ………………………6分82(2)(2)(2)x x y x y x y -+=+- ………………………7分22x y=+ ………………………8分12=………………………9分17.（本题满分10分）过A 作AD 垂直x 轴于D 点BM x AD BM ⊥∴ 轴…………………1分∴=AB DM BC CM …………………2分22AB BCDM CM =∴=…………………4分3::1:2:1OM MCOD DM MC =∴= …………………6分C (4,0)a ，∴则A (,)ka a…………………8分1482OAC kS a a∆∴=⨯⨯=…………………9分∴k=4 …………………10分由表知， ………………………2分解得k =﹣20，b =1500， ………………………3分D即y 1=﹣20x +1500（0＜x ≤20，x 为整数） …………………4分. （2）同（1）求出B 产品采购单价y 2与产品采购数量x 的关系式为2101300y x =-+ …………………6分令总利润为W ，设A 产品采购数量为m[1760(201500)][1700(10(20)1300)](20)W m m m m ∴=--++---+-…………………8分则W =30m 2﹣540m +12000， …………………9分 =30（m ﹣9）2+9570， …………………10分 ∵a =30＞0，∴当m ≥9时，W 随x 的增大而增大， …………………11分 ∵11≤m ≤15，∴当m =15时，即A 产品采购数量为15时总利润W 最大=10650； …………………12分 20. （本题满分12分）(1)连结AD090,CAB D BC ∠= 为中点AD BD CD ∴==AD BC∴⊥045BAD C ∴∠=∠= …………………1分 0122390∴∠+∠=∠+∠=13∴∠=∠ …………………2分∴△AED ≌△CFD …………………3分 ∴CF=AE ∵BE+CF=4∴AB=BE+EA=BE+CF=4 …………………4分 ∴S 四边形AEDF =S △ADC =4 …………………5分 (2)延长FD 至M 点，使得DM=DF,连结EM 、BM ∵ED FD ⊥EM EF ∴= …………………6分,,BD DC BDM CDF DM DF =∠=∠=∴△BDM ≌△CDF …………………7分BM CFMBD FCD∴=∠=∠ …………………8分BM AC ∴ …………………9分090A ∠=090ABM ∴∠= …………………10分 222EM BE BM ∴=+ ………………… 11分222EF BE CF ∴=+ …………………12分21. （本题满分13分）（1）解：∵α、β为方程x 2－( m ＋n ＋1)x ＋m ＝0（n ≥0）的两个实数根∴△＝( m ＋n ＋1)2－4m ＝( m ＋n －1)2＋4n ≥0，1122m n m n αβ++++∴==…………………2分 ∴α＋β＝m ＋n ＋1， …………………3分1122m n m n αβ+++++⋅=2(1)4m n m ++-∆==············································································· 4分（2）解：要使m ＋n ＝ 5 4 成立，只需α＋β＝m ＋n ＋1＝ 94 …………………5分①当点P （α，β）在BC 边上运动时由B （1 2 ，1），C （1，1），得 12 ≤α≤1，β＝1 …………………6分而α＝ 9 4 －β＝ 9 4 －1＝ 54＞1∴在BC 边上不存在满足条件的点 ···························································································· 7分 ②当点P （α，β）在AC 边上运动时由A （1，2），C （1，1），得α＝1，1≤β≤2 …………………8分 此时β＝ 9 4 －α＝ 9 4 －1＝ 5 4 ，又∵1＜ 54＜2∴在AC 边上存在满足条件的点，其坐标为（1，54 ） ··························································· 9分③当点P （α，β）在AB 边上运动时由A （1，2），B （1 2 ，1），得 12 ≤α≤1，1≤β≤2由对应线段成比例得1－α 1－ 1 2＝ 2－β2－1，∴β＝2α …………………10分由 ⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝ 9 4 β＝2α 解得α＝ 3 4 ，β＝3 2…………………11分 又∵1 2 ＜ 3 4 ＜1，1＜ 32＜2∴在AB 边上存在满足条件的点，其坐标为（3 4 ，32）…………………12分综上所述，当点点P （α，β）在△ABC 的三条边上运动时，存在点（1，5 4 ）和点（3 4 ，32 ），使m ＋n ＝ 54 成立 …………………13分22. （本题满分13分） (1)设21(0)y ax bx c a =++≠ 根据题意，得210949303432943392424a b c c a a c a b c y x x -+=⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴=-++ 解得分（2）①213(1)34(1,3)y x M =--+∴ …………………3分 设B(1，m),直线l 1与直线l 2相交于C,则A(x,t),C(1,t)22222(1)()AB AC BC x m t ∴=+=-+- …………………4分222222(3)(1)()(3)MB m AB x m t m =-=∴-+-=-22(26)(1)9t m x t ∴-=-+- …………………5分23(1)3262t x t m t ≠-+∴=+- …………………6分l 2l 123MB APm t y =∴-=- …………………7分22(1)3262x t y t -+∴=-+- (3)t ≠ …………………8分②22123(1)3(1)34262x t y y x t -+-=--++--21133(1)4(3)2t tx t --=-+- …………………9分 当121113003t y -=-=-<时，y ，符合题意…………………10分 当1211300t y -≠-<时，y 恒成立，有11304(3)302tt t -⎧<⎪-⎪⎨-⎪<⎪⎩ …………………11分113t ∴>…………………12分 综上所述：113t ≥ …………………13分。
福建省厦门双十中学2014届高三热身考试理科数学试卷 含答案
2014双十中学热身卷理科数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]1．设全集R U =,集合{11}M x x x =><-或,{}|02N x x =<<，则()U N M =（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O xy +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有( ）A ．3个B 。
2个 C. 1 个 D 。
0个3.下列结论错误．．的是（ ）A 。
