(整理版)2020年中考数学动态问题图形最值问题探究(含答案)

专题09动点类题目图形最值问题探究
题型一：矩形中的相似求解
例1.( 2019 •绍兴)如图，矩形ABCD中，AB=a, BC=b，点M、N分别在边AB、CD
上，点E、F分别在边BC、AD上，MN、EF交于点P.记k=MN:EF.
(1)若a：b的值为1，当MN丄EF时，求k的值.
1
(2)若a：b的值为_ ,求k的最大值和最小值.
2
(3)若k的值为3，当点N是矩形的顶点，/ MPE=60° MP = EF=3PE时，求a: b的值•
题型二：二次函数中几何图形最值求解
例2. (2019 •衡阳)如图，二次函数y = x2+bx+c的图象与x轴交于点A (- 1, 0)和点B (3, 0),与y 轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP,过点P作CP 的垂线与y轴交于点E.
(1)求该抛物线的函数关系表达式；
(2)当点P在线段OB (点P不与0、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB .请问：△ MBN的面积是否存在
题型三：二次函数中面积最值的求解例3. （2019 •自贡）如图，已知直线AB与抛物线C : y ax2
2x c相交于点A （-1,0）和点B（2,3）两点.
（1 ）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M 的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于
题型四：反比例函数中面积最值的求解
例4. （2018 •扬州一模）如图1，反比例函数y= 乂（x> 0）的图象经过点 A （2、/3 1）,射
x
线AB与反比例函数图象交于另一点 B （1 , a），射线AC与y轴交于点C, / BAC=75° , AD丄y 轴，垂足为D .
（1 ）求k的值；
（2）求tan/ DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2, M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l丄x轴，与AC相
交于点N,连接CM,求△ CMN面积的最大值.
、yi
\
kj
1
D
J A
■
O K c
X0
n
X 圈1医|2
题型五：反比例函数中面积最值的求解例5. (2019 •达州)如图1，已知抛物线y=—x2+bx+c过点A(1,0), B(-3,0).
(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
F的坐标；若不存在，请说明理由
(2)设点D是x轴上一点，当tan (/CAO+ / CDO) =4时，求点D的坐标；
(3)如图2,抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交
BE于点M,交y轴于点N, △ BMP和厶EMN的面积分别为m、n,求m- n的最大值.
题型六：二次函数中最值及最短路径题型
例6. (2019 •绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B (点A
在点B的左侧)，OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b (心0的图象与y轴正半轴交于点C, 且与抛物线的另一个交点为D, △ ABD的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ ACE面积的最大值，并求出此时点E
的坐标;
例7. (2019 •潍坊)如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点 A (4, 0)，点B
(0, 4), △ ABO的中线AC与y轴交于点C,且O M经过O, A, C三点.
(1)求圆心M的坐标；
(2)若直线AD与O M相切于点A,交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE// y轴，交直线AD 于点E.若以PE为半径的O P与直线AD相交于另一点F .当EF = 4.5时，求点P的坐标.
题型一：矩形中的相似求解
例1. (2019 •绍兴)如图，矩形 ABCD 中，AB=a , BC=b ，点M 、N 分别在边 AB 、CD
上，点E 、F 分别在边 BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P.记k=MN:EF.
(1) 若a ： b 的值为1，当MN 丄EF 时，求k 的值. (2) 若a ： b 的值为1，求k 的最大值和最小值.
2
(3) 若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，/ MPE=60° MP = EF=3PE 时，求a : b 的
【分析】(1)当a ： b=1时，可得四边形 ABCD 为正方形，由 MN 丄EF ，可证MN=EF , 即k=1 ; (2)先确定MN 和EF 的取值范围，当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大, 否则反之；(3)根据N 是矩形顶点，分两种情况讨论，即 N 分别与D 点和C 点重合，依据 不同图形求解•
【答案】见解析
【解析】解：(1)当a : b=1时，即AB=BC , •••四边形ABCD 是矩形, •••四边形ABCD 是正方形,
过F 作FG 丄BC 于G ,过M 作MH 丄CD 于H ,如下图所示,
•••/ NMH = Z EFG ,
答案与解析
•/ MN 丄 EF ,
•••/ MHN = / FGE=90° , MH=FG , •••△ MNH ◎△ FEG , ••• MN=EF ，即 k=1 ; (2)由题意知:b=2a ,
所以得：a 壬F w 、. 5a , 2a 邙/IN 三5a ,
所以当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 取最大值，为;
连接FN ， ME ，
设 PE=x ，贝U EF=MP=3x , PF=2x , MN=3EF=9x , PN=6x , • PF 空
PE PM
又•••/ FPN = / MPE , • △ FPNEPM ,
• FN // ME ,
ME 得，M 点与B 点重合,
•••/ MPE=60° ,
当MN 取最小值，EF 取最大值时,
k 取最小值，为
2、、
5
5
(N)
(3)如下图所示,
E
①当N 点与D 点重合时，由FN //
(M)
过F 作FH 丄BD 于H ,
•••/ PFH=30° ,
••• PH=x , FH= .、3X , BH = BP+PH=4x , DH=5x , 亠 亠 73 在 RtA DFH 中，tan / FDH =——,
5
即 a:b= 3 ；
5，
贝U PH=x , EH=、、3x , CH = PC+PH=13x ,
•/ ME // FC ,
•••/ MEB= / FCB= / CFD ,
• △ MEBCFD ,
•
CD
MB
FC
ME
=2,
CD 2BM
2 3
即
—
BC BC 13
综上所述，a:b 的值为一3或2 3 .
