高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题优化练习新人教A版必修5(2021年整理)

2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2 应用举例第1课时距离问题优化练习新人教A版必修5
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第1课时距离问题
［课时作业]
[A组基础巩固］
1．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为( )
A。

错误!a km B。

错误!a km
C．a km D．2a km
解析:△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝错误!a.
答案:A
2.如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔,其方向是北偏东60°，那么B,C两点间的距离是（)
A．102海里B．10错误!海里
C．20错误!海里D．20错误!海里
解析：由题目条件，知AB＝20海里,∠CAB＝30°，∠ABC＝105°,所以∠ACB＝45°。

由正弦定理,得错误!＝错误!，所以BC＝10错误!海里，故选A。

答案：A
3．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度（单位:m)是（)
A．5 B．10
C．10错误!D．10错误!
解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．
在△ABB′中,∠B′＝30°,
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m,
由正弦定理，得
BB′＝AB sin 45°
sin 30°
＝错误!＝10错误!（m）．
∴坡底延伸10 2 m时，斜坡的倾斜角将变为30°。

答案：C
4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.错误!海里/小时B．34错误!海里/小时
C。

错误!海里/小时D．34错误!海里/小时
解析：如图所示，在△PMN中，错误!＝错误!,
∵MN＝错误!＝34错误!，
∴v＝错误!＝错误!（海里/小时）．
答案：A
5。

如图，某炮兵阵地位于A点,两观察所分别位于C,D两点．已知△ACD为正三角形,且DC＝错误! km,当目标出现在B点时,测得∠CDB＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是（)
A．1.1 km B．2。

2 km
C．2.9 km D．3.5 km
解析:∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得
BD＝错误!＝错误!.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°,
由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos 105°
＝3＋错误!＋2×错误!×错误!×错误!
＝5＋23。

∴AB＝错误!≈2.9（km)．
∴炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km。

答案:C
6．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
解析：∠C＝180°－75°－60°＝45°,由正弦定理
2
sin 45°
＝错误!，
∴AC＝错误!。

答案：错误!
7．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3错误! km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处,则A，C两地距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3错误!，BC＝2，∠ABC＝150°，
由余弦定理,得
AC2＝27＋4－2×3错误!×2×cos 150°＝49，
AC＝7。

则A，C两地距离为7 km.
答案:7
8．一艘船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km。

解析：如图所示，AC＝15×4＝60，
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
在△ABC中由正弦定理得错误!＝错误!，
∴BC＝302。

答案：30错误!
9.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A,B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°,∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．
解析:在△ABC中,
∵∠CAB＝45°,∠CBA＝75°,
∴∠ACB＝60°。

由正弦定理,可得
AC＝错误!＝错误!
＝20（3错误!＋错误!），
设C到AB的距离为CD，
则CD＝AC sin∠CAB
＝错误!AC＝20 （错误!＋3）．
∴河的宽度为20（3＋3)米．
10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解析:如图所示,考点为A,检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝错误!≈1。

732,AC＝1,∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACB＝错误!·AB＝错误!,∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°,∴BC＝AC＝1，在△ACD中,AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形,∴CD＝1,∴错误!×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
［B组能力提升]
1．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________．
解析：设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则∠DBC＝180°－60°＝120°.∴y2＝（10－4x)2＋(6x）2－2（10－4x）·6x cos 120°＝28x2－20x＋100
＝28（x2－错误!x)＋100＝28错误!2－错误!＋100
∴当x＝错误!(小时）＝错误!(分钟）时，y2有最小值．∴y最小．
答案:错误!分钟
2．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后,看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.
解析：如图所示,B是灯塔，A是船的初始位置,C是船航行后的位置,
则BC⊥AD，∠DAB＝30°，
∠DAC＝60°，
则在Rt△ACD中，
DC＝AC sin∠DAC＝30sin 60°＝15错误! n mile,
AD＝AC cos∠DAC＝30cos 60°＝15 n mile，
则在Rt△ADB中，
DB＝AD tan∠DAB＝15tan 30°＝5错误! n mile，
则BC＝DC－DB＝15错误!－5错误!＝10错误! n mile。

答案：10错误!
3．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°,爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x＝________.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点,易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°,∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝错误!
＝错误!＝错误!(cm）．
即x的值为错误! cm.
答案：错误!
4．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有"或“无”)．解析：由题意在三角形ABC中,AB＝30，∠BAC＝30°,∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，
由正弦定理
BC＝AB
sin∠ACB
·sin∠BAC＝错误!·sin 30°＝错误!＝15(错误!＋错误!）．
在Rt△BDC中，CD＝错误!BC＝15(错误!＋1)＞38。

答案:无
5。

如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m,吊索AB＝5错误! m，求起吊的货物与岸的距离AD.
解析：在△ABC中，由余弦定理,得
cos∠ACB＝AC2＋BC2－AB2 2AC·BC
＝错误!＝－错误!。

∴∠ACB＝120°.∴∠ACD＝180°－120°＝60°。

∴AD＝AC·sin 60°＝错误!(m）．
即起吊的货物与岸的距离为错误! m。

6。

如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A,C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°,∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1百米．求A，B之间的距离．
解析：由题干图，连接AB（图略），依题意知，在Rt△ACD中，AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝错误!.
在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB
＝180°－105°－45°＝30°,
由正弦定理错误!＝错误!，
得BC＝错误!·sin∠CEB
＝错误!×sin 45°＝错误!.
cos 15°＝cos（60°－45°）
＝cos 60°·cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!,
在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，
可得AB2＝（错误!）2＋（错误!）2－2错误!×错误!×错误!
＝2－3，
∴AB＝错误!百米．
即A，B之间的距离为错误!百米．。