命题“若2340x x --=，则4x ="的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件C.已知命题p “若0m >，则方程20x x m +-=有实根”,则命题p 的否定p ⌝为真命题D 。
命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”4．已知等比数列{a n }中，a 2＝1,则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞5。
执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（ )A 。
1 B.2 C 。
3 D.46。
为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm ）174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ）A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋错误!xD ．y ＝1767．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ )8. 已知方程|x –2n ｜—k x =0（*n N ∈）在区间［2n –1，2n+1］上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ）A ．1021k n <≤+ B ．0<k ≤121n + C ．121n +≤k ≤121n +D ．1021k n <<+9。
福建省厦门市高三数学5月适应性考试试题 理 新人教A版
2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名； 2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置． 1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是 A ．A i ∈1 B ．A ii∈+-11 C ．A i ∈5 D ．A i ∈- 2. “d c b a >>,”是“a c b d +>+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知{2,3}a ∈，{1,2,3}b ∈，执行右边程序框图，则输出的结果共有A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种4．已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+ 内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有 A ．997人B ．972人C ．954人D ．683人5．设()f x 是周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，()(2)f x x x =-，则(5)f -等于 A. 1 B.1- C.3 D.3-6．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是A ．16B ．12C ．8D ．6 7．数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n ∏，且(1)n n n +∏=，则5S 等于 A ．31 B ．62 C ．124 D ．126 8．在ABC ∆中， AD 是BC 边上的高，给出下列结论：否是（第3题图）①0)(=-⋅；≥+；③B =；其中结论正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1C ．1APD ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+10．已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是B.3238 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．把函数sin 2y x =的图象向右平移3个单位后，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为 ．12．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P （A|B ）的值是 ．13．已知函数2 21,0,(),0.x x x x f x e x ⎧-++>=⎨≤⎩则满足()1f x ≤的实数x 的取值范围是 .14．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥02,2,0y ax y x 表示区域为D ，且圆422=+y x 在D 内的弧长为2π，则实数a 的值等于 ．PD 1C 1B 1A 1DCBA（第9题图）（第12题图）15．A 、B 两地相距1千米，B 、C 两地相距3千米，甲从A 地出发，经过B 前往C 地，乙同时从B 地出发，前往C 地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为14()1v t t =+和2()v t t =（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：①出发后1小时，甲还没追上乙 ② 出发后1小时，甲乙相距最远 ③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C 地 ④甲追上乙后，先到达C 地 其中正确的是 ．（请填上所有描述正确的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答． 16．（本小题满分13分） 已知函数()4sin()cos 16f x x x π=-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且()1f A =，4B π=，又2AC =，求BC 边的长．17. （本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，090,//=∠BAD CD AB ，2==AD AB ，4=CD ，点E 为线段AB 上异于B A ,的点，且AD EF //，沿EF 将面EBCF 折起，使平面⊥EBCF 平面AEFD ，如图2.（Ⅰ）求证：//AB 平面DFC ；（Ⅱ）当三棱锥ABE F -体积最大时，求平面ABC 与平面AEFD 所成的锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点F 和上顶点B ．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（第17题图）（Ⅱ）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM OQ ⋅的最大值.19．