5 13
题型二：二次函数中几何图形最值求解
例2. (2019 •衡阳)如图，二次函数 y = x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A (- 1, 0)和点B
(3, 0),与y 轴交于点N ,以AB 为边在x 轴上方作正方形 ABCD ，点P 是x 轴上一动点， 连接CP ,过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E . (1) 求该抛物线的函数关系表达式；
在 RtA ECH 中, tan / ECH =
13
②当N 点与C 点重合时，过
过点E 作EH 丄MN 于H ，连接EM ,
（2）当点P在线段OB （点P不与0、B重合）上运动至何处时，线段0E的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB .请问：△ MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数解析式求解；（2 ）由厶POE CBP得出比例线段，可表示0E的长，利用二次函数的性质可求出线段0E的最大值；（3）过点M作MH // y 轴交BN于点H，由MNB = S^BMH +S^MNH即可求解.
【答案】见解析•
2
【解析】解：（1）•••抛物线y= x+bx+c经过A （- 1, 0）, B （3, 0）,
1 b c 0
9 3b c 0’
解得: 抛物线函数关系表达式为y= x2- 2x- 3 ；
(2)由题意知：AB= OA+OB= 4,
在正方形ABCD中，/ ABC = 90° PC丄BE,
•••/ OPE+Z CPB = 90°
/ CPB + Z PCB = 90°
•Z OPE = Z PCB ,
又T Z EOP= Z PBC = 90° ,
•••△POE CBP ,
•BC OP
BP OE，
设OP=x,贝U PB=3-x ,
4 x 3 x OE
• OE = 1
x 2
4(3)存在.
如图，过点 M 作MH // y 轴交BN 于点H ,
3k b 0 b 3 '
题型三：二次函数中面积最值的求解
和点B (2,3)两点.
(1 )求抛物线C 函数表达式；
(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点， 以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边 形MANB ，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形
2
3 9
—
—,
2
16
3 x 时，即
2
0P= 3时线段 2
OE 长有最大值, 最大值为
16
•••直线BN 的解析式为 y = x - 3,
设 M ( m , m 2-2m - 3),贝U H (m , m - 3), • MH = m - 3 -( m 2 - 2m - 3)
2
=-m 2+3m ,
1
二
MNB = S BMH + S A MNH =
—
3m
27 8
• a =-时，△ MBN 的面积有最大值,
2
最大值是
27
，此时
8
M 点的坐标为(3 ,
2 '
例3. (2019 •自贡)如图，已知直线
AB 与抛物线C : y
ax 2 2x c 相交于点
A (-1,0)
MANB 的面积
S 及点M 设直线BN 的解析式为 y = kx+b ,
的坐标；
(3) 在抛物线C 的对称轴上是否存在定点 F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于
【解析】解：(1)把A (-1,0)，B (2,3)代入抛物线得:
a 2 c 0 4a 4 c 3
解得
•••抛物线的函数表达式为： y= — X 2+2X +3
(2 )T A (-1,0), B ( 2,3),
•直线AB 的解析式为：y=x+1,
如下图所示，过 M 作MN // y 轴交AB 于N ,
设 M(m,— m 2+2m+3), N(m,m+1), (-1v m v 2) • MN = — m 2+m +2.
• S A ABM =S A AMN +S A BMN = —(X B X A ) MN
2
F 的坐标；若不存在，请说明理由
• S A ABM = 1
2(
m 2) 3
3 1 2 2(m 2)
27
1
•当m 时，△ ABM 的面积有最大值
2
27 27 1 7 —，而 S C MANB =2S ^ABM =—，此时 M (— -)
8
4
2’ 2
•••当P 与顶点D 重合时，也有 PG=PF.
