八年级数学上册 暑期同步提高课程 第二讲 与三角形有关的线段和角讲义 新人教版-新人教版初中八年级上

⎨等腰三角形⎨ ⎨斜三角形⎨ ⎩
⎩
第二讲
与三角形有关的线段和角
1. 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；
2. 会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心
3. 掌握三角形内角和定理及推论；
4. 按要求解决三角形的边、角的计算问题
1. 三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；
2. 通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和
1. 三角形的分类：
⎧不等边三角形
①按边分类：三角形⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形 ⎪⎩等边三角形 ⎧直角三角形
②按角分类：三角形⎪⎧钝角三角形 ⎪⎩锐角三角形 2. 三角形的高、中线、角平分线
（1） 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角 形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.
（2） 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.
（3） 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线。

3. 三角形的内角与外角
（1） 三角形的内角：
✓定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角. ✓三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系。

（2）三角形的外角
✓定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形外角和为360°。

✓性质：①三角形一个外角等于与它不相邻两内角和。

②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
4.三角形的三边关系
（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值X围。

考点/易错点1
关于三角形的高的注意事项：
（1）三角形的高线是一条线段；
（2）锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。

考点/易错点2
关于三角形的中线的注意事项：
（1）三角形的中线是一条线段；
（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；
（3）三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.
考点/易错点3
关于三角形的角平分线的注意事项：
（1）三角形的角平分线是一条线段；
（2）三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心. 考点/易错点4
三角形的外角特点：
（1）外角的顶点是三角形的一个顶点；
（2）外角的一条边是三角形的一边；
（3）外角的另一条边是三角形某条边的延长线.
考点/易错点5
三角形三边关系注意：
①这里的“两边”指的是任意两边.对“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；
②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用。

【例1】过A、B、C、D、E 五个点中任意三点画三角形；
（1）其中以AB为一边可以画出个三角形；（2）其中以C为顶点可以画出个三角形．
【答案】（1）如图，以AB 为一边的三角形有△ ABC、△ ABD、△ ABE 共 3 个；
（2）如图，以点C为顶点的三角形有△ ABC、△ BEC、△ BCD、△ ACE、△ ACD、△ CDE共6个．
【解析】考查了三角形的定义，以及网格结构的知识，根据网格结构作出图形是解题的关键．
【例2】已知BD是△ABC 的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为24，17，则AB﹣BC的长是．
【答案】∵BD 是△ABC 的一条中线，∴AD=CD，
∴△ABD 与△BCD 的周长的差=（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD）
=AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD=AB﹣BC，
∵△ABD 与△BCD 的周长分别为 24，17，∴AB﹣BC=24﹣17=7．
【解析】考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC 是解题的关键。

【例3】如图，在正方形ABCD 中，BD=2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（）
A．1 B．
C．
2
D．
【答案】A．△PBD 的面积等于1
⨯ 2 ⨯1 =1．2
【解析】考查了三角形面积公式以及代入数值求解的能力，注意平行线间三角形同底等高．
【例4】手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的 5 根长度相等的木条，首尾连接
制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了．于
是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加
的螺栓数为（）
A． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】A．如图：A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具
有了稳定的各边．
【解析】三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，
因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
【例5】△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，则线段DG
的长为（）
A．2 B．3
C．
6 D．
12
【答案】B．∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的 2 倍，∴DG=
1
2AG=3．【解析】三角形的重心的性质：三角形重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的 2 倍．
【例6】如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为 2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，
则任两螺丝的距离之最大值为何（）
A．5 B．6
C．
7 D．
10
【答案】C．解：已知 4 条木棍的四边长为 2、3、4、6；
①选 2+3、4、6作为三角形，则三边长为 5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为 6；
②选 3+4、6、2作为三角形，则三边长为 2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为 7；
③选 4+6、2、3 作为三角形，则三边长为 10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选 2+4、3、6 作为三角形，则三边长为 6、3、6；而 6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为 6；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为 7．
【解析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【例7】BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，请你探索∠A和∠P的数量关系．解：
∵BP 平分∠ABC（已知），∴∠PBC=1
∠ABC （）．2
同理可得∠PCB= 1
∠ACB。

2
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（）
∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）
=180°﹣1
（∠ABC+∠ACB）（）
2
=180°﹣1
（180°﹣∠）
2
=90°+1∠ ．
2
【答案】∵BP 平分∠ABC （已知），∴∠PBC =1∠ABC （角平分线的定义）．
2
同理可得∠PCB= 1
∠ACB，∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（三角形的内角和等于180°）2
∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）
=180°﹣1
（∠ABC+∠ACB）（等量代换）=180°﹣
1
（180°﹣∠A）=90°+
1
∠A．
2 2 2
【解析】根据角平分线的定义、△ BPC 的内角和定理求得求解．
1.不一定在三角形内部的线段是（）
A．三角形的角平分线B．三角形的中线
C．三角形的高D．三角形的中位线
2.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为 2，宽为 1，A、B两点在网格格点
上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为 2，则满足条件的点
C个数是（）
A． 2 B．3 C．4 D．5 3.三角形的重心是三角形的（）
A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点D．三条高所在直线的交点
4.△ABC的面积为60，点0是重心，连接BG并延长交AC于D，连接GA，则
△GAB的面积为（）
A．40 B．30
C．
20 D．
10
5.有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）
A． 1 B．2 C．3 D．4
1.△ABC角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是
△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线结论中正确的有（）
A．1 个B．2 个
C．3 个D．4 个
2. 在现实的生产、生活中有以下四种情况：
①用“人”字梁建筑屋顶；
②自行车车梁是三角形结构；
③用窗钩来固定窗扇； ④商店的推拉防盗铁
门． 其中用到三角形稳定性的是（ ） A ． ①②
B ． ②③
C ． ①②③
D ． ②③④
形具有稳定性；综上所述，用到三角形稳定性的是①②③．
3. 要判断△ABC 的面积是△DBC 的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直
尺，需要度量的次数最少是（ ）
A ． 3 次以上
B ． 3 次
C ． 2 次
D ． 1 次
4. 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果DG =2，那么线段AD 的
长是（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 6
D ． 12
5. O 是△ ABC 的重心，则图中与△ ABD 面积相等的三角形个数为
6. 如图①，BO 、CO 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，我们易得∠BOC =90°+1∠A ；
2 在图②中，当 BO ′、CO ′分别为∠
ABC 和∠ACB 的外角平分线时，求∠BO ′C 与∠A 的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO ′C 转化为已知的∠BOC ：如图②，作 BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ．
（1） 在图②中存在如图③的基本图形：点 A 、B 、D 在同一直线上，且 BO 、BO ′分别平分∠ABC 和∠DBC ，试证明：BO ⊥BO ′；
（2） 试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO ′C 与∠A 的数量关系；
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
（3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．
7.如图（1）所示，一副三角板中，含45°角的一条直角边AC在y 轴上，斜边AB交x轴于点G．含30°角的三角板的顶点与点A 重合，直角边AE和斜边AD分别交x轴于点F、H．
（1）若AB∥ED，求∠AHO的度数；
（2）如图 2，将三角板ADE绕点A旋转．在旋转过程中，∠AGH的平分线GM与∠AHF的平分线HM相交于点M，∠COF的平分线ON与∠OFE 的平分线FN相交于点N．
①当∠AHO=60°时，求∠M 的度数；
②试问∠N+∠M 的度数是否发生变化？若改变，求出变化X围；若保持不变，请说明理由．。