（本小题满分13分）自驾游从A 地到B 地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B ，乙线路是A-E-F-G-H-B ，其中CD 段，EF 段，GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据． （Ⅰ）求CD 段平均堵车时间a 的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．（第18题图） （表1）20．（本小题满分14分）已知函数cos ()(0)xf x x x =>，()sin (0)g x x ax x =->. （Ⅰ）函数cos ()(0)xf x x x=>的零点从小到大排列，记为数列{}n x ，求{}n x 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设点P 是函数()x ϕ与()x ω图象的交点，若直线l 同时与函数()x ϕ，()x ω的图象相切于P 点，且函数()x ϕ，()x ω的图象位于直线l 的两侧，则称直线l 为函数()x ϕ，()x ω的分切线.探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 与()g x 存在分切线？若存在，求出实数a 的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知在矩阵M 对应的变换作用下，点A (1,0)变为A ′(1,0)，点B (1,1)变为B ′(2,1)． （Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求2M ，3M ，并猜测nM （只写结果，不必证明）． （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x αy α=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）．（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c R +∈，且3a b c ++=，222a b c ++的最小值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式|4||1|x x M +--≥.2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置． 1～10：CABCB ABDCA9．提示：⊥1DC 面11BCD A ，∴A 正确；⊥11A D 面11A ABB ，∴B 正确；当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，∴C 错；将面B AA 1与面11A ABB 沿B A 1展成平面图形，线段D A 1即为1PD AP +的最小值，解三角形易得D A 1=22+， ∴D 正确.故选C.10.提示：①动圆与两定圆都内切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=-⎨=-⎩，所以24e r =-②动圆与两定圆分别内切，外切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=+⎨=+⎩，所以24e r =+ 122202,44r e e r r<<∴=>=-+ 处理1：12114e e +=，再用均值求122e e +的最小值；处理2：1224244e e r r+=+=-+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．()sin(26)f x x =- 12．5913．(,0][2,)-∞+∞ 14．1．④15．提示：经过x 小时，甲乙走过的路程分别为104()4ln(1)1xS dt x t ==++⎰， 220 2xx S tdt ==⎰，令4ln(1)41x x e +=⇒=-，232x x =⇒=令24ln(1)12x x +=+，设2()4ln(1)12x F x x =+--…三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．16．本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形等基础知识；考查学生运算求解能力；考查数形结合思想和分类整合思想．满分13分．解:(Ⅰ)()4sin()cos 16f x x x p =-+1cos )cos 12x x x =-+ -----------1分2cos 21x x cos x =-+2cos2x x =--------------------3分 2sin(2)6x p=---------------------4分 令222262k xk p ppp p -???-----------------------5分 解得 (Z)63k x k k p p p p -＃+?∴函数()f x 的递增区间是[,](Z)63k k k p p p p -+? .--------------------------6分(Ⅱ)由()1f A =得, 1sin(2)62A p -=,∵0A p << , ∴6A p = 或2A p = . -------8分 (1)当6A p=时,由正弦定理得, 2sinsin 6sin sin sinB sin 4BC ACAC A BC A Bpp ×=?==；---------------------------------10分 (2) 当2A p=时,由正弦定理得, 2sinsin 2sin sin sinB sin 4BC ACAC A BC A Bpp ×=?== .----------------------------------12分 综上，BC =或BC = ------------------------------------------------------13分17．本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．满分13分．（Ⅰ）证明：∵CF BE //，⊄BE 面DFC ，⊂CF 面DFC ，∴//BE 面DFC ，--------------------2分同理//AE 面DFC ，--------------------3分又E AE BE = ，∴面//ABE 面DFC ， --------------------4分又⊂AB 面ABE ，∴//AB 面DFC . --------------------5分（Ⅱ）法一：∵面⊥EBCF 面AEFD ，又EF CF ⊥，面 EBCF 面EF AEFD =，∴⊥CF 面AEFD .以FE 所在直线为x 轴，FD 所在直线为y 轴，FC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyzF -，-----------------------7分设)20(<<=x x AE ，则x EB -=2，2)2(213131⨯-⨯=⨯=∆-x x EF S V ABE ABE F 31)1(312+--=x ， ∴当1=x 时，三棱锥ABE F -体积最大.