1
17
1
此时PG=—，即顶点D 到直线y
的距离为
,
4 4 4
1
• PF=DF = —,
4
• F(1,145),
4
•/ PG = PF , …PG 2=PF 2,
15 2 2
22
3 • (x 1)2 ( x 2 2x 3)2 (x 1)2 (x 2 2x )2
4
4
整理化简可得Ox=O , •当F(1,d)时，无论x 取任何实数，均有 PG=PF.
4
题型四：反比例函数中面积最值的求解 例4. (2018 •扬州一模)
如图1,反比例函数y= - (x > 0)的图象经过点 A (2,：‘3, 1),
X
射线AB 与反比例函数图象交于另一点 B (1, a )，射线AC 与y 轴交于点C ,/ BAC=75°
AD 丄y 轴，垂足为D . (1 )求k 的值；
(2) 求tan / DAC 的值及直线 AC 的解析式； (3)
如图2, M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过
M 作直线l 丄x 轴，与AC 相 交
于点N ,连接CM ,求△ CMN 面积的最大值.
(3)存在，点 F(1,15)
4
理由如下：抛物线顶点为 则D ( 1,4),则顶点
17 1 D 到直线y 的距离为 ，
4 4
设 F(1, n)、P(x, x 2
2x 3)，设P 到直线y 17
的距离为PG.
4
17 2
则 PG= ( x 2 2x
4
3)
x 2 2x 5 ，
4
••• P 为抛物线上任意一点都有 PG = PF ， PF 2 (x 1)2
15 2 2 x 2x 3)
2 2
3 2
(x 1) (x 2x
4)
PG 2 (x 2
2x
5) (x 2 2x
2
则 AE = BE = 2 3 - 1. • / ABE = / BAE = 45 又•••/ BAC = 75° • / DAC = 30°
• DC = tan30° AD = — 2.3 = 2
3 ，
• OC = 1，即 C (0,- 1) 设直线AC 的解析式为y =
kx+b
【答案】见解析
【解析】解：(1) •••将A (2.3 , 1)代入反比例函数
k y = x
••• k= 2 3 ;
(2)由(1)知，反比例函数解析式为
y = 2仝,
x
•••点B (1, a )在反比例函数y =厶卫的图象上，
x --a = 2,
•点 B (1, 2 3 )
过B 作BE 丄AD 于E ，如下图所示，
2 3k b 1 b 1
题型五：反比例函数中面积最值的求解 例5. (2019 •达州)如图1，已知抛物线 y=— x 2+bx+c 过点A(1,0), B(-3,0). (1)
求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标；
(2) 设点D 是x 轴上一点，当tan (/CAO+ / CDO ) =4时，求点 D 的坐标; (3)如图2,抛物线与y 轴交于点E ,点P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交
BE 于点M ,交y 轴于点N , △ BMP 和厶EMN 的面积分别为 m 、n ,求m - n 的最大值.
【解析】解：(1)把点(1, 0), (— 3, 0)代入y =- x 2+bx+c,
解得 b =— 2, c = 3,
2 2
• y =— x — 2x+3 = —( x+1) +4 , •此抛物线解析式为：y =- x 2 — 2x+3，顶点C 的坐标为(-1, 4)；
(2 )由(1)知：抛物线对称轴为 x =- 1,
解得k
b _3
3
1
•••直线AC 的解析式为 (3)设 M ( m ,
• S 1
…注CMN =-
2 7
3 /
=— (m -
6 当m =乜时, 2
y = — x — 1
3
2 3、“/ 3
), N ( m , 一 m — 1) m 3
-m — 1)=空—-^m+1, 3
-
(◎-仝m+1)
m 3 .3 ) 2 93 2
8 m =—
3 V3 6 △ CMN 的面积有最大值，最大值为 ^3
得,
0 1 b c 0
9 3b c
【答案】见解
设抛物线对称轴与x轴交于点H , H (- 1, 0),
在Rt A CHO 中，CH = 4, OH = 1,
tan / COH = = 4,
OH
•••/ COH = / CAO + / ACO ,
•••当 / ACO= / CDO 时，
tan (/ CAO+ / CDO )= tan/COH = 4,
如下图所示，当点D在对称轴左侧时，
•// ACO = / CDO , / CAO = / CAO ,
• △ AOCACD ,
•AC AO
…AD AC,
T AC = 2 吆5 , AO= 1 ,
•AD = 20 , OD = 19 ,
• D (- 19 , 0)；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x= 1的对称点D'的坐标为(17, 0), •••点D的坐标为(-19 , 0)或(17 , 0);
(3)设P (a, - a2- 2a+3),设直线PA的解析式为：y=kx+b ,
将P ( a, - a2- 2a+3), A (1 , 0)代入y= kx+b ,
ak b a22a 3
k b 0 ,
解得，k=- a- 3 , b= a+3,
•y=( - a - 3) x+a+3 ,
当x= 0 时，y= a+3 , • N (0, a+3),
T m = S ^ BPM = S A BFA — S 四边形 BMNO — S A AON , n=S ^EMN = S ^EBO — S 四边形 BMNO ,
二 m — n = S A BFA - S A EBO - S A AON
1 2 11
=-用 x (- a — 2a+3)- _ X 3 X 3 - X1 x (a+3) 2 2 2 9、2 81 — 2 (a+ — ) + —,
8 32
.•.当a — - 9时，m — n 有最大值81. 8 32 题型六：二次函数中最值及最短路径题型
例6. (2019 •绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数 y=ax 2 (a >0)的图象向右平移 1个 单位，再向下平移 2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与
x 轴交于点A 、B (点A
在点B 的左侧)，OA=1,经过点A 的一次函数y=kx+b (心0的图象与y 轴正半轴交于点 C , 且与抛物线的另一个交点为 D , △ ABD 的面积为5. (1) 求抛物线和一次函数的解析式； (2) 抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求 △ ACE 面积的最大值，并求出此时点
E
的坐标；
3
(3) 若点P 为x 轴上任意一点，在(2 )的结论下，求PE+3FA 的最小值.