-----------------------9分∵)3,0,0(),1,0,2(),0,1,2(C B A ， ∴)3,1,2(),2,0,2(-=-=， ---------10分设平面CBA 的法向量),,(000z y x m = ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0m CA m CB ， ∴⎩⎨⎧=-+=-032000000z y x z x ， 令10=x ，得平面CBA 的一个法向量)1,1,1(=m，-------------------------11分又面AEFD 的一个法向量为)2,0,0(=FE ，∴33232,cos =⨯=>=<m，--------------------------12分∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦是33. --------------------13分法二：∵面⊥EBCF 面AEFD ，又EF CF ⊥，面 EBCF 面EF AEFD =，∴⊥CF 面AEFD以FE 所在直线为x 轴，FD 所在直线为y 轴，FC 所在直线为z 轴，建立空间直 角坐标系xyz F -． -------------------------2分设)20(<<=x x AE ，则x EB -=2.（Ⅰ）)2,,0(),2,,0,2(),0,,2(x x x B x A --=-， -------------------------3分面DCF 的一个法向量为)0,0,2(=，---------------------------4分00)2(0)(02=⨯-+⨯-+⨯=⋅x x FE AB ，∴FE AB ⊥，又⊄AB 面DFC ，∴//AB 面DFC .--------------------------7分 （Ⅱ）同法一．18．本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．满分13分．解：（Ⅰ）在22:(1)(1)2C x y -+-=中，令0y =得(2,0)F ，即2c =，令0x =，得(0,2)B ，即2b =， -------------------2分由2228a b c =+=，∴椭圆Γ：22184x y +=. ------------------4分（Ⅱ）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx -5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x = ---------------6分 22(1)(1)2y kx x y =⎧⎨-+-=⎩得：22(1)(22)0k x k x +-+=，∴1x =， ---------7分 ∴11(,)22x kx OM OQ ⋅=⋅22212121(,)()0)2x kx x x k x x k =+=>. -------9分=设2221()12k k k k ϕ++=+，2/22422()(12)k k k k ϕ--+=+，令2/22422()0(12)k k k k ϕ--+=>+，得112k -<<． 又0k >，∴()k ϕ在1(0,)2单调递增，在1(,)2+∞单调递减. -----------11分∴当12k =时，max 13()()22k ϕϕ==，即OM OQ ⋅的最大值为. -------13分法二：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx ---5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x =分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅ =222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+=0)k > ---------------9分=设1(1)t k t =+>，则222222(1)1131112212243224()3()3[()]33k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.当且仅当12,3t =即max []OM OQ ⋅=法三：设点00(,)Q x y ，000,0x y >>，()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅ --------------------6分 =0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分 又2200184x y +=， 设00b x y =+与2200184x y +=联立得：220034280x bx b -+-= . --------------9分令2201612(28)0b b b ∆=⇔--=⇒=±分又点00(,)Q x y 在第一象限，∴当0x =时，OM OQ ⋅取最大值. -----13分 19．本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力；考查数形结合数学思想方法. 满分13分． 解：（Ⅰ）a =863824240.5 1.5 2.5 3.5 4.5100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ------------2分499584108100100100100100=++++=3． ----------------4分 （Ⅱ）设走甲线路所花汽油费为ξ元， 则500(1)(50060)50060E x x x ξ=-++=+． ----------------5分法一：设走乙线路多花的汽油费为η元，∵EF 段与GH 段堵车与否相互独立，∴11(0)(1)(1) , (20)(1)44P y P y ηη==--==-⋅，11(40)(1) , (60)44P y P y ηη==-==，----------------7分11110(1)(1)20(1)40(1)604444E y y y y η∴=⋅--+⋅-+⋅-+⋅405y =+． ----8分∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为(545)54555040E E y ηη+=+=+．--9分 依题意，选择走甲线路应满足 (55040)(50060)0y x +-+≥， ------------10分即6450x y --≤，又211 , 032x y <<<<，P ∴（选择走甲线路）21151(1)(1)732264218(1)32-⋅-⋅-⋅==-⋅． ----------------13分法二：在EF 路段多花汽油费的数学期望是20240y y ⨯=元， ---------------6分在GH 路段多花汽油费的数学期望是120154⨯⨯=元， ----------------7分因为EF 、GH 路段堵车与否相互独立，所以走乙路线多花汽油费的数学期望是405y +元． ----------------8分以下解法同法一．20．本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．满分14分． 