5
【答案】见解析•
【解析】解：(1 )由平移知，平移后得到的抛物线解析式为
y=a (x-1) 2-2
,
:备用團
如下图所示,
•/ OA=1 ,
•••点A 的坐标为(-1, 0),代入抛物线的解析式得， 4a-2=0,
得：a =1,
•••抛物线的解析式为
令y=o ，解得x^-i
X 2=3,
• AB=0A+0B=4,
• c
1
--S A ABD = AB • y D =5
2 5
•-y D =2，
即 y 1x 2
• D (4, 设直线 3，解得 x i =-2, X 2=4,
5)，
AD 的解析式为 y= kx+ b ,
4k
5
2，解得: 0
1 2 1， 2
•直线 AD 的解析式为:
i i
y=2x+2・
(2)过点E 作EM // y 轴交AD 于M ,
如下图所示,
1 2a+
—3a — 4) (a — 3
) 2+空
2 16
(a, 1
•- S A ACE =S A AME — S ^CME = 一一 ( a 2
.•.当a=3时，△ ACE 的面积有最大值，最大值是 25，此时E 点坐标为(-, 兰).
2 16 2 8
(3) 作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ,过点F 作FH 丄AE 于点H ，交轴于 点P ,
•••/ AGE = / AHP=90°
PH= 3AP ,
5
••• E 、F 关于x 轴对称, ••• PE=PF , 3
•- PE+二 AP=FP+HP=FH ，此时 FH 最小，
5 15
•/ EF= , / AEG = Z HEF ,
4 AG FH 4
..sin / AEG=Sin / HEF =—— -
AE AE 5 ••• FH=3.
3
即PE+-PA 的最小值是3.
5
例7. (2019 •潍坊)如图，在平面直角坐标系
xoy 中，O 为坐标原点，点 A (4, 0)，点B
(0，4)，△ ABO 的中线AC 与y 轴交于点C ,且O M 经过O , A , C 三点. (1) 求圆心M 的坐标；
(2) 若直线AD 与O M 相切于点A ,交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；
(3) 在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点 P ,过点P 作PE // y 轴，交直线 AD 于点E.若以PE 为半径的O P 与直线AD 相交于另一点F .当EF = 4.5时，求点P 的坐标
.
AG
EG =
A G E G
二 sin / EAG=
PH AP
EG AE
【答案】见解析.
【解答】解：(1)v AC为厶ABO的中线，点B ( 0, 4),
•••点C (0, 2),
T 点A (4, 0),
点M为线段AC的中点，
即M (2, 1);
(2)T O P 与直线AD，则/ CAD = 90°,
设/ CAO = a,则/ CAO=Z ODA =Z PEH = a,
tan / CAO = OC —= tan a,贝V sin a= ■ , cos a=—, OA 2 5 5 —AC
AC =、10 ,贝U CD = = 10 ,
sin
则 D (0, - 8),
设直线AD的解析式为：y= mx+n:
得： b 8，解得：k=2 , b=—8 ,
4k b 0
直线AD的表达式为：y= 2x- 8;
(3)抛物线的表达式为：y= a (x- 2) 2+1,
3 将点B坐标代入上式并解得：a=-,
4
故抛物线的表达式为：y= -x2- -x+4 ,
4
过点P 作PH 丄EF ,贝U EH = - EF = 2 5,
设点P (x, -x2- 3x+4),则点 E (x, 2x—8),
4
则PE = 3x2- 3X+4 - 2x+8 = 5,
4 14
解得x= 14或2 (舍)
3
2。