解：（Ⅰ）∵cos 0x x =，0x > ∴cos 0x = ∴2x k ππ=+，k Z Î． -------------1分∴(1)2n x n ππ=+-，----------------2分∴2(1)222n n n n n S πππ-=+=． ----------------4分（Ⅱ）∵()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴2sin cos x x xa x -≥在(0,)x ∈+∞上恒成立． ----------------5分设2sin cos ()x x x x x ϕ-=， ∴23cos (2)()x x x x ϕ+'=， ---------------6分∴()x ϕ在(0,)2π单调递增，3(,)22ππ单调递减，3(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增，35(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增，∴()x ϕ的极大值为1(2)()222k k N k πϕπππ+=∈+，∴()x ϕ的最大值为2()2πϕπ=， ∴2a π≥． ----------------8分（Ⅲ）若函数()f x 与()g x 存在分切线，则有“()()f x g x ≥”或“()()f x g x ≤”在(0,)+∞上恒成立，∵当0x →时，cos ()xf x x=→+∞，()sin 0g x x ax =-→． ∴0(0,)x ε∃∈，使得()()f x g x >， ∴()()f x g x ≤在(0,)+∞不恒成立． ∴只能是()()f x g x ≥在(0,)+∞上恒成立． ------------9分∴由（Ⅱ）可知2a π≥， ∵函数()f x 与()g x 必须存在交点， ∴2a π=．----10分当2a π=时，函数()f x 与()g x 的交点为(,0)2π,∵2()()22f g πππ''=-=， ∴存在直线21y x π=-+在点(,0)2π处同时与()f x 、()g x 相切， ∴猜测函数()f x 与()g x 的分切线为直线21y x π=-+． ----------11分证明如下： ①∵22cos 2()(1)x x xf x x xππ+---+=，设22()cos h x x x x π=+-，则4()sin 1h x x x π'=-+-． 令4()sin 1t x x x π=-+-，则有4()cos 0t x x π'=-+>．∴()h x '在(0,)+∞上单调递增，∴()h x '在(0,)+∞上有且只有一个零点． 又∵()02h π'=，∴()h x 在(0,)2π单调递减，在(,)2π+∞单调递增，∴()()02h x h π≥=，∴2()(1)0f x x π--+≥，即2()1f x x π≥-+在(0,)+∞上恒成立．∴函数()f x 的图象恒在直线21y x π=-+的上方． ---------------13分②∵2()(1)sin 10g x x x π--+=-≤在(0,)+∞上恒成立，∴函数()g x 的图象恒在直线21y x π=-+的下方．∴由此可知，函数()f x 与()g x 的分切线为直线21y x π=-+，∴当2a π=时，函数()f x 与()g x 存在分切线，为直线21y x π=-+． ---------14分21. （1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的乘法等基础知识；考查运算求解能力；函数与方程、特殊与一般的数学思想．满分7分 解：（Ⅰ）设a b M c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1100a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1211a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， -------------1分∴1021a c a b c d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩， 解得1101a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ ． -------------2分 ∴1101M ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ------------------3分（Ⅱ）2111112010101M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，-------------------4分32111213010101M M M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，-----------------6分猜测101n n M ⎛⎫=⎪⎝⎭．----------------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线的极坐标方程、圆的参数方程及其几何意义、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）∵sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1o s s i n ,2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭----------------1分12x y -=即所求直线l0y -=．----------3分（Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为：()()221101x y y -+=≤≤ ， ---------------4分∴()22011y x y -=-+=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去）． -------------------6分所以，直线l 与曲线C的交点的直角坐标为32⎛ ⎝⎭． -----------------7分 （3）选修4-5：不等式选讲本小题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力；化归与转化、分类与整合的思想．满分7分． 解：（Ⅰ）根据柯西不等式，有：()()()22222221119a b c a b c ++++≥++=，------1分∴2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时等号成立． ----------------2分即3M =． -----------------3分（Ⅱ）|4||1|3x x +--≥可化为()()4413x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或()41413x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或()1413x x x ≥⎧⎨+--≥⎩， -----------5分解得，x ∈∅或01x ≤<或1x ≥， ----------------------6分所以，综上所述，原不等式的解集为[)0,+∞． -----------------------7分。